سلسلة تمارين: الدوال العددية

حدد مجموعة تعريف الدوال التالية:

$f_{1}:x\mapsto x^{3}+12x-5$ ؛ $f_{2}:x\mapsto\frac{-2x+4}{5x+3}$ ؛ $f_{3}:x\mapsto\frac{\sqrt{x}}{2x^{2}+2x-4}$ ؛

؛ $f_{6}:x\mapsto\sqrt{\frac{2-x}{4x+2}}$ ؛ $f_{7}:x\mapsto\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{4x+2}}$ ؛ $f_{8}:x\mapsto\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)-1}.$

ادرس زوجية الدوال التالية:

$f_{1}:x\mapsto\lvert x\rvert-\frac{1}{x^{2}}$ ؛ $f_{2}:x\mapsto\frac{x}{x^{2}-1}$ ؛ $f_{3}:x\mapsto\sqrt{x+1}$ ؛ $f_{4}:x\mapsto x^{2}+x-3$ ؛ $f_{5}:x\mapsto\lvert x-1\rvert-\lvert x+1\rvert$ ؛ $f_{6}:x\mapsto\sin(x)-x\cos(x).$

ضع جدول تغيرات الدالة $f$ المعطاة بمنحناها التالي:

يُعطى جدول تغيرات دالة $f$ معرفة على المجال $[-5{;}5].$

1. ارسم منحنى يمكن أن يمثل الدالة $f.$

2. كم عدد حلول المعادلة $f(x)=0؟$ أعط هذه الحلول.

3. حدد إشارة $f(x).$

المنحنى $(C_{f})$ أسفله هو منحنى دالة $f.$ ونعلم علاوة على ذلك أن $f(3{,}5)=0.$

1. أعط مجموعة تعريف $f.$

2. ضع جدول تغيرات $f.$

3. حل مبيانياً المتراجحتين: $f(x)\ge 0$ و $f(x)\le 0.$

4. حل مبيانياً المتراجحة: $f(x)\ge 2.$

5. نعتبر الدالتين $g$ و $h$ المعرفتين بـ $g(x)=\sqrt{f(x)}$ و $h(x)=\frac{4x-5\sqrt{x}}{f(x)}.$ أعط $D_{g}$ و $D_{h}.$

ارسم منحنى يمكن أن يمثل الدالة $f$ علماً أن: $f$ معرفة على المجال $[0{;}5]$ ؛ $f$ تزايدية على هذا المجال ؛ $f(0)=1$ و $f(5)=4.$

ارسم منحنى يمكن أن يمثل الدالة $f$ علماً أن: $f$ معرفة على المجال $[-3{;}3]$ ؛ $f$ تناقصية على $[-3{;}-1]$ ؛ $f$ تزايدية على $[-1{;}3]$ ؛ لكل $x\in[-3{;}3]$: $-1\le f(x)\le 4.$

الدالتان $f$ و $g$ معرفتان على $\mathbb{R}؛$ تمثيلهما المبياني معطى أسفله.

حل مبيانياً ما يلي:

$g(x)=2$ ؛ $f(x)=7$ ؛ $f(x)=2$ ؛ $g(x)\le 2$ ؛ $f(x)\ge 2$ ؛ $g(x)=f(x)$ ؛ $g(x)\le f(x)$ ؛ $g(x)\ge f(x)$ ؛ $g(x)\ge 0.$

لتكن $f$ دالة عددية معرفة بـ $f(x)=x+\frac{4}{x}.$

1. حدد $D_{f}$ مجموعة تعريف $f.$

2. بيّن أن $f$ فردية.

3. بيّن أنه إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين متمايزين غير منعدمين فإن $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{ab-4}{ab}.$

4. ادرس تغيرات $f$ على كل من المجالين $[2{;}+\infty[$ و $]0{;}2].$

5. استنتج تغيرات $f$ على كل من المجالين $]-\infty{;}-2]$ و $[-2{;}0[.$

6. ضع جدول تغيرات $f$ على $D_{f}.$

لتكن $f$ دالة معرفة بـ $f(x)=-x^{2}+2x.$

1. حدد $D_{f}$ مجموعة تعريف $f.$

2. بيّن أن $1$ قيمة قصوى لـ $f$ على $D_{f}.$

3. بيّن أنه إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين متمايزين من $D_{f}$ فإن $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=2-a-b.$

4. ادرس تغيرات $f$ على كل من المجالين $[1{;}+\infty[$ و $]-\infty{;}1].$

5. ضع جدول تغيرات $f$ على $D_{f}.$

6. نعتبر الدالة $g$ المعرفة بـ $g(x)=-x^{2}+2\lvert x\rvert.$

أ) حدد $D_{g}$ مجموعة تعريف $g.$

ب) بيّن أنه لكل $x$ من $\mathbb{R}^{+}$ لدينا $g(x)=f(x).$

ج) استنتج جدول تغيرات $g.$

د) ادرس زوجية $g.$

لتكن $f$ دالة معرفة بـ $f(x)=\frac{2x-5}{2-x}.$

1. حدد $D_{f}$ مجموعة تعريف $f.$

2. ضع جدول تغيرات $f$ على $D_{f}.$

3. أنشئ منحنى $f$ في معلم متعامد ممنظم.

4. نعتبر الدالة $g$ المعرفة بـ $g(x)=\frac{2\lvert x\rvert-5}{2-\lvert x\rvert}.$

د) حدد $D_{g}$ مجموعة تعريف $g.$

هـ) ادرس زوجية $g.$

و) استنتج جدول تغيرات $g.$

ز) أنشئ منحنى $g$ في نفس المعلم.

لتكن $f$ و $g$ دالتين عدديتين معرفتين بـ $f(x)=-2x^{2}+4x$ و $g(x)=\frac{x}{x-1}.$

1. حدد طبيعة $(C_{f})$ منحنى $f.$

2. أعط جدول تغيرات $f.$

3. أ) أنشئ $(C_{f}).$ ب) حل مبيانياً في $D_{f}$: $f(x)=3$ و $f(x)\ge 3$ و $f(x)<3.$

4. حدد طبيعة $(C_{g})$ منحنى $g.$

5. أعط جدول تغيرات $g.$

6. أ) أنشئ $(C_{g})$ في نفس المعلم. ب) حل مبيانياً في $D_{g}$: $\frac{x}{x-1}=-2x^{2}+4x$ و $\frac{x}{x-1}\le -2x^{2}+4x.$

نعتبر المثلث $ABC$ و $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $[BC].$ النقطة $M$ نقطة من $[BC].$ نعطي $AH=4$ و $BC=7$ و $BH=4$ ونضع $BM=x.$

1. في أي مجال يمكن أن يتغير العدد $x؟$

2. نرمز بـ $f(x)$ لمساحة المثلث $ABM.$ أ) أنجز رسمين، الأول من أجل $x=4$ والثاني من أجل $x=2$، ثم احسب $f(4)$ و $f(2).$ ب) عبّر عن $f(x)$ بدلالة $x.$ ج) ماذا يمكن أن نقول عن مساحة المثلث $ABM$ عندما يتزايد $x$، أي عندما نزيح النقطة $M$ نحو النقطة $C؟$ ما منحى تغير $f؟$

3. نرمز بـ $g(x)$ لمساحة المثلث $AMC.$ أ) احسب $g(4).$ ب) عبّر عن $g(x)$ بدلالة $x.$ ج) ما منحى تغير الدالة $g؟$

4. حل المعادلة $f(x)=g(x)$ بالحساب وباعتبارات هندسية.