الجذع المشترك العلمي

الدرس 12

الحساب المثلثي

وحدات القياس، الدائرة المثلثية، الزوايا الموجّهة، جيب التمام والجيب والظل، الإشارات والعلاقات، المعادلات والمتراجحات، الزوايا المحيطية والقوانين في المثلث.

سلسلة التمارين 12 — سلسلة تمارين: الحساب المثلثي

Ⅰ. وحدات قياس الزوايا: الراديان والغراد

ليكن $(C)$ دائرة مركزها $O$ ونصف قطرها $R$ وليكن $I$ و $M$ نقطتين من الدائرة $(C)$ و $\alpha$ قياس الزاوية $\widehat{IOM}$ : $\widehat{IOM}=\alpha^{\circ}$ و $0\leqslant\alpha\leqslant 360^{\circ}.$

لنحدّد $l$ طول القوس $IM$ : نعلم أن محيط الدائرة $(C)$ هو $2\pi R.$ إذن: $2\pi R\leftrightarrow 360^{\circ}$ و $l\leftrightarrow\alpha^{\circ}.$ وبالتالي:

l=\frac{2\alpha\pi R}{360}=\frac{\alpha\pi R}{180}.

ملاحظة

فيما يلي نهتم بقياس الزاوية $\widehat{IOM}$ ، ولهذا السبب نضع $R=1.$

تعريف

ليكن $(C)$ دائرة مركزها $O$ ونصف قطرها $R=1$ وليكن $I$ و $M$ نقطتين من $(C).$ قياس الزاوية الهندسية $\widehat{IOM}$ بالراديان هو طول القوس $IM.$

ملاحظة

$1\,\mathrm{rad}$ هو قياس زاوية تعترض على الدائرة $C(O,1)$ قوساً طوله $1.$

توجد ثلاث وحدات لقياس الزوايا: الدرجة، الراديان والغراد. قياس الزاوية المستقيمة بالدرجات هو $180^{\circ}$ وبالراديان $\pi$ وبالغراد $200\,\mathrm{gr}.$ أي: $180^{\circ}=\pi\,\mathrm{rad}=200\,\mathrm{gr}.$

تعريف

إذا كانت $x$ و $y$ و $z$ القياسات المتتالية لزاوية هندسية بالدرجات والراديان والغراد، فإن:

\frac{x}{180}=\frac{y}{\pi}=\frac{z}{200}.

مثال

لنحدّد بالراديان قياس زاوية قيسها بالدرجات $45^{\circ}.$ لدينا: $\pi\leftrightarrow 180^{\circ}$ و $a\leftrightarrow 45^{\circ}.$ إذن:

a=\frac{45\pi}{180}=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}.

تطبيق ①

أتمم الجدول التالي:

القياس بالدرجات	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$		$120$
القياس بالراديان						$\frac{\pi}{8}$		$2\pi$

Ⅱ. الدائرة المثلثية — الأفاصل المنحنية لنقطة

الدائرة المثلثية

تعريف

في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد منظم $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$ ، الدائرة المثلثية $(C)$ هي دائرة مركزها $O$ ونصف قطرها $1$ وموجّهة في المنحى المباشر أو الموجب (عكس عقارب الساعة). النقطة $I$ تُسمّى أصل الدائرة $(C).$

دائرة مثلثية موجّهة — المنحى الموجب والمنحى السالب

الأفاصل المنحنية لنقطة من دائرة مثلثية

تعريف

ليكن $(C)$ دائرة مثلثية. كل عدد حقيقي $\alpha$ يُمثَّل على $(C)$ بنقطة وحيدة $M.$ العدد $\alpha$ يُسمّى أفصولاً منحنياً للنقطة $M$ ونكتب $M(\alpha).$

ملاحظات

إذا كان $\alpha$ أفصولاً منحنياً لنقطة $M$ ، فإن كل عدد مكتوب على الشكل $\alpha+2k\pi$ حيث $k\in\mathbb{Z}$ هو أيضاً أفصول منحني لـ $M.$
من بين جميع الأفاصل المنحنية لنقطة $M$ يوجد واحد فقط ينتمي إلى المجال $]-\pi,\pi]$ : وهو الأفصول المنحني الرئيسي.

مثال

لنحدّد الأفصول الرئيسي للنقطة $M\left(\frac{37\pi}{3}\right).$

الطريقة ①: لدينا

\frac{37\pi}{3}=\frac{36\pi+\pi}{3}=12\pi+\frac{\pi}{3}.

