سلسلة تمارين: المعادلات والمتراجحات والأنظمة

حل في $\mathbb{R}$ المعادلات التالية:

$(E_{1}):\ \frac{2x+3}{x-2}=0$ ؛ $(E_{2}):\ \frac{x-3}{9x+6}=1$ ؛ $(E_{3}):\ \frac{4}{x-3}-\frac{5}{x+1}=0.$

$(E_{4}):\ \frac{2}{x+3}=\frac{x-3}{2}$ ؛

حل في $\mathbb{R}$ المتراجحات التالية:

$(1-\sqrt{2})x-5\le 0$ ؛ $3x\le 7-x\sqrt{2}$ ؛

$\frac{1}{x-2}\le 5x$ ؛ $\lvert x-5\rvert<\frac{1}{2}$ ؛ $\sqrt{x-1}<4.$

$\bigl\lvert\lvert x+2\rvert-5\bigr\rvert\le 4$ ؛ $\lvert 7x-\sqrt{2}\rvert>3$ ؛ $\lvert 3x-2\rvert\le\lvert x-1\rvert.$

نضع $p(x)=(2x-5)(-3x+4).$

1. ضع جدول إشارة $(-3x+4)$ و $(2x-5).$

2. استنتج إشارة $p(x).$

3. استنتج حلول المتراجحة $p(x)\le 0.$

حل في $\mathbb{R}$ المتراجحات التالية:

$(E_{1}):\ 4x^{2}-25\ge 0$ ؛ $(E_{2}):\ (4x-5)(2x+7)(1-x)^{2}>0$ ؛ $(E_{3}):\ \frac{(3x-1)(x+2)}{2x+5}<0.$

حل في $\mathbb{R}$ المعادلات التالية:

$(E_{1}):\ x^{2}+x+1=0$ ؛ $(E_{2}):\ 3x^{2}+5x+1=0$ ؛ $(E_{3}):\ 3x^{2}+3\sqrt{2}\,x+2=0.$

$(E_{4}):\ x^{2}-x-12=0$ ؛ $(E_{5}):\ x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$ ؛ $(E_{6}):\ 4x^{2}-3x+1=0.$

1. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $(E):\ 2x^{2}-2x-4=0.$

2. استنتج حلول المعادلات التالية:

$(E'):\ 2x^{4}-2x^{2}-4=0$ ؛ $(E''):\ 2x^{2}-2\lvert x\rvert-4=0$ ؛ $(E'''):\ 2x-2\sqrt{x}-4=0.$

نعتبر المعادلة $(E):\ x^{2}-\sqrt{7}\,x+1=0.$

1. بيّن أن $(E)$ تقبل حلين مختلفين $\alpha$ و $\beta$ دون حسابهما.

2. احسب $\alpha+\beta$ و $\alpha\beta$ و $\alpha\beta^{2}+\alpha^{2}\beta$ و $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$ و $\alpha^{2}+\beta^{2}$ و

1. فكّك الحدوديتين $x^{2}-x-6$ و $2x^{2}+3x-2.$

2. حل المعادلة

حل في $\mathbb{R}$ المتراجحات التالية:

$(E_{1}):\ (4x-1)^{2}<(x+1)^{2}$ ؛ $(E_{2}):\ \frac{x^{2}-6x+5}{x^{2}-4}\ge 0$ ؛ $(E_{3}):\ (x^{2}+3x+2)(-x^{2}+5x-6)\le 0.$

نعتبر الحدودية $P(x)=6x^{3}+x^{2}-4x+1.$

1. احسب $P(1).$

2. حدد الحدودية $Q(x)$ بحيث $P(x)=(x+1)Q(x).$

3. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $Q(x)=0.$

4. استنتج حلول المتراجحة $P(x)\ge 0.$

1. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $x^{2}-4x-5=0.$

2. حل في $\mathbb{R}$ المتراجحة $2x+6>(x-1)^{2}.$

3. نعتبر الحدودية $P(x)=x^{3}-8x^{2}+11x+20.$

أ) تحقق أن $(-1)$ جذر لـ $P(x).$

ب) استنتج تفكيكاً لـ $P(x).$

ج) حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $P(x)=0.$

د) استنتج حلول المعادلة $x^{6}-8x^{4}+11x^{2}+20=0.$

4. حل في $\mathbb{R}$ المتراجحة $P(x)<0.$

نعتبر الحدودية $P(x)=6x^{3}+x^{2}-4x+1.$

1. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $x^{2}+x-6=0$ ثم فكّك $x^{2}+x-6.$

2. تحقق أن $P(x)=(x^{2}-x)^{2}+(x^{2}-x)-6.$

3. استنتج تفكيكاً لـ $P(x).$

4. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $P(x)=0.$

1. حل في $\mathbb{R}^{2}$ النظام:

2. نعتبر الحدودية $P(x)=2x^{3}+ax^{2}-3x+b$ حيث $a\in\mathbb{R}$ و $b\in\mathbb{R}.$ حدد العددين $a$ و $b$ حتى يكون $\frac{1}{2}$ و $2$ جذرين لـ $P(x).$

3. نفترض $a=-3$ و $b=2.$

أ) فكّك الحدودية $P(x).$

ب) حل في $\mathbb{R}$ المتراجحة $P(x)<0.$

ليكن $a\in\mathbb{R}.$ نعتبر المعادلة $(E):\ x^{2}+3ax+9(a-1)=0.$

1. حدد قيمة $a$ حتى يكون $0$ حلاً للمعادلة $(E).$

2. حدد قيمة $a$ حتى تقبل المعادلة $(E)$ حلاً وحيداً.

3. نفترض $a\ne 1$ و $a\ne 2$ وليكن $\alpha$ و $\beta$ حلّي $(E).$

أ) بيّن أن $\alpha$ و $\beta$ يحققان المعادلة $9(a-1)x^{2}+3ax+1=0.$

ب) حدد $\alpha$ و $\beta$ بدلالة $a.$

4. نفترض $a<1.$ حل في $\mathbb{R}$ المتراجحة $9(a-1)x^{2}+3ax+1>0.$

1. حل في $\mathbb{R}^{2}$ الأنظمة:

؛

2. أ) حل في $\mathbb{R}^{2}$ النظام:

ب) استنتج حلول الأنظمة:

3. حل في $\mathbb{R}^{2}$ المتراجحات:

1. $x-2y+3\ge 0$ ؛ 2) $2x-3\le 0$ ؛ 3) $y+2>0.$

4. حل في $\mathbb{R}^{2}$ الأنظمة:

؛

؛

اجتمع عدة أشخاص للاحتفال بعيد ميلاد. كل شخص أحضر ثلاثة هدايا لكل واحد من الآخرين. علماً أن مجموع الهدايا الموضوعة قرب الكعكة هو $468$، كم كان عدد الأشخاص؟

عمر أب يزيد بـ $25$ سنة عن عمر ابنه، وجداء عمريهما يساوي $116.$ احسب عمري الأب والابن.

قاعة عروض تقترح نوعين من العروض: مسرحيات أو حفلات. جميع المقاعد بنفس السعر داخل كل نوع، لكن التعريفة تختلف حسب النوع.

• أحمد حجز مقعدين لمسرحية و $4$ مقاعد لحفل، ودفع $170$ درهماً.

• إبراهيم حجز $3$ مقاعد لمسرحية ومقعدين لحفل، ودفع $135$ درهماً.

ما تعريفة مقعد المسرحية ومقعد الحفل؟

نعتبر الشكل التالي. أوجد موضع النقطة $M$ حتى يكون $AM=DM.$