Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الجذع المشترك العلمي

الدرس 02

مجموعات الأعداد

N\mathbb{N} و Z\mathbb{Z} و D\mathbb{D} و Q\mathbb{Q} و R\mathbb{R}، العمليات في R\mathbb{R}، القوى والكتابة العلمية، الجذور المربعة والمتطابقات الهامة.

سلسلة التمارين 02 — سلسلة تمارين: مجموعات الأعداد

I. المجموعات N\mathbb{N} و Z\mathbb{Z} و D\mathbb{D} و Q\mathbb{Q} و R\mathbb{R}

−162-\frac{\sqrt{16}}{2}52\frac{5}{2}12,2312{,}23π2\frac{\pi}{2}882\sqrt{2}−6-6ترميز المجموعة
عدد صحيح طبيعي
عدد صحيح نسبي
عدد عشري
عدد جذري
عدد لا جذري
عدد حقيقي

تعاريف

نرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية بالرمز N\mathbb{N} : N={0,1,2,3,…}.\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}. نرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة النسبية بالرمز Z\mathbb{Z} : Z={…,−2,−1,0,1,2,…}.\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}. نرمز لمجموعة الأعداد العشرية بالرمز D\mathbb{D} :

D={a⋅10n / a∈Z و n∈Z}.\mathbb{D}=\{a\cdot 10^{n}\,/\,a\in\mathbb{Z}\text{ و }n\in\mathbb{Z}\}.

نرمز لمجموعة الأعداد الجذرية بالرمز Q\mathbb{Q} :

Q={ab / a∈Z و b∈N∗}.\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\,/\,a\in\mathbb{Z}\text{ و }b\in\mathbb{N}^{*}\right\}.

نرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية بالرمز R.\mathbb{R}. وهي مجموعة الأعداد الجذرية واللاجذرية.

ملاحظة

لدينا

N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.

الرمز ⊂\subset يُقرأ «ضمن».

تضمين المجموعات $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ مع أمثلة

تطبيق

أتمم باستعمال أحد الرموز التالية: ∈\in ، ∉\notin ، ⊂\subset ، ⊄.\not\subset.

10 … N10\ \ldots\ \mathbb{N}2π3 … R\frac{2\pi}{3}\ \ldots\ \mathbb{R}2π3 … R\frac{2\pi}{3}\ \ldots\ \mathbb{R}R … Z\mathbb{R}\ \ldots\ \mathbb{Z}N … D\mathbb{N}\ \ldots\ \mathbb{D}
3,5 … Z3{,}5\ \ldots\ \mathbb{Z}23 … Q\frac{\sqrt{2}}{3}\ \ldots\ \mathbb{Q}R … N\mathbb{R}\ \ldots\ \mathbb{N}−123 … Z-\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}\ \ldots\ \mathbb{Z}Z … Q\mathbb{Z}\ \ldots\ \mathbb{Q}
0 … R∗0\ \ldots\ \mathbb{R}^{*}49 … N\sqrt{49}\ \ldots\ \mathbb{N}D … R\mathbb{D}\ \ldots\ \mathbb{R}π … Q\pi\ \ldots\ \mathbb{Q}13 … D\frac{1}{3}\ \ldots\ \mathbb{D}

II. العمليات في R\mathbb{R}

خاصيات

ليكن aa و bb و cc و dd أعداداً حقيقية. لدينا:

ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}

(b≠0, d≠0)(b\ne 0,\,d\ne 0) ؛

ab×cd=acbd\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}

(b≠0, d≠0)(b\ne 0,\,d\ne 0) ؛ 1ab=ba\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{a} (a≠0, b≠0)(a\ne 0,\,b\ne 0) ؛

abcd=ab×dc\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}

(b≠0, d≠0, c≠0)(b\ne 0,\,d\ne 0,\,c\ne 0) ؛ ab=c\frac{a}{b}=c (b≠0)(b\ne 0) يكافئ a=bca=bc ؛ ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d} (b≠0, d≠0)(b\ne 0,\,d\ne 0) يكافئ ad=bc.ad=bc.