إذن الأفصول الرئيسي للنقطة $M$ هو $\frac{\pi}{3}.$

الطريقة ②: ليكن $\alpha_{0}$ الأفصول الرئيسي للنقطة $M.$ لدينا $\frac{37\pi}{3}=\alpha_{0}+2k\pi$ حيث $k\in\mathbb{Z}.$ إذن $\alpha_{0}=\frac{37\pi}{3}-2k\pi.$ وبما أن $-\pi<\alpha_{0}\leqslant\pi$ ، فإن $-\pi<\frac{37\pi}{3}-2k\pi\leqslant\pi.$

وبالتالي: $\frac{34}{6}\leqslant k<\frac{40}{6}$ أي $5{,}66\leqslant k<6{,}66.$ وبما أن $k\in\mathbb{Z}$ ، فإن $k=6.$ ومنه الأفصول الرئيسي للنقطة $M$ هو

\alpha_{0}=\frac{37\pi}{3}-2\times 6\pi=\frac{\pi}{3}.

تطبيق ②

التمرين 1 من السلسلة.

تمرين

التمرين 2 من السلسلة.

نتيجة

إذا كان $x$ و $y$ أفصولين منحنيين لنقطة $M$ ، فإنه يوجد عدد صحيح $k$ بحيث $x-y=2k\pi.$ نكتب في هذه الحالة: $x\equiv y[2\pi]$ ونقول إن $x$ مطابق لـ $y$ بترديد $2\pi.$

تطبيق ③

تحقق مما إذا كانت العلاقة $x\equiv y[2\pi]$ صحيحة في الحالات التالية:

$\bullet$ $x=\frac{43\pi}{12}$ و $y=-\frac{5\pi}{12}$

$\bullet$ $x=-\frac{13\pi}{8}$ و $y=\frac{9\pi}{4}$

Ⅲ. الزاوية الموجّهة لنصفـي مستقيم لهما نفس الأصل — الزاوية الموجّهة لمتجهين

نعتبر $(P)$ المستوى الموجّه في المنحى المباشر والمنسوب إلى المعلم المتعامد المنظم $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$ وليكن $A$ و $B$ نقطتين من $(P).$

تعريف

الزاوية المتكوّنة من نصفي المستقيمين $[OA)$ و $[OB)$ تُسمّى الزاوية الموجّهة لـ $[OA)$ و $[OB)$ ونرمز لها بـ $(OA,OB).$ تُسمّى أيضاً الزاوية الموجّهة للمتجهين $\overrightarrow{OA}$ و $\overrightarrow{OB}$ ونرمز لها بـ $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}).$

ملاحظات

إذا كان $\alpha$ قياساً للزاوية الموجّهة $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ ، فإن كل عدد مكتوب على الشكل $\alpha+2k\pi$ حيث $k\in\mathbb{Z}$ هو أيضاً قياس لهذه الزاوية. نكتب $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\alpha[2\pi].$
من بين جميع قياسات الزاوية الموجّهة $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ يوجد قياس واحد فقط ينتمي إلى $]-\pi,\pi]$ : وهو القياس الرئيسي.

خاصية (علاقة شازل)

ليكن $\vec{u}$ و $\vec{v}$ و $\vec{w}$ ثلاثة متجهات غير منعدمة من المستوى الموجّه. لدينا: $(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})\equiv(\vec{u},\vec{w})[2\pi].$

تطبيق ④

حدّد قياساً للزاوية $(\vec{v},\vec{w})$ علماً أن $(\vec{u},\vec{v})\equiv\frac{\pi}{4}[2\pi]$ و $(\vec{u},\vec{w})\equiv\frac{2\pi}{3}[2\pi].$

نتيجة

ليكن $A(\alpha)$ و $B(\beta)$ نقطتين على دائرة مثلثية مركزها $O$ وأصلها $I.$ لدينا: $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\beta-\alpha[2\pi].$

تطبيق ⑤

ليكن $(C)$ دائرة مثلثية مركزها $O$ ولتكن $M$ و $N$ نقطتين من $(C)$ أفصولاهما المنحنيان على التوالي $-\frac{37\pi}{3}$ و $\frac{65\pi}{6}.$

أوجد الأفاصل المنحنية الرئيسية لـ $M$ و $N.$

بيّن أن $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi]$ ثم استنتج طبيعة المثلث $OMN.$

خاصية

ليكن $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متجهين غير منعدمين. لدينا: $\bullet$ $(\vec{u},\vec{v})\equiv-(\vec{v},\vec{u})[2\pi]$ ؛ $\bullet$ $(-\vec{u},-\vec{v})\equiv(\vec{u},\vec{v})[2\pi]$ ؛ $\bullet$ $(-\vec{u},\vec{v})\equiv\pi+(\vec{u},\vec{v})[2\pi]$ ؛ $\bullet$ $(\vec{u},-\vec{v})\equiv\pi+(\vec{u},\vec{v})[2\pi].$

تطبيق ⑥

التمرين 6 من السلسلة.

