الجذع المشترك العلمي

الدرس 05

المعادلات والمتراجحات والأنظمة

معادلات ومتراجحات من الدرجة الأولى والثانية، إشارة الحدانية وثلاثية الحدود، والأنظمة في $\mathbb{R}^{2}$ .

سلسلة التمارين 05 — سلسلة تمارين: المعادلات والمتراجحات والأنظمة

I. معادلات ومتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

إشارة الحدانية $ax+b$ ( $a\ne 0$ )

x

-\infty

-\dfrac{4}{3}

+\infty

3x+4

\ldots

\ldots

0

ملاحظة

الجدول أعلاه يُسمى جدول إشارة الحدانية $ax+b.$

خاصية

جدول إشارة $ax+b$ هو:

x

-\infty

-\dfrac{b}{a}

+\infty

ax+b

-\mathrm{sgn}(a)

\mathrm{sgn}(a)

0

تطبيق 1: التمرين 3 من السلسلة

نضع $p(x)=(2x-5)(-3x+4).$

ضع جدول إشارة $(-3x+4)$ و $(2x-5).$

استنتج إشارة $p(x).$

استنتج حلول المتراجحة $p(x)\le 0.$

تمرين 1: التمرين 4 من السلسلة

حل في $\mathbb{R}$ المتراجحات التالية:

$(E_{1}):\ 4x^{2}-25\ge 0.$

$(E_{2}):\ (4x-5)(2x+7)(1-x)^{2}>0.$

$(E_{3}):\ \frac{(3x-1)(x+2)}{2x+5}<0.$

II. معادلات ومتراجحات من الدرجة الثانية بمجهول واحد

عموميات

تعريف

الكتابة $(x-3)^{2}-4$ تُسمى الكتابة القانونية للحدودية $x^{2}-6x+5.$

بصفة عامة:

كتابة قانونية ومميز

ليكن $p(x)=ax^{2}+bx+c$ ثلاثية حدود من الدرجة الثانية حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقية و $a\ne 0.$ لدينا

ax^{2}+bx+c=a\left[x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^{2}}{(2a)^{2}}\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{(2a)^{2}}\right].

لتبسيط الحسابات نضع $\Delta=b^{2}-4ac$ ، فنحصل على

ax^{2}+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\right].

العدد $\Delta$ يُسمى مميز $ax^{2}+bx+c.$

منحنى ثلاثية حدود من الدرجة الثانية — تمثيل بياني لـ $y=ax^{2}+bx+c$ .

خاصية

لحل المعادلة $(a\ne 0)$ $(E):\ ax^{2}+bx+c=0$ نحسب المميز $\Delta=b^{2}-4ac.$ لدينا الحالات التالية: إذا $\Delta<0$ فإن المعادلة $(E)$ لا تقبل حلًا في $\mathbb{R}$ ونكتب $S=\varnothing.$ إذا $\Delta=0$ فإن المعادلة $(E)$ تقبل حلًا وحيدًا في $\mathbb{R}$ هو $-\frac{b}{2a}$ ونكتب $S=\left\{-\frac{b}{2a}\right\}.$ إذا $\Delta>0$ فإن المعادلة $(E)$ تقبل حلين مختلفين $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ و $x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ ونكتب

S=\left\{\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}{;}\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}.

تطبيق 2

حل في $\mathbb{R}$ المعادلات التالية:

$(E_{1}):\ 2x^{2}+2x-12=0$ ؛ $(E_{2}):\ 5x^{2}-4x+2=0$ ؛ $(E_{3}):\ 3x^{2}-4x=0.$

$(E_{4}):\ 3x^{2}+4=0$ ؛ $(E_{5}):\ x^{2}-2\sqrt{3}\,x+1=0.$

تمرين 2: التمرين 6 من السلسلة

حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $(E):\ 2x^{2}-2x-4=0.$

استنتج حلول المعادلات التالية:

$(E'):\ 2x^{4}-2x^{2}-4=0$ ؛ $(E''):\ 2x^{2}-2\lvert x\rvert-4=0$ ؛ $(E'''):\ 2x-2\sqrt{x}-4=0.$

