Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الجذع المشترك العلمي

الدرس 09

الجداء السلمي في المستوى

التعريف بالإسقاط، الصيغة المثلثية، الخاصيات، علاقة الكاشي، والتعامد.

سلسلة التمارين 09 — سلسلة تمارين: الجداء السلمي

تعريف الجداء السلمي

تعريف

ليكن u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB} و v⃗=AC→\vec{v}=\overrightarrow{AC} و HH المسقط العمودي لـ CC على (AB).(AB). الجداء السلمي u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} هو: إذا كان AB→\overrightarrow{AB} و AH→\overrightarrow{AH} في نفس المنحى فإن u⃗⋅v⃗=AB×AH؛\vec{u}\cdot\vec{v}=AB\times AH؛ وإذا كانا متعاكسين فإن u⃗⋅v⃗=−AB×AH.\vec{u}\cdot\vec{v}=-AB\times AH.

تطبيق

ABCDABCD شبه منحرف متساوي الساقين بحيث AB=6AB=6 و CD=5CD=5 و II و JJ منتصفا [AB][AB] و [CD][CD] (انظر الشكل). احسب: AB→⋅AD→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} ؛ AI→⋅AC′→\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AC'} ؛ AB→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} ؛ AB→⋅CD→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} ؛ AI→⋅IJ→\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{IJ} ؛ BI→⋅ID→.\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{ID}.

شبه منحرف $ABCD$

خاصية

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡(u⃗;v⃗).\vec{u}\cdot\vec{v}=\lVert\vec{u}\rVert\,\lVert\vec{v}\rVert\cos(\vec{u}{;}\vec{v}).

و

AB→⋅AC→=AB×AC×cos⁡(BAC^).\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC}).

تطبيق

  1. احسب u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} إذا ∥u⃗∥=1\lVert\vec{u}\rVert=1 و ∥v⃗∥=3\lVert\vec{v}\rVert=3 و (u⃗;v⃗)≡π6 [2π]؛(\vec{u}{;}\vec{v})\equiv\frac{\pi}{6}\,[2\pi]؛ ثم إذا ∥u⃗∥=2\lVert\vec{u}\rVert=2 و ∥v⃗∥=22\lVert\vec{v}\rVert=\frac{\sqrt{2}}{2} و (u⃗;v⃗)≡5π4 [2π].(\vec{u}{;}\vec{v})\equiv\frac{5\pi}{4}\,[2\pi].
  1. ABCABC متساوي الأضلاع و AB=4.AB=4. احسب AC→⋅CB→.\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}.
  1. ABCABC متساوي الساقين في AA و BC=6.BC=6. احسب AC→⋅AB→.\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}.
  1. حدد القياسات الممكنة لـ (u⃗;v⃗)(\vec{u}{;}\vec{v}) علماً أن ∥u⃗∥=4\lVert\vec{u}\rVert=4 و ∥v⃗∥=2\lVert\vec{v}\rVert=2 و u⃗⋅v⃗=−26.\vec{u}\cdot\vec{v}=-2\sqrt{6}.

تمرين

ABCABC متساوي الساقين في AA و AB=3AB=3 و BC=33.BC=3\sqrt{3}. 1) احسب CA→⋅CB→.\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}. 2) استنتج ACB^\widehat{ACB} و CAB^.\widehat{CAB}.

خاصيات جبرية

خاصيات

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u} ؛

(ku⃗)⋅v⃗=u⃗⋅(kv⃗)=k(u⃗⋅v⃗)(k\vec{u})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(k\vec{v})=k(\vec{u}\cdot\vec{v})

؛

u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}

؛ u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u}\cdot\vec{u}=\lVert\vec{u}\rVert^{2} (المربع السلمي).

تطبيق

ليكن u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} متجهتين بحيث ∥u⃗∥=2\lVert\vec{u}\rVert=2 و ∥v⃗∥=3\lVert\vec{v}\rVert=3 و (u⃗;v⃗)≡2π3 [2π].(\vec{u}{;}\vec{v})\equiv\frac{2\pi}{3}\,[2\pi]. احسب u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} و ∥u⃗∥2\lVert\vec{u}\rVert^{2} و ∥v⃗∥2\lVert\vec{v}\rVert^{2} و

(2u⃗−v⃗)⋅(u⃗+32v⃗).(2\vec{u}-\vec{v})\cdot\left(\vec{u}+\frac{3}{2}\vec{v}\right).

