Ximath
تسجيل الدخول
سلاسل هذا المستوى

الجذع المشترك العلمي

السلسلة 03

سلسلة تمارين: الترتيب في R\mathbb{R}

مقارنة، تأطير، قيمة مطلقة، معادلات ومتراجحات، وتقريبات.

الدرس 03 — الترتيب في R\mathbb{R}

تمرين 01

قارن العددين AA و BB في الحالات التالية:

  1. A=1+32A=1+3\sqrt{2} ؛ B=33.B=3\sqrt{3}.
  1. A=−53A=-5\sqrt{3} ؛ B=−62.B=-6\sqrt{2}.
  1. A=xx+1A=\frac{x}{x+1} ؛ B=yy+1B=\frac{y}{y+1} مع (0<x<y).(0<x<y).
  1. A=x2+xx2+x+1A=\frac{x^{2}+x}{x^{2}+x+1} ؛ B=y2+yy2+y+1B=\frac{y^{2}+y}{y^{2}+y+1} مع (0<x<y).(0<x<y).
  1. A=a−bA=\sqrt{a-b} ؛ B=a−bB=\sqrt{a}-\sqrt{b} مع (0<b<a).(0<b<a).
  1. A=1(x+1)(x+4)A=\frac{1}{(x+1)(x+4)} ؛ B=1(x+2)(x+3)B=\frac{1}{(x+2)(x+3)} مع (0<x).(0<x).
  1. A=1+1nA=1+\frac{1}{n} ؛ B=11+1nB=\frac{1}{1+\frac{1}{n}} مع (n∈N∗).(n\in\mathbb{N}^{*}).

تمرين 02

ليكن: A=318−72+292A=3\sqrt{18}-\sqrt{72}+2\sqrt{\frac{9}{2}} و B=28+32−27.B=\sqrt{28}+\sqrt{32}-2\sqrt{7}.

  1. بيّن أن: A−B=42−27.A-B=4\sqrt{2}-2\sqrt{7}.
  1. قارن AA و B.B.

تمرين 03

نعتبر العددين aa و bb بحيث: a=25−32a=2\sqrt{5}-3\sqrt{2} و b=39−1210.b=\sqrt{39-12\sqrt{10}}.

  1. بيّن أن a≥0.a\ge 0.
  1. احسب a2a^{2} و b2.b^{2}.
  1. قارن aa و bb ثم 1a\frac{1}{a} و 1b.\frac{1}{b}.

تمرين 04

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث: a≥2a\ge 2 و b≥2.b\ge 2. نضع: x=a+bx=\sqrt{a}+\sqrt{b} و y=ab+1.y=\sqrt{ab}+1.

  1. بيّن أن: x2−y2=(a−1)(1−b).x^{2}-y^{2}=(a-1)(1-b).
  1. قارن xx و y.y.
  1. تطبيق: قارن العددين 3+2\sqrt{3}+\sqrt{2} و 1+6.1+\sqrt{6}.

تمرين 05

ليكن xx و yy عددين حقيقيين موجبين قطعاً بحيث: x2+y2=2.x^{2}+y^{2}=2.

  1. بيّن أن (x+y)2=2(1+xy).(x+y)^{2}=2(1+xy).
  1. استنتج أن: x+y>2.x+y>\sqrt{2}.

تمرين 06

  1. ليكن aa عدداً حقيقياً بحيث: a≥1.a\ge 1. بيّن أن: a2≥a.a^{2}\ge a.
  1. ليكن xx و yy عددين حقيقيين بحيث: x≥1x\ge 1 و y≥1.y\ge 1. بيّن أن: x+y≤2xy.x+y\le 2xy.

تمرين 07

ليكن xx و yy عددين حقيقيين. بيّن أن:

x2+y2≥2xyx^{2}+y^{2}\ge 2xy ؛ (x+y)2≥4xy(x+y)^{2}\ge 4xy ؛

(x+y2)2≤x2+y22.\left(\frac{x+y}{2}\right)^{2}\le\frac{x^{2}+y^{2}}{2}.

تمرين 08

ليكن xx و yy عددين حقيقيين موجبين قطعاً. بيّن أن: x+y≥2xyx+y\ge 2\sqrt{xy} ؛ xy+yx≥2.\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.

تمرين 09

ليكن aa و bb و cc ثلاثة أعداد حقيقية. نضع: A=a2+b2+c2−ab−ac−bc.A=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc.

  1. بيّن أن: 2A=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2.2A=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}.
  1. استنتج أن: ab+ac+bc≤a2+b2+c2.ab+ac+bc\le a^{2}+b^{2}+c^{2}.

