سلسلة تمارين: المستقيم في المستوى

نعتبر النقط $A(0{,}2)$ و $B(1{,}-2)$ و $C(1{,}1).$

1. أعط إحداثيات المتجهات $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ و $\overrightarrow{BC}.$

2. اكتب المتجهات $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ و $\overrightarrow{BC}$ في القاعدة $(\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}).$

3. أعط إحداثيات المتجهتين $\vec{u}=3\overrightarrow{AC}$ و

4. أعط إحداثيات $I$ منتصف القطعة $[AC].$

ليكن $m$ بارامتراً حقيقياً.

1. نعتبر المتجهات $\vec{u}_{1}=-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}$ و $\vec{u}_{2}=-4\vec{\imath}+\vec{\jmath}$ و $\vec{u}_{3}=(2m-3)\vec{\imath}+2\vec{\jmath}.$

أ) ادرس استقامية $\vec{u}_{1}$ و $\vec{u}_{2}.$

ب) حدد قيمة $m$ حتى تكون $\vec{u}_{1}$ و $\vec{u}_{3}$ مستقيميتين.

ج) حدد قيمة $m$ حتى تكون $\vec{u}_{2}$ و $\vec{u}_{3}$ مستقيميتين.

2. نعتبر النقط $A(2{,}3)$ و $B(3{,}5)$ و $C(m-1{,}3m-2).$ حدد قيمة $m$ حتى تنتمي $C$ إلى $(AB).$

نعتبر النقط $A(-1{,}2)$ و $B(2{,}-1)$ و $C(1{,}3)$ و $D(-2{,}-3).$

1. بيّن أن $(BD)\parallel(AC).$

2. ليكن $I$ و $J$ منتصفي $[AC]$ و $[BD]$ على التوالي، ولتكن $E(0{,}1)$ نقطة من المستوى. بيّن أن $I$ و $J$ و $E$ على استقامة واحدة.

3. حدد إحداثيات النقطة $K$ نظيرة $D$ بالنسبة إلى $A.$

1. أعط المعادلة الديكارتية وتمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(D)$ المار من $A$ وذي متجهة موجِّهة $\vec{u}$ في الحالات التالية:

(أ) $A(1{,}4)$ و $\vec{u}(-1{,}4)$ ؛ (ب) $A(-2{,}0)$ و $\vec{u}(0{,}1).$

2. أعط المعادلة الديكارتية وتمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(AB)$ في الحالات التالية:

(أ) $A(-3{,}1)$ و $B(-3{,}4)$ ؛ (ب) $A(-2{,}0)$ و $B(-2{,}-1).$

1. أعط المعادلة الديكارتية للمستقيم

2. أعط تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(D'):x-5y+3=0.$

3. بيّن أن $(D)$ و $(D')$ متقاطعان محدداً نقطة تقاطعهما.

نعتبر النقطتين $A(3{,}2)$ و $B(2{,}-1)$ وليكن $(D)$ المستقيم المعرَّف بالمعادلة الديكارتية التالية: $3x-y+6=0.$

1. بيّن أن $(AB)\parallel(D).$

2. ليكن $(D')$ المستقيم المار من $A$ وذي متجهة موجِّهة $\vec{u}=4\vec{\imath}-\vec{\jmath}.$ أعط المعادلة الديكارتية لـ $(D').$

3. بيّن أن $(D)$ و $(D')$ متقاطعان في $E(-1{,}3).$

4. لتكن $F(a{,}0)$ نقطة من المستوى ($a\in\mathbb{R}$).

أ) حدد العدد $a$ حتى يكون الرباعي $ABFE$ متوازي أضلاع.

ب) تحقق أن $F\in(D).$

1. أنشئ المستقيم $(D):3x-5y+2=0.$

2. حدد قيمة العدد $m$ حتى تنتمي النقطة $A(m^{2}{,}m^{2})$ إلى المستقيم $(D).$

3. حدد المعادلة الديكارتية للمستقيم $(D')$ المار من النقطة $B(-2{,}2)$ والموازي لـ $(D).$

4. حدد المعادلة الديكارتية للمستقيم $(D'')$ المار من النقطة $B$ والعمودي على $(D).$

5. بيّن أن $(D)$ و $(D'')$ متقاطعان محدداً نقطة تقاطعهما.

نعتبر النقطتين $A(-2{,}1)$ و $B(2{,}4).$

1. أعط المعادلة الديكارتية للمستقيم $(D)$ المار من $A$ وذي متجهة موجِّهة $\vec{v}=5\vec{\imath}+2\vec{\jmath}.$

2. ليكن $(D')$ المستقيم المعرَّف بالمعادلة الديكارتية المختزلة التالية: $y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}.$ تحقق أن $(D)$ و $(D')$ متقاطعان محدداً نقطة تقاطعهما.

3. نعتبر المستقيمات $(D_{m}):(m-1)x-2my+3=0$ حيث $m$ بارامتر حقيقي.

أ) أعط قيمة $m$ حتى يكون $(D_{m})$ موازياً لـ $(D').$

ب) أعط قيمة $m$ حتى تكون $B$ نقطة من $(D_{m}).$

ج) تحقق أن $C\left(3{;}\frac{3}{2}\right)$ تنتمي إلى جميع المستقيمات $(D_{m}).$

ليكن $ABCD$ مستطيلاً وليكن $I$ و $J$ منتصفي القطعتين $[AB]$ و $[AD]$ على التوالي. نعتبر النقطتين $M$ و $N$ بحيث $\overrightarrow{JM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{IN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}.$

ننسب المستوى إلى المعلم $(A{;}\overrightarrow{AB}{,}\overrightarrow{AD}).$

1. أعط إحداثيات النقط $I$ و $J$ و $M$ و $N.$

2. بيّن أن النقط $A$ و $M$ و $N$ على استقامة واحدة.

3. أ) أعط المعادلتين الديكارتيتين للمستقيمين $(DM)$ و $(BN).$ ب) ادرس وضعهما النسبي.