Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الجذع المشترك العلمي

الدرس 11

الدوال العددية

التعريف، مجموعة التعريف، التمثيل المبياني، الزوجية، التغيرات، القيم القصوى، الدوال الدورية، القطع المكافئ والزائد، والدالة التناسبية العكسية المعممة.

سلسلة التمارين 11 — سلسلة تمارين: الدوال العددية

عموميات — دالة عددية لمتغير حقيقي

تعريف

ليكن DD مجموعة أعداد حقيقية. تعريف دالة عددية ff على DD يعني أن نربط بكل عدد حقيقي xx من DD عدداً حقيقياً واحداً على الأكثر، يُسمى صورة x.x.

ترميزات

لتكن a∈D.a\in D. صورة العدد aa بالدالة ff وحيدة ونرمز لها بـ f(a).f(a). تُقرأ f(a)f(a) «ff لـ aa»، ونستعمل أيضاً الترميز f:x↦f(x).f:x\mapsto f(x). إذا كان bb صورة aa فإن f(a)=bf(a)=b ونقول إن aa سابق لـ bb بالدالة f.f.

تطبيق

نعتبر ff الدالة المعرفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=2x2−3.f(x)=2x^{2}-3.

  1. حدد صور −2-2 و 00 و 22 بالدالة f.f.
  1. حدد سوابق الأعداد 00 و 55 و −4-4 إن وُجدت.

مجموعة تعريف دالة عددية

تعريف

مجموعة تعريف دالة ff، ويُرمز لها غالباً بـ DfD_{f}، هي مجموعة الأعداد الحقيقية xx التي تكون من أجلها الصورة f(x)f(x) معرّفة جيداً. نكتب Df={x∈R / f(x)∈R}.D_{f}=\{x\in\mathbb{R}\,/\,f(x)\in\mathbb{R}\}.

ترميزات

نقول إن دالة معرّفة على مجال II إذا كان II ضمن مجموعة تعريفها. ولتحديد مجموعة تعريف دالة يجب حذف كل الأعداد التي ينعدم من أجلها المقام وتلك التي تجعل ما تحت رمز الجذر المربع سالباً.

تقنية: لتكن P(x)P(x) و Q(x)Q(x) دالتين حدوديتين، لدينا:

الدالةمجموعة التعريف
x↦P(x)x\mapsto P(x)D=RD=\mathbb{R}
x↦P(x)Q(x)x\mapsto\frac{P(x)}{Q(x)}D={x∈R / Q(x)≠0}D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,Q(x)\ne 0\}
x↦P(x)x\mapsto\sqrt{P(x)}D={x∈R / P(x)≥0}D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,P(x)\ge 0\}
x↦P(x)Q(x)x\mapsto\frac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}D={x∈R / Q(x)>0}D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,Q(x)>0\}
x↦P(x)Q(x)x\mapsto\frac{\sqrt{P(x)}}{Q(x)}D={x∈R / P(x)≥0 و Q(x)≠0}D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,P(x)\ge 0\text{ و }Q(x)\ne 0\}
x↦P(x)Q(x)x\mapsto\sqrt{\frac{P(x)}{Q(x)}}D={x∈R / P(x)Q(x)≥0 و Q(x)≠0}D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,\frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0\text{ و }Q(x)\ne 0\right\}
x↦P(x)Q(x)x\mapsto\frac{\sqrt{P(x)}}{\sqrt{Q(x)}}D={x∈R / P(x)≥0 و Q(x)>0}D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,P(x)\ge 0\text{ و }Q(x)>0\}

مثال

نحدد مجموعة تعريف الدالة ff المعرفة بـ f(x)=x−2x−4.f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-4}.

Df={x∈R / x−2≥0 و x−4≠0}={x∈R / x≥2 و x≠4}=[2;+∞[∖{4}.D_{f}=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x-2\ge 0\text{ و }x-4\ne 0\}=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\ge 2\text{ و }x\ne 4\}=[2{;}+\infty[\setminus\{4\}.

إذن Df=[2;4[ ∪ ]4;+∞[.D_{f}=[2{;}4[\,\cup\,]4{;}+\infty[.

