Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الجذع المشترك العلمي

الدرس 03

الترتيب في R\mathbb{R}

مقارنة الأعداد، قواعد الترتيب، الجذور والمربعات، التأطير، المجالات، القيمة المطلقة والتقريبات.

سلسلة التمارين 03 — سلسلة تمارين: الترتيب في R\mathbb{R}

I. الترتيب والعمليات

  1. الترتيب

تعريف

ليكن aa و bb عددين حقيقيين. نقول إن aa أصغر من أو يساوي bb ونكتب a≤ba\le b إذا كان a−b≤0.a-b\le 0.

تطبيق

قارن العددين AA و BB في الحالات التالية:

A=2n−12nA=\frac{2n-1}{2n} و B=2n2n+1B=\frac{2n}{2n+1} مع n∈N∗.n\in\mathbb{N}^{*}.

A=a+bA=\sqrt{a+b} و B=a+bB=\sqrt{a}+\sqrt{b} مع a∈R+a\in\mathbb{R}^{+} و b∈R+.b\in\mathbb{R}^{+}.

خاصية (الترتيب والجمع)

ليكن aa و bb و cc و dd أعداداً حقيقية.

  • إذا كان a≤ba\le b فإن a+c≤b+c.a+c\le b+c.
  • إذا كان a≤ba\le b و c≤dc\le d فإن a+c≤b+d.a+c\le b+d.

مثال

ليكن a≤57a\le\frac{5}{7} و b≤167.b\le\frac{16}{7}. لدينا a+b≤57+167a+b\le\frac{5}{7}+\frac{16}{7} أي a+b≤217a+b\le\frac{21}{7}، إذن a+b≤3.a+b\le 3.

خاصية (الترتيب والضرب)

ليكن aa و bb و cc و dd و kk أعداداً حقيقية.

  • إذا كان k≥0k\ge 0 فإن a≤ba\le b يكافئ ka≤kb.ka\le kb.
  • إذا كان k≤0k\le 0 فإن a≤ba\le b يكافئ ka≥kb.ka\ge kb.
  • إذا كان 0≤a≤b0\le a\le b و 0≤c≤d0\le c\le d فإن ac≤bd.ac\le bd.

أمثلة

إذا كان a≤23a\le\frac{2}{\sqrt{3}} فإن −3 a≥−2-\sqrt{3}\,a\ge -2 لأن −3≤0.-\sqrt{3}\le 0.

إذا كان 0≤x≤320\le x\le\frac{3}{2} و 0≤y≤20\le y\le 2 فإن xy≤2⋅32xy\le 2\cdot\frac{3}{2} أي xy≤3.xy\le 3.

خاصية (الترتيب والمقلوب)

ليكن aa و bb عددين حقيقيين.

  • إذا كان 0<a≤b0<a\le b فإن 0<1b≤1a.0<\frac{1}{b}\le\frac{1}{a}.
  • إذا كان a≤b<0a\le b<0 فإن 1b≤1a<0.\frac{1}{b}\le\frac{1}{a}<0.

أمثلة

إذا كان 0<x≤30<x\le 3 فإن 0<13≤1x.0<\frac{1}{3}\le\frac{1}{x}.

إذا كان −56≤x<0-\frac{5}{6}\le x<0 فإن 1x≤−65<0.\frac{1}{x}\le-\frac{6}{5}<0.

خاصية (الترتيب والجذر التربيعي — الترتيب والمربع)

ليكن aa و bb عددين حقيقيين.

  • إذا كان 0≤a≤b0\le a\le b فإن a≤b.\sqrt{a}\le\sqrt{b}.
  • إذا كان 0≤a≤b0\le a\le b فإن a2≤b2.a^{2}\le b^{2}.
  • إذا كان a≤b≤0a\le b\le 0 فإن a2≥b2.a^{2}\ge b^{2}.

أمثلة

لدينا 2≤52\le\sqrt{5} إذن 22≤(5)22^{2}\le(\sqrt{5})^{2} أي 4≤5.4\le 5.

لدينا −3≤−2-3\le -2 إذن (−3)2≥(−2)2(-3)^{2}\ge(-2)^{2} أي 9≥4.9\ge 4.

تطبيق

التمرين 3 من السلسلة.

تمرين

التمرين 4 من السلسلة.

