سلسلة تمارين: الحدوديات

حدد الأعداد الحقيقية $a$ و $b$ و $c$ حتى تكون المساواة صحيحة:

$\bullet$ الحالة 1: $(x-1)(ax^{2}+bx+c)=-2x^{3}-3x^{2}+5x.$

$\bullet$ الحالة 2:

$\bullet$ الحالة 3: $(x^{2}-1)(ax^{3}+bx^{2}+cx)=x^{5}+x^{3}-2x.$

1. حدد العددين الحقيقيين $a$ و $b$ بحيث $P(-2)=0$ و $P(0)=5$ حيث: $P(x)=-2x^{3}+ax+b.$

2. حدد الأعداد الحقيقية الثلاثة $a$ و $b$ و $c$ بحيث لكل عدد حقيقي $x$ يكون $P(x)=0$ حيث: $P(x)=ax^{3}-3(x-b)x+cx^{2}+(x^{2}-3)x.$

أنجز القسمة الإقليدية لـ $E(x)$ على $F(x)$ في الحالات التالية:

$\bullet$ الحالة 1: $E(x)=5x^{4}-x^{3}-3x^{2}+x-1$ و $F(x)=x-2.$

$\bullet$ الحالة 2: $E(x)=4x^{3}+5x^{2}-x+7$ و $F(x)=x+1.$

$\bullet$ الحالة 3: $E(x)=4x^{5}-5x^{3}+2x+1$ و $F(x)=2x+3.$

ليكن $P(x)$ و $Q(x)$ و $R(x)$ ثلاث حدوديات درجاتها على التوالي $2$ و $1$ و $5.$ حدد درجة الجداء $P(x)\cdot Q(x)\cdot R(x).$

1. أوجد حدودية $P(x)$ من الدرجة الثانية بحيث: $P(2)=3؛$ $P(1)=3؛$ $P(-1)=4.$

2. حدد ثلاثية حدود من الدرجة الثانية تقبل $2$ و $5$ جذرين.

ليكن $P(x)=x^{4}+6x^{3}-11x^{2}-60x+100.$

1. تحقق أن $P(x)=(x^{2}+3x-10)^{2}.$

2. تحقق أن $2$ جذر لـ $P(x).$

3. فكّك $P(x).$

4. حل المعادلة $P(x)=0.$

ليكن $P(x)=-2x^{3}+2x^{2}+10x+6.$

1. بيّن أن $P(x)$ قابلة للقسمة على $x+1.$

2. باستعمال طريقتين، حدد الأعداد الحقيقية الثلاثة $a$ و $b$ و $c$ بحيث لكل عدد حقيقي $x$: $P(x)=(x+1)(ax^{2}+bx+c).$

1. ليكن الثلاثي $Q(x)=x^{2}-x-12.$ احسب $Q(-3)$ وفكّك $Q(x).$

2. حدد العددين الحقيقيين $a$ و $b$ بحيث تكون الحدودية $P(x)=2x^{4}-4x^{3}-33x^{2}+ax+b$ قابلة للقسمة على $Q(x).$

3. فكّك $P(x).$

نعتبر الحدودية: $P(x)=x^{3}-15x-4.$

1. أ) تحقق أن $4$ جذر للحدودية $P(x).$ ب) بيّن أن $P(x)=(x-4)(x^{2}+4x+1).$

2. أ) بيّن أن: $x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3).$ ب) حدد العددين الحقيقيين $a$ و $b$ بحيث: $P(x)+2(x-4)=(x-4)(x+a)(x+b).$

ليكن $P(x)=(x-2)^{3n}+(x-1)^{2n}-1$ حيث $n\in\mathbb{N}^{*}.$

1. أثبت وجود حدودية $Q(x)$ بحيث: $P(x)=(x-2)Q(x).$

2. حدد درجة $Q(x).$

3. احسب $P(1)$ بدلالة $n.$

4. حدد قيم $n$ حتى تكون $P(x)$ قابلة للقسمة على $x-1.$

ليكن $P(x)=2x^{4}-9x^{3}+14x^{2}-9x+2.$

1. تحقق أن $0$ ليس جذراً لهذه الحدودية.

2. بيّن أنه إذا كان $\alpha$ جذراً لـ $P(x)$ فإن $\frac{1}{\alpha}$ جذر أيضاً لـ $P(x).$

3. أ) تحقق أن $2$ جذر للحدودية $P(x).$ ب) استنتج جذراً آخر لـ $P(x).$ ج) بإجراء القسمة الإقليدية لـ $P(x)$ على $x-2$، حدد الحدودية $Q(x)$ بحيث: $P(x)=(x-2)Q(x).$

4. أ) حدد الأعداد الحقيقية الثلاثة $a$ و $b$ و $c$ بحيث: $P(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)(ax^{2}+bx+c).$ ب) فكّك $P(x)$ إلى عوامل من الدرجة الأولى.

ليكن: $P(x)=1-x^{n+1}.$

1. بيّن أن

2. استنتج قيمة المجموع: $S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2009}.$

1. حدد حدودية من الدرجة الثانية $P(x)$ بحيث لكل عدد حقيقي $x$: $P(x+1)-P(x)=x.$

2. استنتج قيمة المجموع: $S=1+2+3+\cdots+n$ حيث $n$ عدد صحيح طبيعي.

نريد تحديد العددين الحقيقيين $a$ و $b$ حتى تكون الحدودية $P(x)=ax^{6}+bx^{5}+1$ قابلة للقسمة على $(x+1)^{2}.$

1. بيّن أنه إذا كان $(x+1)$ يقسم $P(x)$، فإن $P(x)=a(x^{6}+x^{5})+x^{5}+1.$

2. حدد تفكيك $x^{5}+1$ على $x+1.$ استنتج تفكيك $P(x)$ على $(x+1).$

3. حدد عندئذ قيمة $a$ ثم قيمة $b.$

4. أنجز أخيراً تفكيك $P(x)$ على $(x+1)^{2}.$