الجذع المشترك العلمي

الدرس 08

المستقيم في المستوى

معلم المستوى، إحداثيات نقطة ومتجهة، المحدِّد والاستقامية، المعادلة الديكارتية والتمثيل البارامتري، والأوضاع النسبية لمستقيمين.

سلسلة التمارين 08 — سلسلة تمارين: المستقيم في المستوى

Ⅰ. معلم المستوى

إحداثيات نقطة — إحداثيات متجهة

النقط $A$ و $B$ و $C$ في المعلم — وضع النقط $A(0{,}2)$ و $B(1{,}-2)$ و $C(1{,}1)$

تعاريف

ثلاث نقط متمايزة غير مستقيمية $O$ و $I$ و $J$ تعرّف معلماً $(O{;}I{,}J).$

النقطة $O$ تُسمى أصل المعلم.
المستقيم $(OI)$ يُسمى محور الأفاصيل.
المستقيم $(OJ)$ يُسمى محور الأراتيب. إذا وضعنا $\vec{\imath}=\overrightarrow{OI}$ و $\vec{\jmath}=\overrightarrow{OJ}$ ، فإن هذا المعلم يُكتب أيضاً $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}).$
الزوج $(\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ يُسمى قاعدة للمستوى.

أنواع المعالم الثلاثة — معلم كيفي، معلم متعامد، معلم متعامد منظم

معلم كيفي	معلم متعامد	معلم متعامد منظم
—	$(OI)\perp(OJ)$	$\begin{cases}OI=OJ\\(OI)\perp(OJ)\end{cases}$

مثال

ليكن $ABC$ مثلثاً غير منعدم في المستوى. الثلاثية $(A{;}\overrightarrow{AB}{;}\overrightarrow{AC})$ معلم للمستوى و $(\overrightarrow{AB}{;}\overrightarrow{AC})$ قاعدة للمستوى لأن النقط $A$ و $B$ و $C$ ليست على استقامة واحدة.

Ⅱ. إحداثيات نقطة ومتجهة

خاصيات

ليكن $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ معلماً للمستوى.

لكل نقطة $M$ من المستوى يوجد زوج وحيد $(x{;}y)$ من الأعداد الحقيقية بحيث $\overrightarrow{OM}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}.$ الزوج $(x{;}y)$ يُسمى إحداثيتي $M$ ونكتب $M(x{;}y).$
لكل متجهة $\vec{u}$ من المستوى يوجد زوج وحيد $(x{;}y)$ من الأعداد الحقيقية بحيث $\vec{u}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}.$ الزوج $(x{;}y)$ يُسمى إحداثيتي $\vec{u}$ ونكتب $\vec{u}(x{,}y)$ أو

\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.

تطبيق

نعتبر النقط $A(-2{,}2)$ و $B(3{,}2)$ و $C(0{,}1)$ من المستوى المنسوب إلى المعلم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}).$

أعط إحداثيات المتجهات $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ و $\overrightarrow{BC}.$

اكتب المتجهات $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ و $\overrightarrow{BC}$ في القاعدة $(\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}).$

استنتج إحداثيات المتجهتين $\vec{u}=3\overrightarrow{AB}$ و

\vec{u}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{AB}.

تمرين

ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O.$ أعط إحداثيات النقط $A$ و $B$ و $C$ و $O$ و $D$ في المعلم $(A{;}\overrightarrow{AB}{,}\overrightarrow{AC}).$

Ⅲ. صيغ أساسية

خاصيات

لتكن $A$ و $B$ نقطتين إحداثيتاهما $(x_A{,}y_A)$ و $(x_B{,}y_B)$ في معلم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}).$

المتجهة $\overrightarrow{AB}$ إحداثيتاها $(x_B-x_A{,}y_B-y_A).$
منتصف القطعة $[AB]$ إحداثيتاه

\left(\frac{x_B+x_A}{2}{,}\frac{y_B+y_A}{2}\right).

إذا كان المعلم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ متعامداً منظماً، فإن $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.$

تطبيق

لتكن $A(4{,}4)$ و $B(2{,}2)$ و $C(5{,}-1)$ نقطاً من المستوى. بيّن أن المثلث $ABC$ قائم في $B.$

ملاحظة

في كل ما يلي ننسب المستوى إلى المعلم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}).$

Ⅳ. الشرط التحليلي لاستقامية متجهتين

تعريف

لتكن $\vec{u}(a{,}b)$ و $\vec{v}(a'{,}b')$ متجهتين من المستوى. العدد $ab'-a'b$ يُسمى محدِّد المتجهتين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ بهذا الترتيب، ونرمز له بـ $\det(\vec{u}{,}\vec{v})$ أو

\begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}

ونكتب

\begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}=ab'-a'b.

