Ximath
تسجيل الدخول
سلاسل هذا المستوى

الجذع المشترك العلمي

السلسلة 06

سلسلة تمارين: حساب متجهي

تبسيط متجهات، علاقة شال، الاستقامية، أوساط القطع ومتوازيات الأضلاع.

الدرس 06 — حساب متجهي

تمرين 1

AA و BB و CC ثلاث نقط غير مستقيمية.

عبّر، بدلالة المتجهتين AB→\overrightarrow{AB} و AC→\overrightarrow{AC} فقط، عن المتجهات :

u⃗=2AB→−3AC→+BA→.\vec{u}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}.
v⃗=AB→+2AC→−BC→.\vec{v}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}.
w⃗=−2BA→+BC→.\vec{w}=-2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}.

تمرين 2

AA و BB و CC و DD أربع نقط من المستوى.

بيّن أن :

AB→+DC→=AC→+DB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}
AC→+BD→=AD→+BC→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}

تمرين 3

ABCDABCD متوازي أضلاع مركزه O.O.

بيّن أن جميع هذه المتجهات منعدمة.

u⃗=OA→+OB→+OC→+OD→.\vec{u}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}.
v⃗=AO→−BO→+CO→−DO→.\vec{v}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{DO}.
w⃗=AB→+2BC→−AC→−AD→.\vec{w}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.

تمرين 4

لتكن AA و BB و CC و MM أربع نقط من المستوى ولتكن u⃗\vec{u} المتجهة المعرّفة بـ :

u⃗=MA→+2MB→−3MC→.\vec{u}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}.
  1. بيّن أن : u⃗=2AB→−3AC→.\vec{u}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}.
  1. لتكن v⃗\vec{v} المتجهة المعرّفة بـ : v⃗=2BA→−6BC→.\vec{v}=2\overrightarrow{BA}-6\overrightarrow{BC}. بيّن أن المتجهتين u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} مستقيميتان.

تمرين 5

ABCDABCD متوازي أضلاع و MM نقطة من المستوى بحيث :

AM→=AB→+2AD→.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}.
  1. بيّن أن BB و CC و MM على استقامة واحدة.
  1. استنتج أن CC منتصف القطعة [BM].[BM].

تمرين 6

ABCABC مثلث و II و JJ منتصفا [AB][AB] و [AC][AC] على التوالي.

بيّن أن : BC→=2IJ→.\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{IJ}.

تمرين 7

ABCABC مثلث و GG مركز ثقله (

GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}

) و OO منتصف [BC].[BC].

بيّن أن :

  • OA→=3OG→\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OG}
−2GO→+GB→+GC→=0⃗-2\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}

تمرين 8

ABCDABCD متوازي أضلاع.

  1. ضع النقطة MM بحيث : AM→=32AB→.\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}.
  1. ضع النقطة NN بحيث : AN→=3AD→.\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AD}.
  1. بيّن أن
CM→=32AB→−AC→\overrightarrow{CM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}

و

NM→=92AB→−3AC→.\overrightarrow{NM}=\frac{9}{2}\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}.
  1. استنتج أن (MN)∥(CM).(MN)\parallel(CM).

تمرين 9

ABCDABCD متوازي أضلاع.

نعتبر MM و NN نقطتين من المستوى بحيث : DM→=52DA→\overrightarrow{DM}=\frac{5}{2}\overrightarrow{DA} و CN→=23DC→.\overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}.

  1. بيّن أن :
BM→=32DA→−AB→\overrightarrow{BM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}

و

BN→=23DC→+BC→.\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}.
  1. أ. احسب BM→\overrightarrow{BM} بدلالة AB→\overrightarrow{AB} و BC→.\overrightarrow{BC}.

ب. احسب BN→\overrightarrow{BN} بدلالة AB→\overrightarrow{AB} و BC→.\overrightarrow{BC}.

  1. بيّن أن : 2BM→+3BN→=0⃗.2\overrightarrow{BM}+3\overrightarrow{BN}=\vec{0}.

تمرين 10

ABCABC مثلث.

نعتبر II و JJ منتصفي القطعتين [AB][AB] و [AC][AC] على التوالي.

  1. بيّن أن :
BJ→=−AB→+12AC→\overrightarrow{BJ}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}

و

CI→=−AC→+12AB→.\overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
  1. لتكن MM و NN نقطتين من المستوى بحيث : BM→=2BJ→\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BJ} و CN→=2CI→.\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{CI}.

أ. ما طبيعة الرباعيين ACBNACBN و ABCM؟ABCM؟ برّر جوابك.

ب. بيّن أن النقط AA و MM و NN على استقامة واحدة.

تمرين 11

ABCDABCD متوازي أضلاع و MM و NN نقطتان من المستوى بحيث : BM→=12AB→\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} و AN→=3AD→.\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AD}.

  1. أنشئ شكلاً مناسباً.
  1. بيّن أن :
CM→=12AB→−BC→\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}

و

CN→=2AD→−DC→.\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}.
  1. بيّن أن CC و MM و NN على استقامة واحدة.
  1. ليكن EE منتصف [DN][DN] ولتكن FF نقطة من المستوى بحيث : AB→=BF→.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BF}. بيّن أن CC منتصف [EF].[EF].
  1. بيّن أن : (BD)∥(EF).(BD)\parallel(EF).

تمرين 12

ABCDABCD رباعي و xx عدد حقيقي.

نعتبر MM و NN نقطتين من المستوى بحيث : AM→=xAB→\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB} و DN→=xDC→.\overrightarrow{DN}=x\overrightarrow{DC}.

  1. بيّن أن :
MN→=xBC→+(1−x)AD→.\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{BC}+(1-x)\overrightarrow{AD}.
  1. نفترض أن AD→=3BC→.\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{BC}.

أ. ما طبيعة ABCD؟ABCD؟

ب. احسب MN→\overrightarrow{MN} بدلالة BC→.\overrightarrow{BC}.

ج. حدد قيمة xx حتى يكون M=N.M=N.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