التأطير

تعريف

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث a<b.a<b. كل متراجحة مزدوجة من الشكل a≤x≤ba\le x\le b أو a≤x<ba\le x<b أو a<x≤ba<x\le b أو a<x<ba<x<b تُسمى تأطيراً لـ xx سعته b−a.b-a.

مثال

الكتابة 3,14<π≤3,153{,}14<\pi\le 3{,}15 تأطير لـ π\pi سعته 3,15−3,14=0,01.3{,}15-3{,}14=0{,}01.

خاصيات

ليكن aa و bb و cc و dd أعداداً حقيقية.

  • إذا كان a≤x≤ba\le x\le b و c≤y≤dc\le y\le d فإن a+c≤x+y≤b+da+c\le x+y\le b+d و a−d≤x−y≤b−c.a-d\le x-y\le b-c.
  • إذا كان 0≤a≤x≤b0\le a\le x\le b فإن a2≤x2≤b2.a^{2}\le x^{2}\le b^{2}.
  • إذا كان a≤x≤b≤0a\le x\le b\le 0 فإن b2≤x2≤a2.b^{2}\le x^{2}\le a^{2}.
  • إذا كان a≤x≤ba\le x\le b بحيث aa و bb من نفس الإشارة، فإن 1b≤1x≤1a.\frac{1}{b}\le\frac{1}{x}\le\frac{1}{a}.

تطبيق

ليكن xx و yy عددين حقيقيين بحيث −4≤x≤−1-4\le x\le -1 و 2≤y≤5.2\le y\le 5.

أطّر التعابير التالية: x+yx+y ، x−yx-y ، xyxy ، xy\frac{x}{y} و 2xyx2−y2.\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}.

التمرينان 12 و 13 من السلسلة.

II. المجالات

  1. مستقيم الأعداد — مجالات R\mathbb{R}

محور الأعداد مع النقط $O$ و $I$ و $A(2)$ و $B(-3)$ و $C(-2)$
محور الأعداد D(O,I)D(O,I)

ملاحظة

الأعداد xx التي تحقق 2≤x≤52\le x\le 5 تمثّل مجالاً نرمز له بـ [2;5].[2{;}5].

تطبيق

حدد، في كل حالة من الحالات التالية، المجال الذي ينتمي إليه العدد a.a.

  1. −3≤a≤9-3\le a\le 9 ؛ 2) 0<a<50<a<\sqrt{5} ؛ 3) 1<a≤41<a\le 4 ؛ 4) −7≤a<3.-7\le a<3.
  1. a≤2a\le\sqrt{2} ؛ 6) a≥37a\ge 3\sqrt{7} ؛ 7) a<37a<\frac{3}{7} ؛ 8) a>37.a>\frac{3}{7}.

  1. اتحاد وتقاطع المجالات

ملاحظات

ليكن II و JJ مجالين من R.\mathbb{R}.

  • x∈I∩Jx\in I\cap J تعني أن x∈Ix\in I و x∈J.x\in J.
  • x∈I∪Jx\in I\cup J تعني أن x∈Ix\in I أو x∈J.x\in J.

أمثلة

[1;5]∩]2;6]=]2;5][1{;}5]\cap]2{;}6]=]2{;}5] ؛ ]−∞;1]∩[1;4[={1}]-\infty{;}1]\cap[1{;}4[=\{1\} ؛ ]−1;2[∩[3;4[=∅.]-1{;}2[\cap[3{;}4[=\varnothing.

[−3;2[∪]1;4[=[−3;4[[-3{;}2[\cup]1{;}4[=[-3{;}4[ ؛

]−∞;3]∪[3;+∞[=]−∞;+∞[=R.]-\infty{;}3]\cup[3{;}+\infty[=]-\infty{;}+\infty[=\mathbb{R}.

ترميزات خاصة

R+=[0;+∞[\mathbb{R}^{+}=[0{;}+\infty[ ؛ R∗+=]0;+∞[\mathbb{R}^{*+}=]0{;}+\infty[ ؛ R−=]−∞;0]\mathbb{R}^{-}=]-\infty{;}0] ؛ R∗−=]−∞;0[\mathbb{R}^{*-}=]-\infty{;}0[ ؛ R=]−∞;+∞[.\mathbb{R}=]-\infty{;}+\infty[.

تعريف

ليكن I=[a;b]I=[a{;}b] مجالاً من R\mathbb{R} بحيث a<b.a<b.