تطبيق

حدد مجموعة تعريف الدوال التالية:

f1:x↦x3+12x−5f_{1}:x\mapsto x^{3}+12x-5 ؛ f2:x↦−2x+45x+3f_{2}:x\mapsto\frac{-2x+4}{5x+3} ؛ f3:x↦x2x2+2x−4f_{3}:x\mapsto\frac{\sqrt{x}}{2x^{2}+2x-4} ؛

f4:x↦4x2−52x2+2x−4.f_{4}:x\mapsto\frac{4x^{2}-5}{\sqrt{2x^{2}+2x-4}}.

f5:x↦x+4∣x∣−3f_{5}:x\mapsto\frac{x+4}{\lvert x\rvert-3} ؛

f6:x↦2−x∣x+2∣−1f_{6}:x\mapsto\frac{\sqrt{2-x}}{\lvert x+2\rvert-1}

؛ f7:x↦2−x4x+2f_{7}:x\mapsto\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{4x+2}} ؛ f8:x↦2−x4x+2.f_{8}:x\mapsto\sqrt{\frac{2-x}{4x+2}}.

تساوي دالتين عدديتين

تعريف

لتكن ff و gg دالتين و DfD_{f} و DgD_{g} مجموعتي تعريفهما على التوالي. نقول إن ff و gg متساويتان ونكتب f=gf=g إذا كان: Df=Dg=DD_{f}=D_{g}=D و f(x)=g(x)f(x)=g(x) لكل xx من D.D.

أمثلة

نعتبر ff و gg المعرفتين بـ f(x)=x2f(x)=\sqrt{x^{2}} و g(x)=∣x∣.g(x)=\lvert x\rvert. لدينا Df=RD_{f}=\mathbb{R} و Dg=RD_{g}=\mathbb{R} إذن Df=Dg=RD_{f}=D_{g}=\mathbb{R}، ولكل xx من R\mathbb{R}: f(x)=x2=∣x∣=g(x).f(x)=\sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert=g(x). وبالتالي f=g.f=g.

نعتبر ff و gg المعرفتين بـ f(x)=xf(x)=x و g(x)=x2x.g(x)=\frac{x^{2}}{x}. لدينا Df=RD_{f}=\mathbb{R} و Dg=R∗D_{g}=\mathbb{R}^{*} إذن Df≠Dg.D_{f}\ne D_{g}. وبالتالي f≠g.f\ne g.

تطبيق

بيّن أن الدالتين ff و gg المعرفتين بـ f(x)=x+2x−4f(x)=\frac{\sqrt{x}+2}{x-4} و g(x)=1x−2g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-2} متساويتان.

التمثيل المبياني لدالة عددية

المستقيم $y=2x+2$ في معلم متعامد ممنظم

تعريف

في معلم للمستوى، المنحنى الممثل للدالة ff، ويُرمز له غالباً بـ (Cf)(C_{f})، هو مجموعة النقط M(x;f(x))M\bigl(x{;}f(x)\bigr) حيث xx يمسح مجموعة التعريف Df.D_{f}. ومعادلة هذا المنحنى هي y=f(x).y=f(x).

منحنى ممثل لدالة مع نقطة $M(x{;}f(x))$ ومجموعة التعريف $D$

تطبيق

نعتبر ff الدالة المعرفة بـ f(x)=x2x+1.f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}. من بين النقط A(0;0)A(0{;}0) و B(−1;1)B(-1{;}1) و C(3;94)C\left(3{;}\frac{9}{4}\right) و D(2;4)D(2{;}4)، حدد النقط التي تنتمي إلى (Cf).(C_{f}). علّل أجوبتك.

تطبيق

نعتبر ff الدالة المعرفة بمنحناها (Cf)(C_{f}) الممثل جانبه:

منحنى (C_f) لقراءة الصور والسوابق
  1. حدد مجموعة تعريف f.f.
  1. حدد صور الأعداد التالية بالدالة ff: −5-5 و −4-4 و −3-3 و −2-2 و 00 و 4.4.
  1. ما هي سوابق 33 و 55 بالدالة f؟f؟
  1. حدد نقط تقاطع (Cf)(C_{f}) مع محوري المعلم.

ملاحظات

لتكن ff دالة و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم للمستوى. لتحديد نقط تقاطع (Cf)(C_{f}) مع محور الأفاصيل نحل المعادلة f(x)=0f(x)=0 حيث x∈Df.x\in D_{f}. وإذا كان 0∈Df0\in D_{f} فإن نقطة تقاطع (Cf)(C_{f}) مع محور الأراتيب هي A(0;f(0)).A\bigl(0{;}f(0)\bigr).

تطبيق

نعتبر ff الدالة المعرفة بـ f(x)=x2+2x−8.f(x)=x^{2}+2x-8. حدد نقط تقاطع (Cf)(C_{f}) مع محوري المعلم.

