Ximath
دروس هذا المستوى

الجذع المشترك العلمي

الدرس 01

مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية ومبادئ الحساب

الأعداد الطبيعية، الزوجية والفردية، المضاعفات والقاسمات، ق.م.أ وم.م.أ، الأعداد الأولية والتفكيك إلى عوامل أولية.

سلسلة التمارين 01 — سلسلة تمارين: الحساب في N\mathbb{N}

الأعداد الزوجية — الأعداد الفردية

نرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية بـ N.\mathbb{N}.

لدينا N={0,1,2,3,…}\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\} و N∗={1,2,3,…}.\mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,\ldots\}.

العدد 2424 عدد صحيح طبيعي. نكتب 24∈N24\in\mathbb{N} ونقول إن 2424 ينتمي إلى N.\mathbb{N}.

العدد 34\sqrt{34} ليس عدداً صحيحاً طبيعياً. نكتب 34∉N\sqrt{34}\notin\mathbb{N} ونقول إن 34\sqrt{34} لا ينتمي إلى N.\mathbb{N}.

كل الأعداد الزوجية.

تعريف

ليكن aa عدداً صحيحاً طبيعياً. نقول إن aa زوجي إذا وُجد عدد صحيح طبيعي kk بحيث: a=2k.a=2k.

كل الأعداد الفردية.

تعريف

ليكن aa عدداً صحيحاً طبيعياً. نقول إن aa فردي إذا وُجد عدد صحيح طبيعي kk بحيث: a=2k+1.a=2k+1.

تطبيق

ليكن aa و bb عددين من N\mathbb{N} مع a≥b.a\ge b. أتمم الجدول التالي:

العددaabba+ba+ba−ba-ba×ba\times b
الزوجيةزوجيزوجي
زوجيفردي
فرديزوجي
فرديفردي

تمرين

التمرين 1 من السلسلة.

مضاعفات عدد صحيح طبيعي — م.م.أ لعددين صحيحين طبيعيين

2266111121210028281414120120
مضاعف لـ 22
مضاعف لـ 33
مضاعف لـ 55
مضاعف لـ 99

تعريف

ليكن aa و bb عددين صحيحين طبيعيين. نقول إن bb مضاعف لـ aa إذا وُجد عدد صحيح طبيعي kk بحيث: b=ka.b=ka.

تطبيق

حدد كل مضاعفات 77 الأصغر من 50.50.

حدد ppcm⁡(5 ; 3)\operatorname{ppcm}(5\,;\,3) و ppcm⁡(12 ; 18)\operatorname{ppcm}(12\,;\,18) و ppcm⁡(5 ; 20).\operatorname{ppcm}(5\,;\,20).

تمرين

ليكن aa و bb و cc ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية.

بيّن أنه إذا كان aa مضاعفاً لـ bb و cc، فإنه مضاعف لـ 2b−3c.2b-3c.

قاسمات عدد صحيح طبيعي — ق.م.أ لعددين صحيحين طبيعيين

14146649498181495495
قابل للقسمة على 22
قابل للقسمة على 33
قابل للقسمة على 55
قابل للقسمة على 77
قابل للقسمة على 11

تعريف

ليكن aa و bb عددين صحيحين طبيعيين. نقول إن aa قاسم لـ bb إذا وُجد عدد صحيح طبيعي kk بحيث: b=kab=ka، ونكتب a∣b.a\mid b.

تطبيق

حدد قاسمات 24.24.

حدد pgcd⁡(8 ; 6)\operatorname{pgcd}(8\,;\,6) و pgcd⁡(6 ; 26)\operatorname{pgcd}(6\,;\,26) و pgcd⁡(36 ; 9).\operatorname{pgcd}(36\,;\,9).

تمرين

التمرين 3 من السلسلة.

معايير القابلية للقسمة على 22 و 33 و 55 و 99

يكون عدد قابلاً للقسمة على:

  • 22 عندما يكون رقم آحاده زوجياً.
  • 55 عندما يكون رقم آحاده 00 أو 55.
  • 33 عندما يكون مجموع أرقامه مضاعفاً لـ 33.
  • 99 عندما يكون مجموع أرقامه مضاعفاً لـ 99.

مثال

العدد 7425074250 قابل للقسمة على 22 و 55 لأن رقم آحاده 0.0.

العدد 7425074250 قابل للقسمة على 33 و 99 لأن: 7+4+2+5+0=187+4+2+5+0=18 مضاعف لـ 33 و لـ 9.9.

الأعداد الأولية

تعريف

عدد صحيح طبيعي pp أكبر من أو يساوي 22 يُقال إنه أولي إذا كانت قاسماته فقط 11 و p.p.

تطبيق

أوجد الأعداد الأولية من بين الأعداد التالية: 1717، 4545، 99، 4141، 2727، 1111، 29.29.

بيّن أن العدد 10007011000701 ليس أولياً.

ملاحظة

لدراسة أولية عدد صحيح طبيعي nn، نبحث عن كل الأعداد الأولية pp التي تحقق: p≤n.p\le\sqrt{n}. إذا كان nn قابلاً للقسمة على أحد هذه الأعداد، فإنه ليس أولياً.

مثال

لنبيّن أن 9797 عدد أولي.

لدينا: 97<10.\sqrt{97}<10. الأعداد الأولية الأصغر قطعاً من 1010 هي: 22 و 33 و 55 و 7.7.

بما أن 9797 غير قابل للقسمة على 22 و 33 و 55 و 77، فهو أولي.

تطبيق

التمرين 5 من السلسلة.

تفكيك عدد صحيح طبيعي إلى جداء عوامل أولية

مبرهنة

كل عدد صحيح طبيعي nn أكبر من أو يساوي 22 يتفكك بكيفية وحيدة إلى جداء عوامل أولية.

تطبيق

فكّك إلى جداء عوامل أولية الأعداد: 1212، 35203520، 4576.4576.

تعريف

ليكن aa و bb عددين صحيحين طبيعيين. نقول إن aa و bb أوليان فيما بينهما إذا كان pgcd⁡(a,b)=1.\operatorname{pgcd}(a,b)=1.

أمثلة

لدينا pgcd⁡(5,13)=1\operatorname{pgcd}(5,13)=1، إذن 55 و 1313 أوليان فيما بينهما.

لدينا pgcd⁡(12,30)=6\operatorname{pgcd}(12,30)=6، إذن 1212 و 3030 ليسا أوليين فيما بينهما.

مبرهنة

ق.م.أ لعددين صحيحين طبيعيين هو جداء العوامل المشتركة بين تفكيكيهما، مرفوعة إلى أصغر أس.

مبرهنة

م.م.أ لعددين صحيحين طبيعيين هو جداء العوامل المشتركة وغير المشتركة بين تفكيكيهما، مرفوعة إلى أكبر أس.

مثال

لنحسب pgcd⁡(120,45)\operatorname{pgcd}(120,45) و ppcm⁡(120,45).\operatorname{ppcm}(120,45).

تطبيق

فكّك إلى جداء عوامل أولية العددين 123123 و 595595 ثم استنتج أنهما أوليان فيما بينهما.

تمرين

التمرين 11 من السلسلة.