تطبيق

  1. احسب العدد التالي:
A=1+131−13×1+121−12.A=\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}\times\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}.
  1. ليكن xx و yy عددين حقيقيين غير منعدمين بحيث x≠y.x\ne y. بيّن أن:
−1+xx−y1+yx−y=yx.\frac{-1+\frac{x}{x-y}}{1+\frac{y}{x-y}}=\frac{y}{x}.
  1. حدد قيم xx الممكنة التي من أجلها يمكن حساب التعبير A=52(x+3)+42(1−x)A=\frac{5}{2(x+3)}+\frac{4}{2(1-x)}، ثم اكتب AA على شكل كسر.

III. القوى — الكتابة العلمية

تعريف

ليكن xx عدداً عشرياً غير منعدم. الكتابة x=a⋅10nx=a\cdot 10^{n} حيث 1≤a<101\le a<10 أو −10<a≤−1-10<a\le -1 تُسمى الكتابة العلمية للعدد x.x.

تطبيق

اكتب الأعداد التالية كتابة علمية: 251,3251{,}3 ؛ 0,0950{,}095 ؛ 27,31×10327{,}31\times 10^{3} ؛ 150×10−3150\times 10^{-3} ؛ −5248,3-5248{,}3 ؛ −872,731×10−4-872{,}731\times 10^{-4} ؛ 7879,03×107.7879{,}03\times 10^{7}.

خاصية

ليكن aa و bb عددين حقيقيين غير منعدمين وليكن mm و nn و pp أعداداً صحيحة نسبية. لدينا: an×ap=an+pa^{n}\times a^{p}=a^{n+p} ؛ anap=an−p\frac{a^{n}}{a^{p}}=a^{n-p} ؛ 1an=a−n\frac{1}{a^{n}}=a^{-n} ؛ (an)p=anp\bigl(a^{n}\bigr)^{p}=a^{np} ؛ an×bn=(ab)na^{n}\times b^{n}=(ab)^{n} ؛

anbn=(ab)n.\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}.

تطبيق

نعتبر العدد التالي: A=615×25737×94.A=\frac{6^{15}\times 25^{7}}{3^{7}\times 9^{4}}. حدد العددين الصحيحين mm و nn بحيث A=2m×5n.A=2^{m}\times 5^{n}.

IV. الجذور المربعة

خاصية

ليكن a∈R+a\in\mathbb{R}^{+} و b∈R+.b\in\mathbb{R}^{+}. لدينا: a2=(a)2=a\sqrt{a^{2}}=\bigl(\sqrt{a}\bigr)^{2}=a ؛ an=(a)n\sqrt{a^{n}}=\bigl(\sqrt{a}\bigr)^{n} ؛ 1a=aa\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a} (a≠0)(a\ne 0) ؛ a×b=ab\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab} ؛

ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}

(b≠0).(b\ne 0).

تطبيق

  1. ليكن aa و bb عددين حقيقيين موجبين. بسّط العدد التالي:
a a3b2−b a4b+a4b4.\sqrt{a}\,\sqrt{a^{3}b^{2}}-\sqrt{b}\,\sqrt{a^{4}b}+\sqrt{\sqrt{a^{4}b^{4}}}.
  1. بيّن أن:
572−7+522+7∈Z.\frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}}+\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}\in\mathbb{Z}.

V. المتطابقات الهامة

خاصية

ليكن aa و bb عددين حقيقيين. لدينا: (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ؛ (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ؛ (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} ؛ a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) ؛ a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) ؛ (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} ؛ (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3.(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.

تطبيق

  1. انشر التعابير التالية: (a+2)(a2−2a+4)(a+2)(a^{2}-2a+4) ، (x−1)(x2+x+1)(x-1)(x^{2}+x+1) ، (b+2)3(b+2)^{3} ، (y−5)3.(y-5)^{3}.
  1. فكّك التعابير التالية:

A(x)=x2−9+(x−1)(x+3)−2(x+3)2A(x)=x^{2}-9+(x-1)(x+3)-2(x+3)^{2}

B(x)=4x2−36xB(x)=4x^{2}-36x

C(x)=x3−1000C(x)=x^{3}-1000

D(x)=x3−8+4(x2−4)−3x+6D(x)=x^{3}-8+4(x^{2}-4)-3x+6

E(x)=x3+1+2(x2−1)−(x+1)E(x)=x^{3}+1+2(x^{2}-1)-(x+1)

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