زوجية دالة عددية

منحنى دالة زوجية متماثل بالنسبة لمحور الأراتيب

تعريف وخاصية

لتكن ff دالة عددية و DfD_{f} مجموعة تعريفها. نقول إن ff زوجية إذا تحقق الشرطان: −x∈Df-x\in D_{f} لكل xx من DfD_{f} («DfD_{f} متماثلة بالنسبة إلى 00»)؛ و f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) لكل xx من Df.D_{f}. تكون ff زوجية إذا وفقط إذا كان منحناها متماثلاً بالنسبة إلى محور الأراتيب.

منحنى دالة فردية متماثل بالنسبة لأصل المعلم

تعريف وخاصية

لتكن ff دالة عددية و DfD_{f} مجموعة تعريفها. نقول إن ff فردية إذا تحقق الشرطان: −x∈Df-x\in D_{f} لكل xx من DfD_{f} («DfD_{f} متماثلة بالنسبة إلى 00»)؛ و f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) لكل xx من Df.D_{f}. تكون ff فردية إذا وفقط إذا كان منحناها متماثلاً بالنسبة إلى أصل المعلم.

تطبيق

ادرس زوجية الدوال التالية:

f1:x↦x−1x2f_{1}:x\mapsto x-\frac{1}{x^{2}} ؛ f2:x↦xx2−1f_{2}:x\mapsto\frac{x}{x^{2}-1} ؛ f3:x↦x+1.f_{3}:x\mapsto\sqrt{x+1}.

f4:x↦x2+x−3f_{4}:x\mapsto x^{2}+x-3 ؛ f5:x↦∣x−1∣−∣x+1∣f_{5}:x\mapsto\lvert x-1\rvert-\lvert x+1\rvert ؛ f6:x↦sin⁡(x)−xcos⁡(x).f_{6}:x\mapsto\sin(x)-x\cos(x).

تطبيق

نعتبر ff و gg الدالتين المعرفتين على R\mathbb{R} وعلى [−5;5][-5{;}5] على التوالي بمنحنييهما (Cf)(C_{f}) و (Cg)(C_{g}) الممثلين أسفله. أتمم (Cf)(C_{f}) علماً أن ff زوجية، وأتمم (Cg)(C_{g}) علماً أن gg فردية.

جزء من منحنى $(C_{f})$ لإتمامه بالزوجية
جزء من منحنى $(C_{g})$ لإتمامه بالفردية

تغيرات دالة عددية

منحنى لدراسة تغيرات دالة على [-7;7]
xx−7-7−6-6−5-5−3-30022446677
f(x)f(x)

جدول تغيرات للدالة ff (للإتمام)

xx
−7-7
−5-5
22
77
f(x)f(x)

تعاريف

لتكن ff دالة و II مجالاً ضمن مجموعة تعريفها. ff تزايدية قطعاً (على الترتيب تزايدية) على II إذا كان لكل aa و bb من II بحيث a<ba<b: f(a)<f(b)f(a)<f(b) (على الترتيب f(a)≤f(b)f(a)\le f(b)). ff تناقصية قطعاً (على الترتيب تناقصية) على II إذا كان a<ba<b يستلزم f(a)>f(b)f(a)>f(b) (على الترتيب f(a)≥f(b)f(a)\ge f(b)). ff ثابتة على II إذا كان f(a)=f(b).f(a)=f(b). ff رتيبة قطعاً (على الترتيب رتيبة) على II إذا كانت تزايدية قطعاً أو تناقصية قطعاً على I.I.

دالة تناقصية قطعاً: تغير الترتيب
دالة تزايدية قطعاً: تحافظ على الترتيب
دالة تناقصية قطعاًدالة تزايدية قطعاً
f(x1)f(x_{1}) و f(x2)f(x_{2}) ليسا في نفس ترتيب x1x_{1} و x2x_{2}. الدالة ff تعكس الترتيب.f(x1)f(x_{1}) و f(x2)f(x_{2}) في نفس ترتيب x1x_{1} و x2x_{2}. الدالة ff تحافظ على الترتيب.

تطبيق

نعتبر ff الدالة المعرفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=2x2+3.f(x)=2x^{2}+3.

  1. ليكن aa و bb عنصرين من المجال [0;+∞[[0{;}+\infty[ بحيث a<b.a<b. أ) بيّن أن f(a)<f(b).f(a)<f(b). ب) استنتج رتابة ff على [0;+∞[.[0{;}+\infty[.
  1. ادرس رتابة ff على ]−∞;0].]-\infty{;}0].

تطبيق

ضع جدول تغيرات الدالة ff الممثلة بمنحناها أسفله.