  • نسمي طول II العدد: b−a.b-a.
  • نسمي مركز II العدد: b+a2.\frac{b+a}{2}.
  • نسمي شعاع II العدد: b−a2.\frac{b-a}{2}.

ملاحظة

التعريف السابق صالح للمجالات: [a;b[[a{;}b[ و ]a;b]]a{;}b] و ]a;b[.]a{;}b[.

تمثيل المجال $]a{;}b]$ على مستقيم الأعداد
مجال نصف مفتوح ]a;b]]a{;}b]

مثال

نعتبر المجال I=]−6;4[.I=]-6{;}4[.

  • طول II هو: ℓ=4−(−6)=10.\ell=4-(-6)=10.
  • مركز II هو: c=4+(−6)2=−1.c=\frac{4+(-6)}{2}=-1.
  • شعاع II هو: r=4−(−6)2=5.r=\frac{4-(-6)}{2}=5.

III. القيمة المطلقة

تعريف

ليكن x∈R.x\in\mathbb{R}. نسمي القيمة المطلقة للعدد xx العدد الحقيقي الموجب المرموز له بـ ∣x∣\lvert x\rvert بحيث:

  • إذا كان x≥0x\ge 0 فإن ∣x∣=x.\lvert x\rvert=x.
  • إذا كان x≤0x\le 0 فإن ∣x∣=−x.\lvert x\rvert=-x.

مثال

∣3−2∣=−(3−2)=2−3.\lvert\sqrt{3}-2\rvert=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}.

تعريف

لتكن A(a)A(a) و B(b)B(b) نقطتين على محور منظّم. لدينا: AB=∣b−a∣.AB=\lvert b-a\rvert.

مثال

نبحث عن المسافة بين النقطتين A(7−2)A(\sqrt{7}-2) و B(5−2)B(\sqrt{5}-2):

AB=∣(5−2)−(7−2)∣=∣5−7∣=−(5−7)=7−5.AB=\bigl\lvert(\sqrt{5}-2)-(\sqrt{7}-2)\bigr\rvert=\lvert\sqrt{5}-\sqrt{7}\rvert=-(\sqrt{5}-\sqrt{7})=\sqrt{7}-\sqrt{5}.

خاصيات

ليكن x∈Rx\in\mathbb{R} و y∈R.y\in\mathbb{R}. لدينا:

  • ∣x∣=∣−x∣\lvert x\rvert=\lvert -x\rvert
  • ∣x2∣=∣x∣2=x2\lvert x^{2}\rvert=\lvert x\rvert^{2}=x^{2}
  • ∣xy∣=∣x∣ ∣y∣\lvert xy\rvert=\lvert x\rvert\,\lvert y\rvert
∣xy∣=∣x∣∣y∣\left\lvert\frac{x}{y}\right\rvert=\frac{\lvert x\rvert}{\lvert y\rvert}

(y≠0)(y\ne 0)

  • ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣\lvert x+y\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert y\rvert
∣x−y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣\lvert x-y\rvert\ge\bigl\lvert\lvert x\rvert-\lvert y\rvert\bigr\rvert
  • x2=∣x∣\sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert
  • ∣x∣=∣y∣\lvert x\rvert=\lvert y\rvert تعني x=yx=y أو x=−y.x=-y.

مثال

∣x∣=2\lvert x\rvert=2 تعني x=2x=2 أو x=−2.x=-2.

تطبيق

التمرين 15 من السلسلة.

حل المعادلتين (E1): ∣2x−5∣=7(E_{1}):\ \lvert 2x-5\rvert=7 و (E2): ∣3x+6∣=−2.(E_{2}):\ \lvert 3x+6\rvert=-2.

التمرين 18 من السلسلة.

خاصيات

ليكن x∈Rx\in\mathbb{R} و r∈R∗+.r\in\mathbb{R}^{*+}. لدينا:

  • ∣x∣≤r\lvert x\rvert\le r تعني أن −r≤x≤r.-r\le x\le r.
  • ∣x∣≥r\lvert x\rvert\ge r تعني أن x≥rx\ge r أو x≤−rx\le -r أي x∈]−∞;−r]∪[r;+∞[.x\in]-\infty{;}-r]\cup[r{;}+\infty[.

تطبيق

التمرين 20 من السلسلة.