خاصيات

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\lVert\vec{u}+\vec{v}\rVert^{2}=\lVert\vec{u}\rVert^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\lVert\vec{v}\rVert^{2}

؛

∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert^{2}=\lVert\vec{u}\rVert^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\lVert\vec{v}\rVert^{2}

؛

(u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\lVert\vec{u}\rVert^{2}-\lVert\vec{v}\rVert^{2}

؛

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2).\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\bigl(\lVert\vec{u}+\vec{v}\rVert^{2}-\lVert\vec{u}\rVert^{2}-\lVert\vec{v}\rVert^{2}\bigr).

تطبيق

  1. ∥u⃗∥=2\lVert\vec{u}\rVert=2 و ∥v⃗∥=3\lVert\vec{v}\rVert=3 و (u⃗;v⃗)≡π2 [2π].(\vec{u}{;}\vec{v})\equiv\frac{\pi}{2}\,[2\pi]. احسب u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} و (2u⃗−3v⃗)2.(2\vec{u}-3\vec{v})^{2}.
  1. ∥u⃗∥=2\lVert\vec{u}\rVert=\sqrt{2} و ∥v⃗∥=2\lVert\vec{v}\rVert=2 و ∥u⃗+v⃗∥=7.\lVert\vec{u}+\vec{v}\rVert=7. احسب u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} و ∥u⃗−v⃗∥.\lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert.

علاقة الكاشي والتعامد

خاصية

لتكن AA و BB و CC ثلاث نقط من المستوى. لدينا

AB→⋅AC→=12(AB2+AC2−BC2).\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\bigl(AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}\bigr).

البرهان:

AB→⋅AC→=12(∥AB→∥2+∥AC→∥2−∥AB→−AC→∥2)=12(∥AB→∥2+∥AC→∥2−∥CB→∥2)=12(AB2+AC2−BC2).\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\bigl(\lVert\overrightarrow{AB}\rVert^{2}+\lVert\overrightarrow{AC}\rVert^{2}-\lVert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\rVert^{2}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(\lVert\overrightarrow{AB}\rVert^{2}+\lVert\overrightarrow{AC}\rVert^{2}-\lVert\overrightarrow{CB}\rVert^{2}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}\bigr).

تطبيق

  1. لتكن AA و BB و CC ثلاث نقط من المستوى بحيث AB=1AB=1 و AC=3AC=3 و BC=2.BC=2. احسب AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} و BC→⋅AB→.\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}.
  1. ليكن ABCABC مثلثاً قائم الزاوية في A.A. احسب AB→⋅AC→.\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.

تعريف

u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} متعامدان ونكتب u⃗⊥v⃗\vec{u}\perp\vec{v} إذا وفقط إذا u⃗⋅v⃗=0.\vec{u}\cdot\vec{v}=0.

تطبيق

ليكن u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} متجهتين متعامدتين بحيث ∥u⃗∥=4\lVert\vec{u}\rVert=4 و ∥v⃗∥=5.\lVert\vec{v}\rVert=5. حدد العدد الحقيقي mm علماً أن (mu⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=13.(m\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=13.

تطبيق

ABCABC مثلث بحيث AB=1AB=1 و AC=2AC=2 و cos⁡(A^)=122.\cos(\widehat{A})=\frac{1}{2\sqrt{2}}.

  1. احسب AB→⋅AC→.\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
  1. نعتبر النقطة DD المعرفة بـ
AD→=13(AB→+2AC→).\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\bigl(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\bigr).

أ) احسب AB→⋅AD→.\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}. ب) استنتج.

ليكن ABCABC مثلثاً. لدينا

AB→⋅AC→=12(AB2+AC2−BC2)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\bigl(AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}\bigr)

، إذن

BC2=AB2+AC2−2 AB→⋅AC→BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}

، وبالتالي

BC2=AB2+AC2−2 AB×AC×cos⁡(BAC^).BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\,AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC}).