تمرين 10

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث: 3≤a≤93\le a\le 9 و 2≤b≤7.2\le b\le 7. أطّر التعابير التالية:

a+ba+b ؛ a−ba-b ؛ 2a+3b2a+3b ؛ 2a−5b2a-5b ؛ ab\frac{a}{b} ؛ 2a+3b2a−5b\frac{2a+3b}{2a-5b} ؛ a2+b2.a^{2}+b^{2}.

تمرين 11

ليكن xx و yy عددين حقيقيين بحيث: −4≤x≤−1-4\le x\le -1 و 3≤y≤5.3\le y\le 5. أطّر التعابير التالية:

x+yx+y ؛ x−yx-y ؛ xyxy ؛ x2y2−2xy.\frac{x^{2}}{y^{2}-2xy}.

تمرين 12

ليكن xx و yy عددين حقيقيين بحيث: −2≤x≤2-2\le x\le 2 و 5≤y≤9.5\le y\le 9. أطّر التعابير التالية:

x+yx+y ؛ x−yx-y ؛ xyxy ؛ xy.\frac{x}{y}.

تمرين 13

ليكن xx عدداً حقيقياً بحيث: 5≤x≤7.5\le x\le 7. نضع: A=x2−2x−8.A=x^{2}-2x-8.

  1. أطّر التعبير A.A.
  1. أ) تحقق أن: A=(x−4)(x+2).A=(x-4)(x+2). ب) استنتج تأطيراً آخر لـ A.A.
  1. أ) تحقق أن: A=(x−1)2−9.A=(x-1)^{2}-9. ب) استنتج تأطيراً آخر لـ A.A.
  1. ما أفضل تأطير لـ A؟A؟

تمرين 14

ليكن xx و yy عددين حقيقيين بحيث: 1≤x≤21\le x\le 2 و 12≤y≤32.\frac{1}{2}\le y\le\frac{3}{2}. نضع: A=x2−y2+x+y.A=x^{2}-y^{2}+x+y.

  1. أطّر التعبير A.A.
  1. أ) تحقق أن: A=(x+y)(x−y+1).A=(x+y)(x-y+1). ب) استنتج تأطيراً آخر لـ A.A.
  1. استنتج أن: 34≤A≤294.\frac{3}{4}\le A\le\frac{29}{4}.

تمرين 15

اكتب، دون رمز القيمة المطلقة، الأعداد التالية:

A=∣3−π∣+∣2−3∣+∣−π2−1∣−∣2−3−6∣.A=\lvert 3-\pi\rvert+\lvert 2^{-3}\rvert+\lvert -\pi\sqrt{2}-1\rvert-\lvert 2^{-3}-6\rvert.
B=∣315+5∣+∣115−5∣.B=\left\lvert\frac{3}{\sqrt{15}+5}\right\rvert+\left\lvert\frac{1}{\sqrt{15}-5}\right\rvert.
  • C=∣2x−3∣+(2x−3)2C=\lvert 2x-3\rvert+\sqrt{(2x-3)^{2}} حيث x∈R.x\in\mathbb{R}.

تمرين 16

ليكن xx و yy عددين حقيقيين بحيث: ∣x−2∣<12\lvert x-2\rvert<\frac{1}{2} و ∣y∣≤12.\lvert y\rvert\le\frac{1}{2}.

بيّن أن: 1<2xx−y<5.1<\frac{2x}{x-y}<5.

تمرين 17

أسئلة هذا التمرين مستقلة.

  1. نعتبر العدد A=6−11−6+11.A=\sqrt{6-\sqrt{11}}-\sqrt{6+\sqrt{11}}.

أ) حدد إشارة A.A. ب) احسب A2A^{2} ثم استنتج قيمة A.A.

  1. نعتبر العدد
B=(6+2)(3−2)(3+2).B=(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-2)\bigl(\sqrt{\sqrt{3}+2}\bigr).

أ) بيّن أن: B2=4.B^{2}=4. ب) استنتج قيمة B.B.

  1. نعتبر العدد C=x2+2x+1+x2−2x+1.C=\sqrt{x^{2}+2x+1}+\sqrt{x^{2}-2x+1}. علماً أن x∈[−1;1]x\in[-1{;}1]، بسّط العدد C.C.

تمرين 18

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث: a≥−2a\ge -2 و b≤−1b\le -1 و a−b=6.a-b=6.

  1. احسب العدد: A=(a+2)2+(b+1)2.A=\sqrt{(a+2)^{2}}+\sqrt{(b+1)^{2}}.
  1. بيّن أن: a≤5a\le 5 و b≥−8.b\ge -8.
  1. حدد قيمة العدد: B=∣a+b−4∣+∣a+b+10∣.B=\lvert a+b-4\rvert+\lvert a+b+10\rvert.