IV. التقريبات — التقريبات العشرية

  1. التقريب بالنقص وبالزيادة

تعريف

ليكن a≤x≤ba\le x\le b أو a≤x<ba\le x<b أو a<x≤ba<x\le b أو a<x<b.a<x<b.

العدد aa يُسمى تقريباً بالنقص لـ xx إلى قرب b−a.b-a.

العدد bb يُسمى تقريباً بالزيادة لـ xx إلى قرب b−a.b-a.

مثال

لدينا: 2,645<7<2,646.2{,}645<\sqrt{7}<2{,}646.

  • العدد 2,6452{,}645 تقريب بالنقص لـ 7\sqrt{7} إلى قرب 2,646−2,645=10−3.2{,}646-2{,}645=10^{-3}.
  • العدد 2,6462{,}646 تقريب بالزيادة لـ 7\sqrt{7} إلى قرب 10−3.10^{-3}.

  1. القيمة المقربة

تعريف

ليكن x∈Rx\in\mathbb{R} و r∈R∗+.r\in\mathbb{R}^{*+}. إذا كان ∣x−a∣≤r\lvert x-a\rvert\le r، نقول إن aa قيمة مقربة لـ xx إلى قرب r.r.

مثال

لدينا: ∣5−2,23∣≤0,01.\lvert\sqrt{5}-2{,}23\rvert\le 0{,}01. إذن 2,232{,}23 قيمة مقربة لـ 5\sqrt{5} إلى قرب 0,01.0{,}01.

تطبيق

حدد جميع القيم المقربة لـ 37\frac{3}{7} إلى قرب 0,1.0{,}1.

ملاحظة

إذا كان a≤x≤ba\le x\le b فإن a+b2\frac{a+b}{2} قيمة مقربة لـ xx إلى قرب b−a2.\frac{b-a}{2}.

مثال

نبحث عن قيمة مقربة لـ 5+7.\sqrt{5}+\sqrt{7}.

لدينا: 2,236≤5≤2,2372{,}236\le\sqrt{5}\le 2{,}237 و 2,645≤7≤2,646.2{,}645\le\sqrt{7}\le 2{,}646.

إذن: 4,881≤5+7≤4,883.4{,}881\le\sqrt{5}+\sqrt{7}\le 4{,}883.

ومن ثم: 5+7∈I=[4,881;4,883].\sqrt{5}+\sqrt{7}\in I=[4{,}881{;}4{,}883].

مركز II هو c=4,881+4,8832=4,882c=\frac{4{,}881+4{,}883}{2}=4{,}882 وشعاعه r=4,883−4,8812=0,001=10−3.r=\frac{4{,}883-4{,}881}{2}=0{,}001=10^{-3}.

إذن 4,8824{,}882 قيمة مقربة لـ 5+7\sqrt{5}+\sqrt{7} إلى قرب 10−3.10^{-3}.

  1. التقريبات العشرية

تعريف

ليكن xx عدداً حقيقياً بحيث N×10−p≤x≤(N+1)×10−pN\times 10^{-p}\le x\le(N+1)\times 10^{-p} مع p∈Np\in\mathbb{N} و N∈Z.N\in\mathbb{Z}.

العدد N×10−pN\times 10^{-p} يُسمى التقريب العشري بالنقص لـ xx إلى قرب 10−p.10^{-p}.

العدد (N+1)×10−p(N+1)\times 10^{-p} يُسمى التقريب العشري بالزيادة لـ xx إلى قرب 10−p.10^{-p}.

مثال

لدينا: 0,62≤58≤0,630{,}62\le\frac{5}{8}\le 0{,}63، أي

62×10−2≤58≤63×10−2.62\times 10^{-2}\le\frac{5}{8}\le 63\times 10^{-2}.

العدد 62×10−262\times 10^{-2} هو التقريب العشري بالنقص لـ 58\frac{5}{8} إلى قرب 10−2.10^{-2}.

العدد 63×10−263\times 10^{-2} هو التقريب العشري بالزيادة لـ 58\frac{5}{8} إلى قرب 10−2.10^{-2}.

تطبيق

نضع: x=7−32.x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}.

علماً أن 1,73<3<1,741{,}73<\sqrt{3}<1{,}74 و 2,64<7<2,652{,}64<\sqrt{7}<2{,}65، أعط التقريب العشري بالنقص وبالزيادة لـ xx إلى قرب 10−2.10^{-2}.

التمرين رقم 23 من السلسلة.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