الجيب — جيب التمام — الظل لعدد حقيقي

ليكن $(C)$ دائرة مثلثية مركزها $O$ وأصلها $I$ و $J$ نقطة من $(C)$ بحيث $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi].$ ليكن $M$ نقطة من $(C)$ أفصولها المنحني $x$ وليكن $(\Delta)$ المستقيم المار من $I$ والموازي لـ $(OJ).$

جيب التمام والجيب والظل على الدائرة المثلثية — $\cos(x)$ ، $\sin(x)$ و $\tan(x)$

تعريف

$\bullet$ نسمّي أفصول النقطة $M$ في المعلم المتعامد المنظم $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$ جيب تمام العدد الحقيقي $x$ ونرمز له بـ $\cos(x).$ $\bullet$ نسمّي أرتوب النقطة $M$ في المعلم $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$ جيب العدد الحقيقي $x$ ونرمز له بـ $\sin(x).$ $\bullet$ نفرض أن $M$ مختلفة عن $J$ و $J'$ : أفصول نقطة التقاطع $T$ لـ $(\Delta)$ و $(OM)$ في المعلم $(I,\vec{P})$ يُسمّى ظل العدد الحقيقي $x$ ونرمز له بـ $\tan(x).$

أمثلة

لنحدّد جيب التمام والجيب للنقط التالية: $I(0)$ ، $J\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ، $I'(\pi)$ و $J'\left(-\frac{\pi}{2}\right).$

في المعلم $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$ لدينا: $\bullet$ إحداثيات $I$ هي $(1;0)$ ، إذن $\cos(0)=1$ و $\sin(0)=0.$ $\bullet$ إحداثيات $J$ هي $(0;1)$ ، إذن $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ و $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$ $\bullet$ إحداثيات $I'$ هي $(-1;0)$ ، إذن $\cos(\pi)=-1$ و $\sin(\pi)=0.$ $\bullet$ إحداثيات $J'$ هي $(0;-1)$ ، إذن $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0$ و $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1.$

نتائج

لكل عدد حقيقي $x$ لدينا: $\bullet$ $-1\leqslant\cos(x)\leqslant 1$ و $-1\leqslant\sin(x)\leqslant 1.$ $\bullet$ حسب مبرهنة فيثاغورس: $\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1.$ $\bullet$ بما أن $x$ و $x+2k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ) أفصولان منحنيان لنفس النقطة، فإن: $\cos(x+2k\pi)=\cos(x)$ ، $\sin(x+2k\pi)=\sin(x)$ و $\tan(x+2k\pi)=\tan(x).$ $\bullet$ لكل $x$ مختلف عن $\frac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ): $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ و $1+\tan^{2}(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}.$

تطبيق

التمرين 07 من السلسلة.

إشارة جيب التمام — الجيب — الظل لعدد حقيقي

تمرين

التمرين 9 من السلسلة.

ليكن $(C)$ دائرة مثلثية مركزها $O$ وأصلها $I$ وليكن $M$ نقطة من $(C)$ أفصولها المنحني $x.$

إشارة $\cos(x)$ على $\mathbb{R}$

$\cos(x)\geqslant 0$ إذا كانت $M$ نقطة من القوس الأحمر. إذن إشارة $\cos(x)$ على $]-\pi,\pi]$ :

x

-\pi

-\dfrac{\pi}{2}

\dfrac{\pi}{2}

\pi

\cos(x)

0

0

إشارة جيب التمام — القوس الأحمر: $\cos\geqslant 0$

إشارة $\sin(x)$ على $\mathbb{R}$

$\sin(x)\geqslant 0$ إذا كانت $M$ نقطة من القوس الأحمر. إذن إشارة $\sin(x)$ على $]-\pi,\pi]$ :

x

-\pi

0

\pi

\sin(x)

0

إشارة الجيب — القوس الأحمر: $\sin\geqslant 0$

إشارة $\tan(x)$ على $\mathbb{R}$ حيث $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$

$\tan(x)\geqslant 0$ إذا كانت $M$ نقطة من القوس الأحمر. إذن إشارة $\tan(x)$ على $]-\pi,\pi]$ :

x

-\pi

-\dfrac{\pi}{2}

0

\dfrac{\pi}{2}

\pi

\tan(x)

0

0

0

إشارة الظل — القوس الأحمر: $\tan\geqslant 0$

تطبيق ⑧

التمرين 10 من السلسلة.