تفكيك ثلاثية حدود من الدرجة الثانية

خاصية

ليكن $p(x)=ax^{2}+bx+c$ ثلاثية حدود من الدرجة الثانية حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقية و $a\ne 0$ وليكن $\Delta$ مميزها. لدينا الحالات التالية: إذا $\Delta<0$ فإن الحدودية $p(x)$ لا تقبل تفكيكًا في $\mathbb{R}.$ إذا $\Delta=0$ فإن $p(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}.$ إذا $\Delta>0$ فإن $p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ حيث $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ و $x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.$

تطبيق 3

فكّك، إن أمكن، الحدوديات التالية:

$P_{1}(x)=2x^{2}+2x-12$ ؛ $P_{2}(x)=5x^{2}-4x+2$ ؛ $P_{3}(x)=3x^{2}-4x.$

$P_{4}(x)=3x^{2}+4$ ؛ $P_{5}(x)=x^{2}-2\sqrt{3}\,x+1.$

تمرين 3: التمرين 8 من السلسلة

فكّك الحدوديتين $x^{2}-x-6$ و $2x^{2}+3x-2.$

حل المعادلة

(E_{1}):\ \frac{2}{x^{2}-x-6}+\frac{x}{2x^{2}+3x-2}=0.

خاصية

إذا كانت المعادلة $(a\ne 0)$ $(E):\ ax^{2}+bx+c=0$ تقبل حلين $x_{1}$ و $x_{2}$ فإن $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ و $x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}.$

تطبيق 4

علماً أن $1$ حل لـ $2018x^{2}-x-2017$ ، أوجد الحل الثاني.

حل الجملة التالية:

\begin{cases}x+y=13\\xy=12\end{cases}.

إشارة ثلاثية حدود من الدرجة الثانية

خاصية

ليكن $p(x)=ax^{2}+bx+c$ ثلاثية حدود من الدرجة الثانية حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقية و $a\ne 0$ وليكن $\Delta$ مميزها. لدينا الحالات التالية.

إذا $\Delta<0$ فإن جدول إشارة $p(x)$ هو:

x

-\infty

+\infty

p(x)

\mathrm{sgn}(a)

إذا $\Delta=0$ فإن جدول إشارة $p(x)$ هو:

x

-\infty

-\dfrac{b}{2a}

+\infty

p(x)

\mathrm{sgn}(a)

\mathrm{sgn}(a)

0

إذا $\Delta>0$ فإن جدول إشارة $p(x)$ هو (نفرض أن $x_{1}<x_{2}$ ):

x

-\infty

x_{1}

x_{2}

+\infty

p(x)

\mathrm{sgn}(a)

-\mathrm{sgn}(a)

\mathrm{sgn}(a)

0

0

تطبيق 5

أعط جدول إشارة الحدوديات التالية:

$P_{1}(x)=2x^{2}+2x-12$ ؛ $P_{2}(x)=5x^{2}-4x+2$ ؛ $P_{3}(x)=3x^{2}-4x.$

$P_{4}(x)=3x^{2}+4$ ؛ $P_{5}(x)=x^{2}-2\sqrt{3}\,x+1.$

استنتج حلول المتراجحات التالية:

$P_{1}(x)\ge 0$ ؛ $P_{3}(x)\le 0$ ؛ $P_{4}(x)<0$ ؛ $\frac{P_{3}(x)}{P_{1}(x)}\ge 0.$

اكتب، دون رمز القيمة المطلقة، العبارة $A(x)=\lvert P_{1}(x)\rvert+\lvert P_{3}(x)\rvert.$

