الجذع المشترك العلمي
الدرس 01
مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية ومبادئ الحساب
الأعداد الطبيعية، الزوجية والفردية، المضاعفات والقاسمات، ق.م.أ وم.م.أ، الأعداد الأولية والتفكيك إلى عوامل أولية.
سلسلة التمارين 01 — سلسلة تمارين: الحساب فيالأعداد الزوجية — الأعداد الفردية
نرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية بـ
لدينا و
العدد عدد صحيح طبيعي. نكتب ونقول إن ينتمي إلى
العدد ليس عدداً صحيحاً طبيعياً. نكتب ونقول إن لا ينتمي إلى
كل الأعداد الزوجية.
تعريف
ليكن عدداً صحيحاً طبيعياً. نقول إن زوجي إذا وُجد عدد صحيح طبيعي بحيث:
كل الأعداد الفردية.
تعريف
ليكن عدداً صحيحاً طبيعياً. نقول إن فردي إذا وُجد عدد صحيح طبيعي بحيث:
تطبيق
ليكن و عددين من مع أتمم الجدول التالي:
| العدد | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| الزوجية | زوجي | زوجي | |||
| زوجي | فردي | ||||
| فردي | زوجي | ||||
| فردي | فردي |
تمرين
التمرين 1 من السلسلة.
مضاعفات عدد صحيح طبيعي — م.م.أ لعددين صحيحين طبيعيين
| مضاعف لـ | ||||||||
| مضاعف لـ | ||||||||
| مضاعف لـ | ||||||||
| مضاعف لـ |
تعريف
ليكن و عددين صحيحين طبيعيين. نقول إن مضاعف لـ إذا وُجد عدد صحيح طبيعي بحيث:
تطبيق
حدد كل مضاعفات الأصغر من
حدد و و
تمرين
ليكن و و ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية.
بيّن أنه إذا كان مضاعفاً لـ و ، فإنه مضاعف لـ
قاسمات عدد صحيح طبيعي — ق.م.أ لعددين صحيحين طبيعيين
| قابل للقسمة على | |||||
| قابل للقسمة على | |||||
| قابل للقسمة على | |||||
| قابل للقسمة على | |||||
| قابل للقسمة على |
تعريف
ليكن و عددين صحيحين طبيعيين. نقول إن قاسم لـ إذا وُجد عدد صحيح طبيعي بحيث: ، ونكتب
تطبيق
حدد قاسمات
حدد و و
تمرين
التمرين 3 من السلسلة.
معايير القابلية للقسمة على و و و
يكون عدد قابلاً للقسمة على:
- عندما يكون رقم آحاده زوجياً.
- عندما يكون رقم آحاده أو .
- عندما يكون مجموع أرقامه مضاعفاً لـ .
- عندما يكون مجموع أرقامه مضاعفاً لـ .
مثال
العدد قابل للقسمة على و لأن رقم آحاده
العدد قابل للقسمة على و لأن: مضاعف لـ و لـ
الأعداد الأولية
تعريف
عدد صحيح طبيعي أكبر من أو يساوي يُقال إنه أولي إذا كانت قاسماته فقط و
تطبيق
أوجد الأعداد الأولية من بين الأعداد التالية: ، ، ، ، ، ،
بيّن أن العدد ليس أولياً.
ملاحظة
لدراسة أولية عدد صحيح طبيعي ، نبحث عن كل الأعداد الأولية التي تحقق: إذا كان قابلاً للقسمة على أحد هذه الأعداد، فإنه ليس أولياً.
مثال
لنبيّن أن عدد أولي.
لدينا: الأعداد الأولية الأصغر قطعاً من هي: و و و
بما أن غير قابل للقسمة على و و و ، فهو أولي.
تطبيق
التمرين 5 من السلسلة.
تفكيك عدد صحيح طبيعي إلى جداء عوامل أولية
مبرهنة
كل عدد صحيح طبيعي أكبر من أو يساوي يتفكك بكيفية وحيدة إلى جداء عوامل أولية.
تطبيق
فكّك إلى جداء عوامل أولية الأعداد: ، ،
تعريف
ليكن و عددين صحيحين طبيعيين. نقول إن و أوليان فيما بينهما إذا كان
أمثلة
لدينا ، إذن و أوليان فيما بينهما.
لدينا ، إذن و ليسا أوليين فيما بينهما.
مبرهنة
ق.م.أ لعددين صحيحين طبيعيين هو جداء العوامل المشتركة بين تفكيكيهما، مرفوعة إلى أصغر أس.
مبرهنة
م.م.أ لعددين صحيحين طبيعيين هو جداء العوامل المشتركة وغير المشتركة بين تفكيكيهما، مرفوعة إلى أكبر أس.
مثال
لنحسب و
تطبيق
فكّك إلى جداء عوامل أولية العددين و ثم استنتج أنهما أوليان فيما بينهما.
تمرين
التمرين 11 من السلسلة.