علاقات بين النسب المثلثية

لكل عدد حقيقي $x$ لدينا العلاقات التالية:

العلاقة بين النسب المثلثية لـ $x$ و $-x$

$\cos(-x)=\cos x$
$\sin(-x)=-\sin x$
$\tan(-x)=-\tan(x)$ حيث $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ )

العلاقة بين النسب المثلثية لـ $x$ و $\pi+x$

$\cos(\pi+x)=-\cos x$
$\sin(\pi+x)=-\sin x$
$\tan(\pi+x)=\tan(x)$ حيث $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ )

العلاقة بين النسب المثلثية لـ $x$ و $\pi-x$

$\cos(\pi-x)=-\cos(x)$
$\sin(\pi-x)=\sin(x)$
$\tan(\pi-x)=-\tan(x)$ حيث $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ )

العلاقة بين النسب المثلثية لـ $x$ و $\frac{\pi}{2}-x$

$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$
$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$
$\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan(x)}$ حيث $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ و $x\neq k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ )

العلاقة بين النسب المثلثية لـ $x$ و $\frac{\pi}{2}+x$

$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x)$
$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)$
$\tan\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\frac{1}{\tan(x)}$ حيث $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ و $x\neq k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ )

تطبيق ⑨

التمارين 1 و 2 من السلسلة.

النسب المثلثية للزوايا الاعتيادية

لدينا الجدول التالي:

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$
$\tan x$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$		$0$

تطبيق ⑩

احسب $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ و $\sin\left(\frac{65\pi}{4}\right)$ و $\tan\left(\frac{19\pi}{6}\right).$

تمرين

التمارين 1 و 4 من السلسلة.

Ⅴ. المعادلات والمتراجحات المثلثية الأساسية

معادلات من النوع $\cos(x)=a$ ومتراجحات $\cos(x)\geqslant a$ و $\cos(x)\leqslant a$

خاصية

ليكن $a$ عدداً حقيقياً. $\bullet$ إذا كان $|a|>1$ ، فإن المعادلة $\cos(x)=a$ لا تقبل حلولاً على $\mathbb{R}.$ $\bullet$ إذا كان $|a|\leqslant 1$ ، فإنه يوجد عدد حقيقي $\alpha$ بحيث $\cos(\alpha)=a$ وحلول المعادلة $\cos(x)=a$ هي: $\alpha+2k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ) أو $-\alpha+2k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

مثال

لنحل في $[0,2\pi]$ المعادلة $\cos(x)=\frac{1}{2}$ والمتراجحة $\cos(x)\leqslant\frac{1}{2}.$

تطبيق ⑪

حل في المجال $I$ المعادلات والمتراجحات التالية:

$\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $\cos(x)<\frac{\sqrt{2}}{2}$ مع $I=[-\pi,\pi].$

$2\cos(x)+\sqrt{3}=0$ و $2\cos(x)+\sqrt{3}\geqslant 0$ مع $I=[-\pi,3\pi].$

معادلات من النوع $\sin(x)=a$ ومتراجحات $\sin(x)\geqslant a$ و $\sin(x)\leqslant a$

خاصية

ليكن $a$ عدداً حقيقياً. $\bullet$ إذا كان $|a|>1$ ، فإن المعادلة $\sin(x)=a$ لا تقبل حلولاً على $\mathbb{R}.$ $\bullet$ إذا كان $|a|\leqslant 1$ ، فإنه يوجد عدد حقيقي $\alpha$ بحيث $\sin(\alpha)=a$ وحلول المعادلة $\sin(x)=a$ هي: $\alpha+2k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ) أو $\pi-\alpha+2k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

مثال

لنحل في $[-\pi,\pi]$ المعادلة $\sin(x)=\frac{1}{2}$ والمتراجحة $\sin(x)\leqslant\frac{1}{2}.$

تطبيق ⑫

حل في المجال $I$ المعادلات والمتراجحات التالية:

$\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $\sin(x)<\frac{\sqrt{2}}{2}$ مع $I=[0,2\pi].$