منحنى لتدريب جدول التغيرات

معدل تغير دالة

تعريف

لتكن ff دالة عددية و DfD_{f} مجموعة تعريفها، وليكن aa و bb عددين متمايزين من Df.D_{f}. العدد الحقيقي T=f(b)−f(a)b−aT=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} يُسمى معدل تغير ff بين aa و b.b.

خاصية

لتكن ff دالة عددية و TT معدل تغيرها بين عددين متمايزين aa و bb من مجال II ضمن مجموعة تعريفها. إذا كان T>0T>0 (على الترتيب T≥0T\ge 0) لكل aa و bb من II فإن ff تزايدية قطعاً (على الترتيب تزايدية) على I.I. إذا كان T<0T<0 (على الترتيب T≤0T\le 0) فإن ff تناقصية قطعاً (على الترتيب تناقصية) على I.I. إذا كان T=0T=0 فإن ff ثابتة على I.I.

أمثلة

ندرس رتابة الدالة ff المعرفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=4x+5.f(x)=4x+5.

ندرس رتابة الدالة ff المعرفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=4.f(x)=4.

تطبيق

نعتبر الدالة المعرفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=x2−6x+5.f(x)=x^{2}-6x+5.

  1. بيّن أن معدل تغير ff بين عددين متمايزين aa و bb هو T=a+b−6.T=a+b-6.
  1. ادرس رتابة ff على كل من المجالين ]−∞;3]]-\infty{;}3] و [3;+∞[.[3{;}+\infty[.
  1. ضع جدول تغيرات f.f.

الرتابة وزوجية دالة

خاصية

لتكن ff دالة عددية مجموعة تعريفها DfD_{f} متماثلة بالنسبة إلى 0.0. وليكن II مجالاً من R+\mathbb{R}^{+} ضمن DfD_{f} و JJ مماثل II بالنسبة إلى 0.0. إذا كانت ff زوجية: إذا كانت ff تزايدية على II فإنها تناقصية على JJ، وإذا كانت تناقصية على II فإنها تزايدية على J.J. وإذا كانت ff فردية فإن لها نفس منحى التغير على II وعلى J.J.

تطبيق

الجدول التالي يمثل تغيرات دالة عددية f.f.

الجزء المعطى من جدول التغيرات (يُتمم بالزوجية أو الفردية)

xx
−7-7
−5-5
00
f(x)f(x)
66
44

تطبيق (تتمة)

  1. حدد مجموعة تعريف الدالة f.f.
  1. أتمم الجدول أعلاه علماً أن ff زوجية.
  1. أتمم الجدول أعلاه علماً أن ff فردية.

تمرين: تمرين من السلسلة

لتكن ff دالة عددية معرفة بـ f(x)=x+4x.f(x)=x+\frac{4}{x}.

  1. حدد DfD_{f} مجموعة تعريف f.f.
  1. بيّن أن ff فردية.
  1. بيّن أنه إذا كان aa و bb عددين حقيقيين متمايزين غير منعدمين فإن f(b)−f(a)b−a=ab−4ab.\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{ab-4}{ab}.
  1. ادرس تغيرات ff على كل من المجالين [2;+∞[[2{;}+\infty[ و ]0;2].]0{;}2].
  1. استنتج تغيرات ff على كل من المجالين ]−∞;−2]]-\infty{;}-2] و [−2;0[.[-2{;}0[.
  1. ضع جدول تغيرات ff على Df.D_{f}.

القيم القصوى والقيم الدنيا لدالة

تعريف

لتكن ff دالة عددية و DfD_{f} مجموعة تعريفها و II مجالاً ضمن DfD_{f} و aa عدداً حقيقياً من I.I. نقول إن f(a)f(a) هي القيمة الدنيا لـ ff على II إذا كان لكل xx من II: f(x)≥f(a).f(x)\ge f(a). ونقول إن f(a)f(a) هي القيمة القصوى لـ ff على II إذا كان لكل xx من II: f(x)≤f(a).f(x)\le f(a). ونقول إن f(a)f(a) قيمة متطرفة لـ ff على II إذا كانت القيمة القصوى أو القيمة الدنيا لـ ff على I.I.

تطبيق

لتكن ff دالة عددية معرفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=x2−2x+5.f(x)=x^{2}-2x+5.

  1. احسب f(1).f(1).
  1. أ) بيّن أن f(x)≥4f(x)\ge 4 لكل x∈R.x\in\mathbb{R}. ب) ماذا تستنتج؟

تمرين

لتكن ff دالة عددية معرفة بـ f(x)=x+4x.f(x)=x+\frac{4}{x}.