خاصية (علاقة الكاشي)

ليكن ABCABC مثلثاً. لدينا:

BC2=AB2+AC2−2 AB×AC×cos⁡(A^)BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\,AB\times AC\times\cos(\widehat{A})

؛

AB2=AC2+BC2−2 AC×BC×cos⁡(C^)AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\,AC\times BC\times\cos(\widehat{C})

؛

AC2=AB2+BC2−2 AB×BC×cos⁡(B^).AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\,AB\times BC\times\cos(\widehat{B}).

تطبيق

  1. ABCABC مثلث بحيث AB=3AB=3 و AC=5AC=5 و A^=π4.\widehat{A}=\frac{\pi}{4}. احسب BC.BC.
  1. MNPMNP مثلث بحيث MN=3MN=3 و NP=2NP=2 و N^=5π6.\widehat{N}=\frac{5\pi}{6}. احسب MP.MP.

ليكن ABMABM مثلثاً و II منتصف [AB].[AB]. لدينا

MA2+MB2=MA→2+MB→2=(MI→+IA→)2+(MI→+IB→)2=2MI2+12AB2.MA^{2}+MB^{2}=\overrightarrow{MA}^{2}+\overrightarrow{MB}^{2}=\bigl(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\bigr)^{2}+\bigl(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\bigr)^{2}=2MI^{2}+\frac{1}{2}AB^{2}.

خاصية

ليكن ABMABM مثلثاً و II منتصف [AB].[AB]. لدينا MA2+MB2=2MI2+12AB2.MA^{2}+MB^{2}=2MI^{2}+\frac{1}{2}AB^{2}.

تطبيق

ABMABM مثلث و II و JJ و KK منتصفات [AB][AB] و [AM][AM] و [BM][BM] على الترتيب. علماً أن AB=4AB=4 و AM=3AM=3 و BM=4BM=4، احسب المسافات MIMI و AKAK و BJ.BJ.

تطبيق

ABCDABCD متوازي أضلاع بحيث BAD^=π3\widehat{BAD}=\frac{\pi}{3} و AD=4AD=4 و CD=6CD=6، و OO منتصف القطعة [AB].[AB].

  1. احسب المسافتين BDBD و AC.AC.
  1. بيّن أنه لكل نقطة MM من المستوى: MA2+MB2=2MO2+18.MA^{2}+MB^{2}=2MO^{2}+18.
  1. استنتج مجموعة النقط MM من المستوى بحيث MA2+MB2=24.MA^{2}+MB^{2}=24.

خاصية (مثلث قائم)

ABCABC قائم في AA إذا وفقط إذا: BC2=AC2+AB2BC^{2}=AC^{2}+AB^{2} ؛ أو AB2=BH×BCAB^{2}=BH\times BC ؛ أو AH2=HB×HCAH^{2}=HB\times HC ؛ أو AI=12BCAI=\frac{1}{2}BC حيث II منتصف [BC][BC] و HH المسقط العمودي لـ AA على (BC).(BC).

تطبيق

ABCABC قائم في AA و HH المسقط العمودي لـ AA على (BC)(BC) و AB=3AB=3 و AC=4.AC=4. احسب BCBC و HCHC و HBHB و AH.AH.

تطبيق

ليكن ABCABC مثلثاً بحيث AB=3AB=3 و AC=1AC=1 و cos⁡(BAC^)=13.\cos(\widehat{BAC})=\frac{1}{3}.

  1. تحقق أن AB→⋅AC→=1.\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1.
  1. احسب المسافة BC.BC.
  1. ليكن II و JJ منتصفي [BC][BC] و [AC][AC] على الترتيب. أ) احسب AIAI و BJ.BJ. ب) احسب IA→⋅IB→.\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}.
  1. لتكن EE نقطة من المستوى بحيث AE→=49AB→.\overrightarrow{AE}=\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}. أ) اكتب المتجهة IE→\overrightarrow{IE} بدلالة AB→\overrightarrow{AB} و AC→.\overrightarrow{AC}. ب) بيّن أن المستقيمين (AB)(AB) و (IE)(IE) متعامدان.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