$2\sin(x)+\sqrt{3}=0$ و $2\sin(x)+\sqrt{3}\geqslant 0$ مع $I=[-2\pi,\pi].$

معادلات من النوع $\tan(x)=a$ ومتراجحات $\tan(x)\geqslant a$ و $\tan(x)\leqslant a$

خاصية

نعتبر المعادلة $\tan(x)=a$ حيث $a\in\mathbb{R}.$ ليكن $S$ مجموعة حلولها. يوجد عدد حقيقي $\alpha$ بحيث $\tan(\alpha)=a$ ولدينا $S=\{\alpha+k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\}.$

مثال

لنحل في $[-\pi,\pi]$ المعادلة $\tan(x)=\sqrt{3}$ والمتراجحة $\tan(x)\leqslant\sqrt{3}.$

تطبيق ⑬

حل في المجال $I$ المعادلات والمتراجحات التالية:

$\tan(x)=1$ و $\tan(x)<1$ مع $I=[0,2\pi].$

$\tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}=0$ و

\tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}\geqslant 0

مع $I=[-2\pi,\pi].$

Ⅵ. الزوايا المحيطية والرباعيات القابلة للإحاطة بدائرة

الزوايا المحيطية — الزوايا المركزية

ليكن $(C)$ دائرة مركزها $O$ ، و $[AB]$ وتراً من $(C)$ و $M$ نقطة من $(C).$ الزاوية $\widehat{AMB}$ تُسمّى زاوية محيطية تعترض الوتر $[AB]$ على الدائرة $(C).$ الزاوية $\widehat{AOB}$ تُسمّى زاوية مركزية تعترض الوتر $[AB]$ على الدائرة $(C).$ لدينا: $\widehat{AOB}=2\widehat{AMB}.$

تطبيق ⑭

ليكن $(C)$ دائرة قطرها $[AB].$ بيّن أنه لكل نقطة $C$ من الدائرة $(C)$ يكون المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C.$

زاوية محيطية وزاوية مركزية — $\widehat{AOB}=2\widehat{AMB}$

خاصية

زاويتان محيطيتان في دائرة تعترضان نفس الوتر تكونان متقايستين أو متتامتين.

زوايا متقايسة وزوايا متتامة — $\widehat{AMB}=\widehat{ANB}$ ؛ $\widehat{AMB}+\widehat{ANB}=\pi$

الرباعيات القابلة للإحاطة بدائرة

تعريف

رباعي قابل للإحاطة بدائرة هو رباعي تقع جميع رؤوسه على دائرة واحدة وحيدة. يقال إن الرؤوس متداورة. وتُسمّى الدائرة محيطة بالرباعي.

خاصية

ليكن $A$ و $B$ و $C$ ثلاث نقط غير مستقيمية من المستوى وليكن $(C)$ الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$ ولتكن $D$ نقطة من المستوى. النقطة $D$ تنتمي إلى الدائرة $(C)$ إذا وفقط إذا كان $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=\pi$ أو $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}.$

رباعي قابل للإحاطة بدائرة — $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$ ؛ $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=\pi$

Ⅶ. قوانين الجيب في مثلث

مساحة مثلث

مبرهنة

ليكن $ABC$ مثلثاً مساحته $S.$ نضع $a=BC$ و $b=AC$ و $c=AB.$ لدينا:

S=\frac{1}{2}ab\sin(C)=\frac{1}{2}ac\sin(B)=\frac{1}{2}bc\sin(A).

ليكن $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(BC).$

مساحة المثلث بـ sin — الارتفاع $AH$ (حالة حادة وحالة منفرجة)

نعلم أن: $S=\frac{1}{2}BC\times AH.$ وبما أن $\sin(C)=\frac{AH}{AC}$ ، فإن $AH=AC\times\sin(C).$ وبالتالي:

S=\frac{1}{2}BC\times AC\times\sin(C)=\frac{1}{2}ab\sin(C).

وبنفس الطريقة نبيّن أن $S=\frac{1}{2}ac\sin(B)$ و $S=\frac{1}{2}bc\sin(A).$

تطبيق ⑮

ليكن $ABC$ مثلثاً متساوي الأضلاع بحيث $AB=3.$ احسب مساحة هذا المثلث.

قوانين الجيب في مثلث

مبرهنة

ليكن $ABC$ مثلثاً و $R$ نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC.$ نضع $a=BC$ و $b=AC$ و $c=AB.$ لدينا:

\frac{\sin(A)}{a}=\frac{\sin(B)}{b}=\frac{\sin(C)}{c}=\frac{1}{2R}.