  1. احسب f(2)f(2) واحسب f(−2).f(-2).
  1. بيّن أن 44 هي القيمة الدنيا لـ ff على المجال ]0;+∞[.]0{;}+\infty[.
  1. بيّن أن −4-4 هي القيمة القصوى لـ ff على المجال ]−∞;0[.]-\infty{;}0[.

الحل المبياني للمعادلات والمتراجحات

خاصية

لتكن ff و gg دالتين عدديتين و (Cf)(C_{f}) و (Cg)(C_{g}) منحنييهما في معلم و aa عدداً حقيقياً. حلول المعادلة f(x)=af(x)=a هي أفاصيل نقط تقاطع (Cf)(C_{f}) مع المستقيم الأفقي ذي المعادلة y=a.y=a. حلول المتراجحة f(x)≥af(x)\ge a (على الترتيب f(x)≤af(x)\le a) هي المجال (أو اتحاد المجالات) المكوّن من أفاصيل نقط (Cf)(C_{f}) الموجودة فوق (على الترتيب تحت) المستقيم y=a.y=a. حلول المعادلة f(x)=g(x)f(x)=g(x) هي أفاصيل نقط تقاطع المنحنيين (Cf)(C_{f}) و (Cg).(C_{g}). وحلول المتراجحة f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) (على الترتيب f(x)≤g(x)f(x)\le g(x)) هي أفاصيل نقط (Cf)(C_{f}) الموجودة فوق (على الترتيب تحت) (Cg).(C_{g}).

تطبيق

الدالتان ff و gg معرفتان على R\mathbb{R} وتمثيلهما المبياني معطى أسفله. حل مبيانياً ما يلي:

منحنيان $(C_{f})$ و $(C_{g})$ للحل المبياني

g(x)=2g(x)=2 ؛ f(x)=2f(x)=2 ؛ f(x)≥2f(x)\ge 2 ؛ g(x)≤2.g(x)\le 2.

g(x)=f(x)g(x)=f(x) ؛ g(x)≥0g(x)\ge 0 ؛ g(x)≥f(x)g(x)\ge f(x) ؛ g(x)≤f(x).g(x)\le f(x).

الدوال الدورية — الدالتان x↦cos⁡(x)x\mapsto\cos(x) و x↦sin⁡(x)x\mapsto\sin(x)

تعريف

لتكن ff دالة عددية و DfD_{f} مجموعة تعريفها. نقول إن ff دورية إذا وُجد عدد حقيقي موجب قطعاً TT بحيث: x+T∈Dfx+T\in D_{f} لكل xx من DfD_{f}، و f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) لكل xx من Df.D_{f}. نقول إن TT دور لـ ff وإن ff دورية بدور T.T.

تطبيق

نعتبر الدالتين ff و gg المعرفتين على R\mathbb{R} بـ f(x)=cos⁡(x)f(x)=\cos(x) و g(x)=sin⁡(x).g(x)=\sin(x).

منحنى دالة دورية
جزء من منحنى cos لإتمامه
جزء من منحنى sin لإتمامه
  1. ادرس زوجية ff و g.g.
  1. احسب f(x+2π)f(x+2\pi) و g(x+2π)g(x+2\pi) حيث x∈R.x\in\mathbb{R}. استنتج.
  1. أتمم منحنيي ff و gg الممثلين أسفله.

القطع المكافئ — القطع الزائد

xx00112212\frac{1}{2}
f(x)f(x)
القطعان المكافئان $y=2x^{2}$ و $y=-x^{2}$

تعريف

ليكن aa عدداً حقيقياً غير منعدم. منحنى الدالة f:x↦ax2f:x\mapsto ax^{2} في معلم (O;ı⃗;ȷ⃗)(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}) للمستوى يُسمى قطعاً مكافئاً رأسه OO ومحور تماثله محور الأراتيب.

قطع مكافئ لـ $ax^{2}$ رأسه $O$

خاصية

ليكن aa عدداً حقيقياً غير منعدم. جدول تغيرات الدالة f:x↦ax2f:x\mapsto ax^{2}: إذا كان a>0a>0 فإن ff تناقصية قطعاً على ]−∞;0]]-\infty{;}0] وتزايدية قطعاً على [0;+∞[[0{;}+\infty[، وإذا كان a<0a<0 فإن ff تزايدية قطعاً على ]−∞;0]]-\infty{;}0] وتناقصية قطعاً على [0;+∞[.[0{;}+\infty[.

