الهندسة في الفضاء

تحديد مستوى، موضوعات الهندسة الفضائية، الأوضاع النسبية، التوازي والتعامد.

سلسلة التمارين 10 — سلسلة تمارين: الهندسة في الفضاء

موضوعات الهندسة في الفضاء

موضوعة

بثلاث نقط غير مستقيمية يمر مستوى واحد وواحد فقط.

موضوعة

إذا انتمت نقطتان من مستقيم إلى مستوى، فإن المستقيم ضمن هذا المستوى.

موضوعة

إذا اشترك مستويان متمايزان في نقطة، فإن تقاطعهما مستقيم.

موضوعة

من نقطة لا تنتمي إلى مستقيم يمر مستقيم واحد موازٍ لهذا المستقيم.

نتائج

يُحدَّد مستوى في الفضاء بـ: ثلاث نقط غير مستقيمية ؛ مستقيم ونقطة خارجه ؛ مستقيمين متقاطعين ؛ مستقيمين متوازيين قطعاً.

الأوضاع النسبية لمستقيمات ومستويات

ليكن $(P_{1})$ و $(P_{2})$ مستويين في الفضاء. فهما إما متقاطعان وفق مستقيم، أو متوازيان قطعاً، أو منطبقان.

المستقيمات	مستوائيان	غير مستوائيين	متقاطعان	متوازيان قطعاً	منطبقان
$(BC)$ و $(AB)$
$(AB)$ و $(GH)$
$(AC)$ و $(DC)$
$(AC)$ و $(BF)$
$(EG)$ و $(EA)$
$(AC)$ و $(ED)$

خطاطة

ليكن $(D_{1})$ و $(D_{2})$ مستقيمين في الفضاء: إما مستوائيان (متقاطعان، أو متوازيان قطعاً، أو منطبقان) أو غير مستوائيين.

المستقيم	المستوى	متقاطعان في نقطة	المستقيم ضمن المستوى	توازٍ قطعي
$(AB)$	$(ABC)$
$(AB)$	…………
$(EF)$	$(CDF)$
…………	$(BCF)$
$(DF)$	$(BCE)$

التوازي والتعامد في الفضاء

خاصيات

إذا وازى مستقيم مستقيمين متقاطعين من مستوى فإنه يوازي المستوى. إذا وازى مستويان نفسا المستقيم وكانا متقاطعين فإن تقاطعهما يوازي هذا المستقيم. مستويان متوازيان يُقطعان بمستوى ثالث وفق مستقيمين متوازيين.

تطبيق

$ABCDEFGH$ متوازي مستطيلات قائم و $I$ و $J$ و $K$ نقط من $[AB]$ و $[DC]$ و $[HG]$ على الترتيب بحيث $BI=CJ=HK.$

حدد طبيعة الرباعي $IBKH.$

حدد الوضع النسبي لـ $(IH)$ و $(BK).$

استنتج أن $(BK)$ يوازي قطعاً $(HIJ).$

تطبيق

$SABCD$ هرم و $I$ و $J$ و $K$ منتصفات $[SA]$ و $[SB]$ و $[SC].$

بيّن أن $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ واستنتج الوضع النسبي لـ $(IJ)$ و $(AB).$

استنتج أن $(IJ)$ يوازي قطعاً $(ABC).$

بيّن أن $(IJK)\parallel(ABC).$