سلسلة تمارين: الحساب المثلثي

مثّل على الدائرة المثلثية النقط التالية:

$A(0)$ ؛ $B\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ؛ $C\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ؛ $D\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ ؛ $E\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)$ ؛ $F\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)$ ؛ $G\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ ؛ $H(2\pi)$ ؛ $K(103\pi).$

1. حدّد الأفصول المنحني الرئيسي للنقط التالية:

$A\left(\frac{15\pi}{6}\right)$ ؛ $B\left(-\frac{21\pi}{4}\right)$ ؛ $C\left(\frac{2017\pi}{3}\right)$ ؛ $D\left(\frac{253\pi}{12}\right)$ ؛ $E\left(-\frac{65\pi}{7}\right)$ ؛ $F\left(\frac{23\pi}{6}\right).$

2. أعطِ جميع الأفاصل المنحنية للنقطة $M\left(-\frac{17\pi}{3}\right)$ في المجال $\left[-\frac{\pi}{2},3\pi\right].$

مثّل على الدائرة المثلثية النقط $M_{k}$ التي أفاصلها المنحنية هي: $-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}$ حيث $k\in\mathbb{Z}.$

ليكن $ABCD$ مربعاً بحيث $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi].$

حدّد: $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$ ؛ $(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA})$ ؛ $(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{DC})$ ؛ $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}).$

$(C)$ دائرة مثلثية مركزها $A$ وأصلها $B.$

1. مثّل على الدائرة المثلثية النقط $C$، $D$، $E$ و $F$ بحيث:

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\equiv\frac{3\pi}{4}[2\pi]$ ؛ $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\frac{\pi}{3}[2\pi]$ ؛ $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})\equiv-\frac{3\pi}{4}[2\pi]$ ؛ $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})\equiv-\frac{7\pi}{6}[2\pi].$

2. حدّد القياس الرئيسي للقياسات التالية:

$(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AE})$ ؛ $(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AC})$ ؛ $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ ؛ $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE}).$

نعتبر في المستوى المثلثين $ABC$ و $BDC$ الممثّلين في الشكل المقابل:

حدّد القياس الرئيسي للقياسات التالية:

$(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$ ؛ $(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DB})$ ؛ $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ ؛ $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{DB})$ ؛ $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DB}).$

ليكن $x$ عدداً حقيقياً.

1. بسّط التعابير التالية:

$\bullet$ $A(x)=1-(\cos(x)+\sin(x))^{2}.$

$\bullet$

$\bullet$ $C(x)=\cos^{2}(x)-2\sin^{2}(x)-1.$

$\bullet$ $D(x)=\cos^{3}(x)\sin(x)+\sin^{3}(x)\cos(x).$

2. احسب $D(0)$، $D\left(\frac{\pi}{2}\right)$، $D(\pi)$ و $D(17\pi).$

ليكن $x$ عدداً حقيقياً. بسّط التعابير التالية:

$\bullet$

$\bullet$

ليكن $x$ عدداً حقيقياً من المجال $\left[0,\frac{\pi}{2}\right[.$

نضع: $A=\cos^{2}(x)+3\cos(x)\sin(x)-2\sin^{2}(x).$

1. بيّن أن:

2. حدّد قيمة $A$ إذا كان $\tan(x)=1+\sqrt{2}.$

أسئلة هذا التمرين مستقلة:

1. ليكن $x$ عدداً حقيقياً من $\left[0,\frac{\pi}{2}\right[$ بحيث $\sin(x)=\frac{2}{3}.$ احسب $\cos(x)$ و $\tan(x).$

2. ليكن $x$ عدداً حقيقياً من $\left[-\frac{\pi}{2},0\right]$ بحيث $\cos(x)=\frac{1}{2}.$ احسب $\sin(x)$ و $\tan(x).$

3. علماً أن $\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}-1.$ بيّن أن:

ثم احسب $\sin\left(\frac{\pi}{8}\right).$

1. اكتب بدلالة $\cos(x)$ و $\sin(x)$ التعابير التالية:

$\bullet$ $A=\sin(-x)+\cos(-x)+\sin(\pi+x)+\cos(\pi-x).$

$\bullet$

$\bullet$

$\bullet$

$\bullet$

2. اكتب بدلالة $\tan(x)$ التعابير التالية:

$\bullet$ $F=\tan(5\pi+x)+\tan(5\pi-x)+\tan(-x).$

$\bullet$

احسب الأعداد التالية:

$\bullet$

$\bullet$

$\bullet$

$\bullet$

$\bullet$