إذا كان a>0a>0

xx
−∞-\infty
00
+∞+\infty
f(x)f(x)
+∞+\infty
00
+∞+\infty

إذا كان a<0a<0

xx
−∞-\infty
00
+∞+\infty
f(x)f(x)
−∞-\infty
00
−∞-\infty

تطبيق

نعتبر ff الدالة المعرفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=23x2f(x)=\frac{2}{3}x^{2} و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم متعامد ممنظم.

  1. أعط طبيعة (Cf)(C_{f}) محدداً عناصرها المميزة.
  1. ضع جدول تغيرات ff ثم أنشئ (Cf).(C_{f}).
القطع المكافئ $y=\dfrac{2}{3}x^{2}$ رأسه $O$

تعريف — الدالة f:x↦ax2+bx+cf:x\mapsto ax^{2}+bx+c

ليكن aa و bb و cc أعداداً حقيقية بحيث a≠0.a\ne 0. المنحنى الممثل للدالة f:x↦ax2+bx+cf:x\mapsto ax^{2}+bx+c في معلم متعامد ممنظم هو قطع مكافئ رأسه

(−b2a;f(−b2a))\left(-\frac{b}{2a}{;}f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)

ومحور تماثله المستقيم ذو المعادلة x=−b2a.x=-\frac{b}{2a}.

تطبيق

أعط الرأس ومحور التماثل لكل من المنحنيات الممثلة للدوال المعرفة بـ:

f1:x↦x2+2x+1f_{1}:x\mapsto x^{2}+2x+1 ؛ f2:x↦−2x2+4x+1f_{2}:x\mapsto -2x^{2}+4x+1 ؛ f3:x↦x2+1.f_{3}:x\mapsto x^{2}+1.

خاصية

ليكن aa و bb و cc أعداداً حقيقية بحيث a≠0.a\ne 0. جدول تغيرات الدالة f:x↦ax2+bx+cf:x\mapsto ax^{2}+bx+c: إذا كان a>0a>0 فإن ff تناقصية قطعاً على ]−∞;−b2a]\left]-\infty{;}-\frac{b}{2a}\right] وتزايدية قطعاً على [−b2a;+∞[\left[-\frac{b}{2a}{;}+\infty\right[، وإذا كان a<0a<0 فالعكس.

إذا كان a>0a>0

xx
−∞-\infty
−b2a-\dfrac{b}{2a}
+∞+\infty
f(x)f(x)
+∞+\infty
f(−b2a)f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)
+∞+\infty

إذا كان a<0a<0

xx
−∞-\infty
−b2a-\dfrac{b}{2a}
+∞+\infty
f(x)f(x)
−∞-\infty
f(−b2a)f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)
−∞-\infty

تطبيق

ضع جدول تغيرات الدوال المعرفة بـ:

f1:x↦x2+2x+1f_{1}:x\mapsto x^{2}+2x+1 ؛ f2:x↦−2x2+4x+1f_{2}:x\mapsto -2x^{2}+4x+1 ؛ f3:x↦x2+1.f_{3}:x\mapsto x^{2}+1.

تطبيق

نعتبر ff الدالة المعرفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=2x2−4x+3f(x)=2x^{2}-4x+3 و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم متعامد ممنظم.

  1. حدد طبيعة (Cf)(C_{f}) محدداً عناصرها المميزة.
  1. ضع جدول تغيرات f.f.
  1. أنشئ (Cf).(C_{f}).
  1. أنشئ في نفس المعلم منحنى الدالة gg المعرفة على R\mathbb{R} بـ g(x)=2x2.g(x)=2x^{2}.
القطعان المكافئان $f(x)=2x^{2}-4x+3$ و $g(x)=2x^{2}$

ملاحظة

يمكن إنشاء منحنى الدالة f:x↦ax2+bx+cf:x\mapsto ax^{2}+bx+c انطلاقاً من منحنى الدالة x↦ax2x\mapsto ax^{2} باستعمال الإزاحة ذات المتجهة

u⃗(−b2a;f(−b2a)).\vec{u}\left(-\frac{b}{2a}{;}f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right).

الدالة f:x↦axf:x\mapsto\frac{a}{x} حيث a∈R∗a\in\mathbb{R}^{*}

نعتبر ff الدالة المعرفة على R∗\mathbb{R}^{*} بـ f(x)=axf(x)=\frac{a}{x} و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم متعامد ممنظم. زوجية ff: لكل x≠0x\ne 0 لدينا −x≠0-x\ne 0 أي −x∈R∗-x\in\mathbb{R}^{*}، ولدينا f(−x)=a−x=−ax=−f(x).f(-x)=\frac{a}{-x}=-\frac{a}{x}=-f(x). نستنتج أن ff فردية وبالتالي (Cf)(C_{f}) متماثل بالنسبة إلى أصل المعلم.

