سلسلة تمارين: الجداء السلمي

$ABCD$ شبه منحرف متساوي الساقين و $AB=6$ و $CD=5$ و $I$ و $J$ منتصفا $[AB]$ و $[CD]$ (انظر الشكل). احسب: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ ؛ $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AC'}$ ؛ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$ ؛ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$ ؛ $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{IJ}$ ؛ $\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{ID}.$

1. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ dans les deux cas suivants : $\lVert\vec{u}\rVert=1$, $\lVert\vec{v}\rVert=3$, $(\vec{u}{;}\vec{v})\equiv\frac{\pi}{6}\,[2\pi]$ ; $\lVert\vec{u}\rVert=2$, $\lVert\vec{v}\rVert=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $(\vec{u}{;}\vec{v})\equiv\frac{5\pi}{4}\,[2\pi].$

2. Soit $ABC$ un triangle équilatéral tel que $AB=4.$ Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}.$

3. Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que $BC=6.$ Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}.$

4. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Déterminer les mesures possibles de l'angle orienté $(\vec{u}{;}\vec{v})$ sachant que $\lVert\vec{u}\rVert=4$, $\lVert\vec{v}\rVert=2$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=-2\sqrt{6}.$

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan tels que $\lVert\vec{u}\rVert=2$, $\lVert\vec{v}\rVert=3$ et $(\vec{u}{;}\vec{v})\equiv\frac{2\pi}{3}\,[2\pi].$ Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$, $\lVert\vec{u}\rVert^{2}$, $\lVert\vec{v}\rVert^{2}$ et

1. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\lVert\vec{u}\rVert=2$, $\lVert\vec{v}\rVert=3$ et $(\vec{u}{;}\vec{v})\equiv\frac{\pi}{2}\,[2\pi].$ Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ et $(2\vec{u}+3\vec{v})^{2}.$

2. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\lVert\vec{u}\rVert=\sqrt{2}$, $\lVert\vec{v}\rVert=2$ et $\lVert\vec{u}+\vec{v}\rVert=7.$ Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ et $\lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert.$

1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan tels que $AB=1$, $AC=3$ et $BC=2.$ Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}.$

2. Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A.$ Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.$

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs orthogonaux du plan tels que $\lVert\vec{u}\rVert=4$ et $\lVert\vec{v}\rVert=5.$ Déterminer le réel $m$ sachant que $(m\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=13.$

1. $ABC$ est un triangle tel que $AB=3$, $AC=5$ et $\widehat{A}=\frac{\pi}{4}.$ Calculer $BC.$

2. $MNP$ est un triangle tel que $MN=3$, $NP=2$ et $\widehat{N}=\frac{5\pi}{6}.$ Calculer $MP.$

$ABM$ un triangle et $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[AM]$ et $[BM].$ Sachant que $AB=4$, $AM=3$ et $BM=4$, calculer les distances $MI$, $AK$ et $BJ.$

$ABC$ مثلث قائم في $A$ و $H$ مسقط $A$ على $(BC)$ و $AB=3$ و $AC=4.$ احسب $BC$ و $HC$ و $HB$ و $AH.$