Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الجذع المشترك العلمي

الدرس 04

الحدوديات

تعريف الحدانية والحدودية والدرجة، جدول التصنيف، التساوي، العمليات والجذور والقسمة الإقليدية.

سلسلة التمارين 04 — سلسلة تمارين: الحدوديات

I. تعريف حدودية — العمليات على الحدوديات

ملاحظات

العبارة x3+3x2−x−3x^{3}+3x^{2}-x-3 تُسمى حدودية من الدرجة 33 (أعلى قوة). العبارات x3x^{3} و 3x23x^{2} و −x-x و −3-3 تُسمى حدانيات P(x).P(x). العدد 33 يُسمى معامل الحدانية من الدرجة الثانية، و −1-1 هو معامل الحدانية من الدرجة الأولى، و −3-3 حدها الثابت.

تعاريف

حدانية المتغير xx هي عبارة من الشكل axnax^{n} حيث a∈Ra\in\mathbb{R} و n∈N؛n\in\mathbb{N}؛ يُسمى aa المعامل و nn درجة الحدانية. حدودية المتغير xx هي مجموع حدانيات للمتغير x.x. درجة حدودية P(x)P(x)، ونرمز لها بـ deg⁡(P(x))\deg\bigl(P(x)\bigr) أو d∘(P(x))d^{\circ}\bigl(P(x)\bigr)، هي درجة حدانيتها ذات أعلى درجة.

تطبيق 1

أتمم الجدول التالي:

التعابيرحدودية؟d∘(P(x))d^{\circ}\bigl(P(x)\bigr)معامل الحدانية من الدرجة
نعملا2233
x6+24x2+25x^{6}+24x^{2}+\frac{\sqrt{2}}{5}
x4−∣x∣+4x^{4}-\lvert x\rvert+4
2x2+x+22x^{2}+\sqrt{x}+2
66
2(1x)2+x2\left(\frac{1}{x}\right)^{2}+x

ملاحظة

الحدودية المعدومة (P(x)=0)\bigl(P(x)=0\bigr) ليس لها درجة.

II. العمليات على الحدوديات

خاصية

تكون حدوديتان متساويتين إذا كان لهما نفس الدرجة وكانت معاملات حدانياتهما ذات نفس الدرجة متساوية على التوالي.

تطبيق 2

نعتبر حدوديتين P(x)P(x) و Q(x)Q(x) بحيث: P(x)=4x2−(b−3)xP(x)=4x^{2}-(b-3)x و Q(x)=ax2+2x+c.Q(x)=ax^{2}+2x+c.

حدد الأعداد الحقيقية aa و bb و cc حتى تكون الحدوديتان P(x)P(x) و Q(x)Q(x) متساويتين.

خاصية

ليكن P(x)P(x) و Q(x)Q(x) حدوديتين غير معدومتين. لدينا:

d∘(P(x)×Q(x))=d∘(P(x))+d∘(Q(x)).d^{\circ}\bigl(P(x)\times Q(x)\bigr)=d^{\circ}\bigl(P(x)\bigr)+d^{\circ}\bigl(Q(x)\bigr).

تطبيق 3

حدد درجة الحدودية Q(x)Q(x) ثم حدد شكلها علماً أن: x4−2x3+x2−2x=(x2+1)Q(x).x^{4}-2x^{3}+x^{2}-2x=(x^{2}+1)Q(x).

III. جذر حدودية — قابلية القسمة على (x−a)(x-a)

تعريف

ليكن aa عدداً حقيقياً. نقول إن العدد aa جذر أو صفر لحدودية Q(x)Q(x) إذا كان Q(a)=0.Q(a)=0.

تطبيق 4

حدد قيمة العدد aa حتى يكون 22 جذراً للحدودية P(x)=x3−2x2+ax+6.P(x)=x^{3}-2x^{2}+ax+6.

خاصية

ليكن P(x)P(x) حدودية غير معدومة من الدرجة nn و aa عدداً حقيقياً. توجد حدودية Q(x)Q(x) من الدرجة (n−1)(n-1) بحيث P(x)=(x−a)Q(x)+P(a).P(x)=(x-a)Q(x)+P(a). تكون P(x)P(x) قابلة للقسمة على (x−a)(x-a) إذا كان aa جذراً لـ P(x).P(x). تُسمى Q(x)Q(x) الحدودية خارج القسمة الإقليدية لـ P(x)P(x) على (x−a)(x-a)، والعدد P(a)P(a) هو باقي هذه القسمة.

مثال

القسمة الإقليدية لـ P(x)=2x4+3x3−2x2−x+1P(x)=2x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-x+1 على x−2.x-2.

خارج هذه القسمة الإقليدية هو 2x3+7x2+12x+232x^{3}+7x^{2}+12x+23 والباقي هو P(2)=47.P(2)=47.

تطبيق 5

نعتبر حدوديتين P(x)P(x) و Q(x)Q(x) بحيث: P(x)=2x3−x2+x+4P(x)=2x^{3}-x^{2}+x+4 و Q(x)=x3+3x2+x+7.Q(x)=x^{3}+3x^{2}+x+7.

  1. أ) هل P(x)P(x) قابلة للقسمة على x+1؟x+1؟ ب) أنجز القسمة الإقليدية لـ P(x)P(x) على x+1.x+1.
  1. أ) هل Q(x)Q(x) قابلة للقسمة على x−3؟x-3؟ ب) أنجز القسمة الإقليدية لـ Q(x)Q(x) على x−3.x-3.

تمرين للتركيب

نعتبر حدودية P(x)P(x) بحيث: P(x)=x3−2x2−5x+6.P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6.

  1. بيّن أن P(x)P(x) قابلة للقسمة على x−1.x-1.
  1. حدد بطريقتين مختلفتين الحدودية Q(x)Q(x) بحيث: P(x)=(x−1)Q(x).P(x)=(x-1)Q(x).
  1. بيّن أن 33 جذر لـ Q(x).Q(x).
  1. فكّك Q(x).Q(x).
  1. استنتج تفكيكاً لـ P(x).P(x).
  1. حل المعادلة P(x)=0.P(x)=0.

تمرين (واجب منزلي)

نعتبر الحدودية P(x)=(x−2)3n+(x−1)2n−1P(x)=(x-2)^{3n}+(x-1)^{2n}-1 مع n∈N∗.n\in\mathbb{N}^{*}.

  1. بيّن أنه توجد حدودية Q(x)Q(x) تحقق P(x)=(x−2)Q(x).P(x)=(x-2)Q(x).
  1. ما هي درجة Q(x)؟Q(x)؟ علّل جوابك.
  1. احسب P(1)P(1) بدلالة n.n.
  1. حدد قيم nn التي تكون من أجلها P(x)P(x) قابلة للقسمة على (x−1).(x-1).

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