Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الجذع المشترك العلمي

الدرس 06

حساب متجهي

تساوي المتجهات، المجموع وعلاقة شال، جداء متجهة في عدد، الاستقامية والاستقامة، ومنتصف قطعة.

سلسلة التمارين 06 — سلسلة تمارين: حساب متجهي

Ⅰ. تساوي متجهتين — مجموع متجهتين

خاصيات

  • متجهتان متساويتان إذا كان لهما نفس الاتجاه ونفس المنحى ونفس المعيار (نرمز لمعيار متجهة u⃗\vec{u} بـ ∥u⃗∥\|\vec{u}\|).
  • لتكن AA و BB و CC ثلاث نقط من المستوى. لدينا: ✓\checkmark
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

(علاقة شال). ✓\checkmark AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} إذا وفقط إذا كان ABDCABDC متوازي أضلاع. ✓\checkmark

AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}

إذا وفقط إذا كان ABDCABDC متوازي أضلاع. ✓\checkmark AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA} و AA→=0⃗.\overrightarrow{AA}=\vec{0}.

علاقة شال: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
متوازي أضلاع $ABDC$

تطبيق

  1. بسّط المتجهة U⃗\vec{U} بحيث :
U⃗=BC→−AC→−BA→+AB→.\vec{U}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}.
  1. لتكن AA و BB و CC و DD و EE نقطاً من المستوى. بيّن أن :
AC→−DB→+CE→+DA→+EB→=0⃗.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}=\vec{0}.

تمرين

التمرين 1 من السلسلة.

Ⅱ. ضرب متجهة في عدد حقيقي

تعريف

لتكن u⃗\vec{u} متجهة غير منعدمة و kk عدداً حقيقياً غير منعدم.

  • ku⃗k\vec{u} متجهة.
  • إذا كان k>0k>0 فإن ku⃗k\vec{u} و u⃗\vec{u} لهما نفس الاتجاه ونفس المنحى و ∥ku⃗∥=k∥u⃗∥.\|k\vec{u}\|=k\|\vec{u}\|.
  • إذا كان k<0k<0 فإن ku⃗k\vec{u} و u⃗\vec{u} لهما نفس الاتجاه ومنحيان متعاكسان و ∥ku⃗∥=−k∥u⃗∥.\|k\vec{u}\|=-k\|\vec{u}\|.

تطبيق

ليكن ABCABC مثلثاً ولتكن DD نقطة من المستوى بحيث : BD→=3DC→.\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{DC}.

  1. بيّن أن : BD→=34BC→.\overrightarrow{BD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}.
  1. ضع النقطة D.D.

خاصيات

لتكن u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} متجهتين و α\alpha و β\beta عددين حقيقيين، لدينا : *

α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}
(α+β)u⃗=αu⃗+βu⃗(\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}
  • α(βu⃗)=(αβ)u⃗\alpha(\beta\vec{u})=(\alpha\beta)\vec{u} * 1u⃗=u⃗1\vec{u}=\vec{u} * ku⃗=0⃗k\vec{u}=\vec{0} إذا وفقط إذا كان u⃗=0⃗\vec{u}=\vec{0} أو k=0.k=0.

تطبيق

  1. بسّط الكتابتين المتجهيتين التاليتين : a⃗=2(u⃗+5v⃗)+3(u⃗−v⃗)\vec{a}=2(\vec{u}+5\vec{v})+3(\vec{u}-\vec{v}) و b⃗=13u⃗+3(4v⃗−u⃗)+2v⃗.\vec{b}=13\vec{u}+3(4\vec{v}-\vec{u})+2\vec{v}.
  1. استنتج علاقة متجهية بين المتجهتين a⃗\vec{a} و b⃗.\vec{b}.

Ⅲ. استقامية متجهتين — استقامة ثلاث نقط

تعريف وخاصية

  • نقول إن المتجهتين u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} مستقيميتان إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي α\alpha بحيث : v⃗=αu⃗.\vec{v}=\alpha\vec{u}.
  • نقول إن النقط AA و BB و CC على استقامة واحدة إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي α\alpha بحيث : AC→=αAB→\overrightarrow{AC}=\alpha\overrightarrow{AB} (العدد α\alpha يُسمّى أفصول النقطة CC في المعلم (A;B)(A{;}B)).

مثال

الكتابة AC→=43AD→\overrightarrow{AC}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AD} تستلزم أن النقط AA و CC و DD على استقامة واحدة وأن 43\frac{4}{3} هو أفصول النقطة CC في المعلم (A;D).(A{;}D).

تطبيق

ABCABC مثلث ولتكن DD و EE نقطتين من المستوى بحيث : AD→=32AB→\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} و DE→=32BC→.\overrightarrow{DE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}.

بيّن أن : AE→=32AC→.\overrightarrow{AE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}. ماذا تستنتج؟

تمرين

التمرين 4 من السلسلة.

Ⅳ. منتصف قطعة

خاصية

لتكن AA و BB و II ثلاث نقط من المستوى. II منتصف القطعة [AB][AB] إذا وفقط إذا كان

AI→=IB→=12AB→.\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
منتصف القطعة $[AB]$ : النقطة $I$

تطبيق

ليكن ABCABC مثلثاً ولتكن II و JJ منتصفي [AB][AB] و [AC][AC] على التوالي.

بيّن أن IJ→=12BC→.\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.

خاصية مميِّزة لمنتصف قطعة

إذا كانت II منتصف القطعة [AB][AB]، فإن لكل نقطة MM من المستوى (P)(P) :

MA→+MB→=2MI→.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}.

تمرين

التمرين 3 من السلسلة.

تمرين للتركيب

التمرين 11 من السلسلة.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