تطبيق ⑯

التمرين 23 من السلسلة.

مبرهنة

ليكن $ABC$ مثلثاً و $p$ محيطه و $r$ نصف قطر الدائرة المماسة داخلياً للمثلث $ABC.$ لدينا: $S=\frac{1}{2}pr.$

نعتبر الشكل المقابل:

لدينا:

S_{ABC}=S_{AOC}+S_{AOB}+S_{BOC}=\frac{1}{2}r\times AC+\frac{1}{2}r\times AB+\frac{1}{2}r\times BC=\frac{1}{2}r(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}pr.

تمرين

التمرين 24 من السلسلة.

الحساب المثلثي

Ⅰ. وحدات قياس الزوايا: الراديان والغراد

Ⅱ. الدائرة المثلثية — الأفاصل المنحنية لنقطة

الدائرة المثلثية

الأفاصل المنحنية لنقطة من دائرة مثلثية

Ⅲ. الزاوية الموجّهة لنصفـي مستقيم لهما نفس الأصل — الزاوية الموجّهة لمتجهين

الجيب — جيب التمام — الظل لعدد حقيقي

إشارة جيب التمام — الجيب — الظل لعدد حقيقي

إشارة cos⁡(x)\cos(x)cos(x) على R\mathbb{R}R

إشارة sin⁡(x)\sin(x)sin(x) على R\mathbb{R}R

إشارة tan⁡(x)\tan(x)tan(x) على R\mathbb{R}R حيث x≠π2+kπx\neq\frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ

علاقات بين النسب المثلثية

العلاقة بين النسب المثلثية لـ xxx و −x-x−x

العلاقة بين النسب المثلثية لـ xxx و π+x\pi+xπ+x

العلاقة بين النسب المثلثية لـ xxx و π−x\pi-xπ−x

العلاقة بين النسب المثلثية لـ xxx و π2−x\frac{\pi}{2}-x2π​−x

العلاقة بين النسب المثلثية لـ xxx و π2+x\frac{\pi}{2}+x2π​+x

النسب المثلثية للزوايا الاعتيادية

Ⅴ. المعادلات والمتراجحات المثلثية الأساسية

معادلات من النوع cos⁡(x)=a\cos(x)=acos(x)=a ومتراجحات cos⁡(x)⩾a\cos(x)\geqslant acos(x)⩾a و cos⁡(x)⩽a\cos(x)\leqslant acos(x)⩽a

معادلات من النوع sin⁡(x)=a\sin(x)=asin(x)=a ومتراجحات sin⁡(x)⩾a\sin(x)\geqslant asin(x)⩾a و sin⁡(x)⩽a\sin(x)\leqslant asin(x)⩽a

معادلات من النوع tan⁡(x)=a\tan(x)=atan(x)=a ومتراجحات tan⁡(x)⩾a\tan(x)\geqslant atan(x)⩾a و tan⁡(x)⩽a\tan(x)\leqslant atan(x)⩽a

Ⅵ. الزوايا المحيطية والرباعيات القابلة للإحاطة بدائرة

الزوايا المحيطية — الزوايا المركزية

الرباعيات القابلة للإحاطة بدائرة

Ⅶ. قوانين الجيب في مثلث

مساحة مثلث

قوانين الجيب في مثلث

إشارة $\cos(x)$ على $\mathbb{R}$

إشارة $\sin(x)$ على $\mathbb{R}$

إشارة $\tan(x)$ على $\mathbb{R}$ حيث $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$

العلاقة بين النسب المثلثية لـ $x$ و $-x$

العلاقة بين النسب المثلثية لـ $x$ و $\pi+x$

العلاقة بين النسب المثلثية لـ $x$ و $\pi-x$

العلاقة بين النسب المثلثية لـ $x$ و $\frac{\pi}{2}-x$

العلاقة بين النسب المثلثية لـ $x$ و $\frac{\pi}{2}+x$

معادلات من النوع $\cos(x)=a$ ومتراجحات $\cos(x)\geqslant a$ و $\cos(x)\leqslant a$

معادلات من النوع $\sin(x)=a$ ومتراجحات $\sin(x)\geqslant a$ و $\sin(x)\leqslant a$

معادلات من النوع $\tan(x)=a$ ومتراجحات $\tan(x)\geqslant a$ و $\tan(x)\leqslant a$