رتابة ff: ليكن x1x_{1} و x2x_{2} عنصرين متمايزين من R∗.\mathbb{R}^{*}. معدل تغير ff بين x1x_{1} و x2x_{2} هو T=−ax1x2.T=-\frac{a}{x_{1}x_{2}}. إذا كان x1x_{1} و x2x_{2} من ]0;+∞[]0{;}+\infty[ فإن x1x2>0x_{1}x_{2}>0، وإذا كانا من ]−∞;0[]-\infty{;}0[ فإن x1x2>0x_{1}x_{2}>0 أيضاً. ومنه فإن إشارة TT هي إشارة −a.-a.

إذا كان a<0a<0

xx
−∞-\infty
00
+∞+\infty
f(x)f(x)
00
+∞+\infty
−∞-\infty
00

إذا كان a>0a>0

xx
−∞-\infty
00
+∞+\infty
f(x)f(x)
00
−∞-\infty
+∞+\infty
00

المنحنى الممثل لـ ff

المنحنى الممثل للدالة f:x↦axf:x\mapsto\frac{a}{x} يُسمى قطعاً زائداً مركزه OO (أصل المعلم) ومقارباه x=0x=0 و y=0y=0 (محورا المعلم).

قطع زائد لـ $a/x$ عندما $a<0$
قطع زائد لـ $a/x$ عندما $a>0$

تطبيق

نعتبر ff و gg دالتين معرفتين على R∗\mathbb{R}^{*} بـ f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} و g(x)=−2x.g(x)=-\frac{2}{x}.

  1. حدد طبيعة (Cf)(C_{f}) و (Cg)(C_{g}) المنحنيين الممثلين لـ ff و gg في معلم متعامد ممنظم.
  1. أتمم الجدول التالي:
xx13\frac{1}{3}12\frac{1}{2}11223344
f(x)f(x)
g(x)g(x)

تطبيق (تتمة)

  1. أنشئ (Cf)(C_{f}) و (Cg).(C_{g}).
القطعان الزائدان $y=\dfrac{1}{x}$ و $y=-\dfrac{2}{x}$

الدالة التناسبية العكسية المعممة x↦ax+bcx+dx\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}

تعريف

نسمي دالة تناسبية عكسية معممة كل دالة ff يمكن كتابتها على الشكل f(x)=ax+bcx+df(x)=\frac{ax+b}{cx+d} حيث aa و bb و c≠0c\ne 0 و dd أعداد حقيقية بحيث ad−bc≠0.ad-bc\ne 0.

ملاحظة

إذا كان c≠0c\ne 0 و ad−bc=0ad-bc=0 فإن الخارج ax+bcx+d\frac{ax+b}{cx+d} ثابت، وبالفعل:

ax+bcx+d=c(ax+b)c(cx+d)=acx+bcc(cx+d)=acx+adc(cx+d)=a(cx+d)c(cx+d)=ac.\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{c(ax+b)}{c(cx+d)}=\frac{acx+bc}{c(cx+d)}=\frac{acx+ad}{c(cx+d)}=\frac{a(cx+d)}{c(cx+d)}=\frac{a}{c}.

مثال

نعتبر ff الدالة المعرفة بـ f(x)=2x+1x−3.f(x)=\frac{2x+1}{x-3}. لدينا a=2a=2 و c=1c=1 و b=1b=1 و d=−3d=-3 و ad−bc=−7≠0ad-bc=-7\ne 0، إذن ff دالة تناسبية عكسية معممة.

خاصية

كل دالة تناسبية عكسية معممة يمكن كتابتها على الشكل المختزل x↦A+Bx−α.x\mapsto A+\frac{B}{x-\alpha}.

مثال

نبحث عن الشكل المختزل للدالة ff المعرفة بـ f(x)=2x+1x−3.f(x)=\frac{2x+1}{x-3}. لكل x≠3x\ne 3 لدينا

f(x)=2(x−3)+7x−3=2+7x−3.f(x)=\frac{2(x-3)+7}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}.

إذن A=2A=2 و B=7B=7 و α=3.\alpha=3.