تمرين 19

حل في R\mathbb{R} المعادلات التالية:

  1. ∣2x−3∣=8\lvert 2x-3\rvert=8 ؛ 2) ∣x−23∣=−1\left\lvert x-\frac{2}{3}\right\rvert=-1 ؛ 3) ∣x+8∣=∣2x−1∣\lvert x+8\rvert=\lvert 2x-1\rvert ؛ 4)
∣∣x∣−3∣=∣4x+5∣\bigl\lvert\lvert x\rvert-3\bigr\rvert=\lvert 4x+5\rvert

؛ 5) ∣x+2∣=∣x−3∣.\lvert x+2\rvert=\lvert x-3\rvert.

تمرين 20

حل في R\mathbb{R} المتراجحات التالية:

  1. ∣x∣≤3\lvert x\rvert\le 3 ؛ 2) ∣x∣≥3\lvert x\rvert\ge 3 ؛ 3) ∣1−x∣≥4\lvert 1-x\rvert\ge 4 ؛ 4) ∣7−2x∣>1\lvert 7-2x\rvert>1 ؛ 5) 1≤∣x+2∣≤2.1\le\lvert x+2\rvert\le 2.

تمرين 21

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث: a<3a<3 و 0<b<120<b<\frac{1}{2} و ab=1.ab=1.

  1. بيّن أن: 2<a<3.2<a<3.
  1. استنتج أن: 13<b<12.\frac{1}{3}<b<\frac{1}{2}.
  1. بيّن أن: 37<1a−2b<1.\frac{3}{7}<\frac{1}{a-2b}<1.
  1. تحقق أن 57\frac{5}{7} قيمة مقربة لـ 1a−2b\frac{1}{a-2b} إلى قرب 27.\frac{2}{7}.

تمرين 22

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث: 0<a<10<a<1 و b=1+a2.b=\frac{1+\sqrt{a}}{2}.

  1. بيّن أن: 12<b<1.\frac{1}{2}<b<1.
  1. بيّن أن: b−1=a−12(1+a).b-1=\frac{a-1}{2(1+\sqrt{a})}.
  1. استنتج أن: ∣b−1∣<12∣a−1∣.\lvert b-1\rvert<\frac{1}{2}\lvert a-1\rvert.
  1. استنتج قيمة مقربة لـ 1+0,62\frac{1+\sqrt{0{,}6}}{2} إلى قرب 2×10−2.2\times 10^{-2}.

تمرين 23

ليكن x∈R∗.x\in\mathbb{R}^{*}. نضع: E=1+x2x.E=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}.

  1. بيّن أن:
E−1x=x1+x2+1.E-\frac{1}{x}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}+1}.
  1. أ) بيّن أن 1+x2+1≥2.\sqrt{1+x^{2}}+1\ge 2. ب) استنتج أن:
∣E−1x∣<12∣x∣.\left\lvert E-\frac{1}{x}\right\rvert<\frac{1}{2}\lvert x\rvert.
  1. حدد قيمة مقربة للعدد 1,00010,01\frac{\sqrt{1{,}0001}}{0{,}01} إلى قرب 5×10−3.5\times 10^{-3}.

تمرين 24

ليكن a∈R∗+.a\in\mathbb{R}^{*+}.

  1. أ) بيّن أن: 1+1+a>2.1+\sqrt{1+a}>2.

ب) استنتج أن: 0<11+1+a<12.0<\frac{1}{1+\sqrt{1+a}}<\frac{1}{2}.

ج) بيّن أن: 1<1+a<1+a2.1<\sqrt{1+a}<1+\frac{a}{2}.

د) أعط تأطيراً للعدد 1,04.\sqrt{1{,}04}.

  1. أ) بيّن أن:
1a+a+1=a+1−a.\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}.

ب) استنتج قيمة المجموع:

S=11+2+12+3+⋯+199+100.S=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}.

تمرين 25

ليكن n∈N.n\in\mathbb{N}.

  1. بيّن أن: nn+1<n+1n+2.\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}.
  1. نعتبر العددين:
A=12×34×56×⋯×9798×99100A=\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}\times\cdots\times\frac{97}{98}\times\frac{99}{100}

و

B=23×45×67×⋯×9697×9899.B=\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{7}\times\cdots\times\frac{96}{97}\times\frac{98}{99}.

أ) بيّن أن: A<B.A<B.

ب) احسب الجداء A×B.A\times B.

ج) استنتج أن: A<110<B.A<\frac{1}{10}<B.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