أمثلة

لنحسب

\begin{vmatrix}1&6\\-2&-3\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}-2\sqrt{6}&4\sqrt{3}\\3&-3\sqrt{2}\end{vmatrix}.

خاصيات

متجهتان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مستقيميتان إذا وفقط إذا كان $\det(\vec{u}{,}\vec{v})=0.$ النقط $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كان $\det(\overrightarrow{AB}{;}\overrightarrow{AC})=0.$

تطبيق

ليكن $m$ بارامتراً حقيقياً.

نعتبر المتجهات $\vec{u}_{1}=-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}$ و $\vec{u}_{2}=-4\vec{\imath}+\vec{\jmath}$ و $\vec{u}_{3}=(2m-3)\vec{\imath}+2\vec{\jmath}.$

أ) ادرس استقامية $\vec{u}_{1}$ و $\vec{u}_{2}.$

ب) حدد قيمة $m$ حتى تكون $\vec{u}_{1}$ و $\vec{u}_{3}$ مستقيميتين.

ادرس استقامية النقط $A(2{;}5)$ و $B(0{;}3)$ و $C(-3{;}0).$

تمرين

ليكن $m$ بارامتراً حقيقياً.

نعتبر النقط $A(2{,}3)$ و $B(3{,}5)$ و $C(m-1{,}3m-2).$ حدد قيمة $m$ حتى تنتمي $C$ إلى $(AB).$

Ⅴ. المستقيم — المعادلة الديكارتية

ملاحظة

المعادلة $4x+3y+5=0$ تُسمى المعادلة الديكارتية للمستقيم $(AB)$ ذي المتجهة الموجِّهة $\overrightarrow{AB}.$

تعريف

في أي معلم للمستوى، لكل مستقيم معادلة ديكارتية تُكتب على الشكل $ax+by=c$ حيث $a$ و $b$ و $c$ ثلاثة أعداد حقيقية معطاة مع $a$ و $b$ غير معدومين معاً.

ملاحظة

ليكن $(D)$ مستقيماً من المستوى معادلته $ax+by=c.$ المتجهتان $\vec{u}(-b{,}a)$ و $\vec{u}'(b{,}-a)$ موجِّهتان للمستقيم $(D).$

مستقيم معادلته الديكارتية — مستقيم $(D)$ في المستوى

تطبيق

أتمم الجدول التالي:

متجهة موجِّهة للمستقيم	المعادلة الديكارتية للمستقيم
$\vec{u}(\ldots{;}\ldots)$	$2x+5y=4$
$\vec{u}(\ldots{;}\ldots)$	$y+3x-2=0$
$\vec{u}(3{;}5)$	$\cdots\cdots\cdots\cdots=6$
$\vec{u}(\ldots{;}\ldots)$	$x+4=0$

ملاحظة

نرمز غالباً للمستقيم المار من نقطة $A$ وذي متجهة $\vec{u}$ بـ $D(A{,}\vec{u}).$

تطبيق

أعط المعادلة الديكارتية للمستقيم $(D)=D(A{,}\vec{u})$ مع $A(1{,}3)$ و $\vec{u}(2{,}2).$

أعط المعادلة الديكارتية للمستقيم $(BC)$ مع $B(-2{,}3)$ و $C(0{,}-4).$

التمثيل البارامتري لمستقيم

تعريف

النظومة

\begin{cases}x=2+3t\\y=-1+t\end{cases}\;/\;t\in\mathbb{R}

تُسمى تمثيلاً بارامترياً لـ $(D).$

تطبيق

أعط تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(MN)$ مع $M(-1{,}4)$ و $N(5{,}4).$

أعط المعادلة الديكارتية للمستقيم

(D):\begin{cases}x=5+2t\\y=4-t\end{cases}\;/\;t\in\mathbb{R}.

تمرين

التمرين رقم 4 من السلسلة.

الوضع النسبي لمستقيمين

خاصية

لتكن $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متجهتين موجِّهتين على التوالي للمستقيمين $(D)$ و $(\Delta).$

$(D)\parallel(\Delta)$ إذا وفقط إذا كان $\det(\vec{u}{;}\vec{v})=0.$
$(D)$ و $(\Delta)$ متقاطعان إذا وفقط إذا كان $\det(\vec{u}{;}\vec{v})\ne 0.$

تطبيق

ادرس الوضع النسبي لـ $(D)$ و $(\Delta)$ محدداً نقطة تقاطعهما إن كانا متقاطعين في الحالتين التاليتين:

الحالة ①: $(D):x+2y=3$ و $(\Delta):2x+y=6.$

الحالة ②: $(D):x+y=5$ و

(\Delta):\begin{cases}x=1+t\\y=-2+2t\end{cases}\;/\;t\in\mathbb{R}.

تمرين للتركيب

التمرين رقم 6 من السلسلة.