تطبيق

أعط الشكل المختزل للدوال التناسبية العكسية المعممة التالية: f(x)=3x−1x+1f(x)=\frac{3x-1}{x+1} ؛ g(x)=3x−12x+3g(x)=\frac{3x-1}{2x+3} ؛ h(x)=2x−113x+6.h(x)=\frac{2x-11}{3x+6}.

خاصية

جدول تغيرات الدالة x↦A+Bx−αx\mapsto A+\frac{B}{x-\alpha}: إذا كان B>0B>0 فإن الدالة تناقصية قطعاً على كل من ]−∞;α[]-\infty{;}\alpha[ و ]α;+∞[]\alpha{;}+\infty[، وإذا كان B<0B<0 فإنها تزايدية قطعاً على كل منهما.

إذا كان B>0B>0

xx
−∞-\infty
α\alpha
+∞+\infty
f(x)f(x)
AA
−∞-\infty
+∞+\infty
AA

إذا كان B<0B<0

xx
−∞-\infty
α\alpha
+∞+\infty
f(x)f(x)
AA
+∞+\infty
−∞-\infty
AA

البرهان: ليكن x1x_{1} و x2x_{2} عنصرين متمايزين من R∖{α}.\mathbb{R}\setminus\{\alpha\}. معدل تغير ff بين x1x_{1} و x2x_{2} هو T=−B(x1−α)(x2−α).T=\frac{-B}{(x_{1}-\alpha)(x_{2}-\alpha)}. إذا كان x1x_{1} و x2x_{2} من ]α;+∞[]\alpha{;}+\infty[ فإن (x1−α)(x2−α)>0(x_{1}-\alpha)(x_{2}-\alpha)>0، وإذا كانا من ]−∞;α[]-\infty{;}\alpha[ فإن (x1−α)(x2−α)>0.(x_{1}-\alpha)(x_{2}-\alpha)>0. ومنه فإن إشارة TT هي إشارة −B.-B.

تطبيق

أعط جدول تغيرات الدوال التناسبية العكسية المعممة التالية: f(x)=3x−1x+1f(x)=\frac{3x-1}{x+1} ؛ g(x)=3x−12x+3g(x)=\frac{3x-1}{2x+3} ؛ h(x)=2x−113x+6.h(x)=\frac{2x-11}{3x+6}.

خاصية

المنحنى الممثل للدالة x↦A+Bx−αx\mapsto A+\frac{B}{x-\alpha} هو قطع زائد مركزه (α;A)(\alpha{;}A) ومقارباه x=αx=\alpha و y=A.y=A.

قطع زائد لدالة تناسبية عكسية معممة مركزه $\Omega(\alpha{;}A)$

تطبيق

نعتبر ff الدالة المعرفة بـ f(x)=2x+1x−1f(x)=\frac{2x+1}{x-1} و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم متعامد ممنظم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

  1. حدد DfD_{f} مجموعة تعريف f.f.
  1. حدد طبيعة (Cf).(C_{f}).
  1. أنشئ (Cf).(C_{f}).
  1. أنشئ في نفس المعلم منحنى الدالة gg المعرفة على R∗\mathbb{R}^{*} بـ g(x)=3x.g(x)=\frac{3}{x}.
المنحنيان $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ و $g(x)=\dfrac{3}{x}$

ملاحظة

يمكن إنشاء منحنى الدالة x↦A+Bx−αx\mapsto A+\frac{B}{x-\alpha} انطلاقاً من منحنى الدالة x↦Bxx\mapsto\frac{B}{x} باستعمال الإزاحة ذات المتجهة u⃗(α;A).\vec{u}(\alpha{;}A).

تمرين للتركيب: تمرين من السلسلة

لتكن ff و gg دالتين عدديتين معرفتين بـ f(x)=−2x2+4xf(x)=-2x^{2}+4x و g(x)=xx−1.g(x)=\frac{x}{x-1}.

  1. حدد طبيعة (Cf)(C_{f}) منحنى f.f.
  1. أعط جدول تغيرات f.f.
  1. أ) أنشئ (Cf).(C_{f}). ب) حل مبيانياً في DfD_{f}: f(x)=3f(x)=3 و f(x)≥3f(x)\ge 3 و f(x)<3.f(x)<3.
  1. حدد طبيعة (Cg)(C_{g}) منحنى g.g.
  1. أعط جدول تغيرات g.g.
  1. أ) أنشئ (Cg)(C_{g}) في نفس المعلم. ب) حل مبيانياً في DgD_{g}: xx−1=−2x2+4x\frac{x}{x-1}=-2x^{2}+4x و xx−1≤−2x2+4x.\frac{x}{x-1}\le -2x^{2}+4x.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