III. معادلات ومتراجحات وأنظمة من الدرجة الأولى بمجهولين

معادلات من الدرجة الأولى بمجهولين

تعاريف

$\mathbb{R}^{2}$ هي مجموعة الأزواج $(x{;}y)$ حيث $x\in\mathbb{R}$ و $y\in\mathbb{R}.$ كل معادلة يمكن كتابتها على الشكل $ax+by+c=0$ حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقية و $(a{;}b)\ne(0{;}0)$ تُسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين. الزوج $(x_{0}{;}y_{0})$ حل للمعادلة $ax+by+c=0$ إذا $ax_{0}+by_{0}+c=0.$

تطبيق 6

من بين الأزواج $(1{;}2)$ و $(0{;}3)$ و $(3{;}0)$ و $\bigl(1{;}\frac{9}{2}\bigr)$ ، حدد التي تحقق المعادلة $3x-2y+6=0.$

حدد العدد $a$ حتى يكون الزوج $(2a-1{;}a)$ حلًا لـ $2x-y+3=0.$

حل في $\mathbb{R}^{2}$ المعادلات التالية:

$(E_{1}):\ 2x-3y+3=0$ ؛ $(E_{2}):\ x-4y=8+5x.$

أنظمة من الدرجة الأولى بمجهولين

تعريف وخاصية

نعتبر النظام

(S):\ \begin{cases}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}

حيث $a$ و $b$ و $c$ و $a'$ و $b'$ و $c'$ أعداد حقيقية. العدد

D=\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}

يُسمى محدد النظام $(S).$ إذا $D\ne 0$ فإن النظام $(S)$ يقبل حلًا وحيدًا في $\mathbb{R}^{2}$ هو $(x_{0}{;}y_{0})$ حيث

x_{0}=\frac{\begin{vmatrix}c&b\\c'&b'\end{vmatrix}}{D}

y_{0}=\frac{\begin{vmatrix}a&c\\a'&c'\end{vmatrix}}{D}.

إذا $D=0$ فإن النظام $(S)$ إما يقبل ما لا نهاية من الحلول في $\mathbb{R}^{2}$ (عندما

D_{x}=\begin{vmatrix}c&b\\c'&b'\end{vmatrix}=0

D_{y}=\begin{vmatrix}a&c\\a'&c'\end{vmatrix}=0

) أو لا يقبل أي حل في $\mathbb{R}^{2}$ (عندما $D_{x}\ne 0$ أو $D_{y}\ne 0$ ).

تطبيق 7

حل في $\mathbb{R}^{2}$ الأنظمة:

(S_{1}):\ \begin{cases}5x-2y=1\\-10x+4y=3\end{cases}

(S_{2}):\ \begin{cases}3x+y=7\\2x-y=8\end{cases}.

أ) حل في $\mathbb{R}^{2}$ النظام:

\begin{cases}-x+3y=4\\x-2y=11\end{cases}.

ب) استنتج حلول الأنظمة:

(S_{1}):\ \begin{cases}-\sqrt{x}+\frac{3}{y}=4\sqrt{x}-\frac{2}{y}=11\end{cases}.

(S_{2}):\ \begin{cases}-\lvert x+1\rvert+3y^{2}=4\\\lvert x+1\rvert-2y^{2}=11\end{cases}.

تقسيم المستوى

تطبيق 8

حل في $\mathbb{R}^{2}$ المتراجحتين:

$(E_{1}):\ x+2y-2<0$ ؛ $(E_{2}):\ 2x+y+2\ge 0.$

استنتج حلول النظام

(S):\ \begin{cases}x+2y-2<0\\2x+y+2\ge 0\end{cases}.

المعادلات والمتراجحات والأنظمة

I. معادلات ومتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

إشارة الحدانية ax+bax+bax+b (a≠0a\ne 0a=0)

II. معادلات ومتراجحات من الدرجة الثانية بمجهول واحد

عموميات

تفكيك ثلاثية حدود من الدرجة الثانية

إشارة ثلاثية حدود من الدرجة الثانية

III. معادلات ومتراجحات وأنظمة من الدرجة الأولى بمجهولين

معادلات من الدرجة الأولى بمجهولين

أنظمة من الدرجة الأولى بمجهولين

تقسيم المستوى

إشارة الحدانية $ax+b$ ( $a\ne 0$ )