سلسلة تمارين: الحساب في $\mathbb{N}$

ليكن $n\in\mathbb{N}.$

ادرس زوجية الأعداد التالية:

$4n+300$ ؛ $14n+111$ ؛ $731\times 432$ ؛ $2^{n+1}+15$ ؛ $4n^{2}+8n+13$ ؛ $n(n+1)$ ؛ $n^{2}+5n+3$ ؛ $n(n+1)(n^{2}+5n+3).$

ليكن $n\in\mathbb{N}.$ نضع $a=2n+4$ و $b=6n+11.$

1. ادرس زوجية $a$ و $b.$

2. بسّط $(6n+11)(-1)^{2n+4}-(2n+4)(-1)^{6n+11}.$

3. بين أن $a^{2}+(b+1)^{2}$ مضاعف لـ $20.$

ليكن $n\in\mathbb{N}.$

نضع $a=2^{n+3}-5\times 2^{n}$ و $b=7^{n+1}\times 2^{n+3}.$

بين أن $a$ مضاعف لـ $3$ وأن $56$ يقسم $b.$

1. حدد الرقم $a$ بحيث يكون $5a74$ قابلاً للقسمة على $3.$

2. حدد الرقم $b$ بحيث يكون $815b$ قابلاً للقسمة على $2$ و $9$ معاً.

3. حدد الرقم $c$ بحيث يكون $921c$ قابلاً للقسمة على $3$ وغير قابل للقسمة على $9.$

من بين: $25422$ ؛ $101$ ؛ $70107$ ؛ $137$ ؛ $15631$، حدد الأعداد الأولية.

ليكن $n$ عدداً صحيحاً طبيعياً فردياً.

1. ادرس زوجية $n^{2}-1$ و $n^{2}+1.$

2. بين أن $8$ يقسم $n^{2}-1.$

3. استنتج أن $16$ يقسم $n^{4}-1.$

1. تحقق أنه لكل $n\in\mathbb{N}$: $n^{2}+4n+9=(n+3)(n+1)+6.$

2. حدد كل قيم $n\in\mathbb{N}$ التي من أجلها $n+3$ يقسم $n^{2}+4n+9.$

ليكن $n$ و $m$ عددين صحيحين طبيعيين.

1. بين أن $m+n$ و $m-n$ لهما نفس الزوجية.

2. حدد كل الأزواج $(m,n)$ من $\mathbb{N}^{2}$ التي تحقق $m^{2}-n^{2}=12.$

1. حدد قاسمات $22.$

2. استنتج كل $x$ و $y$ من $\mathbb{N}$ اللذين يحققان $(x+2)(y+1)=22.$

1. فكّك إلى جداء عوامل أولية: $495$ ؛ $156$ ؛ $1404$ ؛ $4056.$

2. بسّط: $\frac{1404}{4056}$ ؛ $\sqrt{1404\times 4056}$ ؛ $\frac{495}{1404}+\frac{156}{4056}.$

3. حدد: $\operatorname{pgcd}(495,156)$ ؛ $\operatorname{pgcd}(495,1404)$ ؛ $\operatorname{pgcd}(1404,4056)$ ؛ $\operatorname{ppcm}(495,156)$ ؛ $\operatorname{ppcm}(495,1404)$ ؛ $\operatorname{ppcm}(1404,4056).$

ليكن $a$ و $b$ عددين طبيعيين: $a=4680$ و $b=5940.$

1. فكّك $a$ و $b$ إلى جداء عوامل أولية.

2. استنتج تفكيك $a^{2}\times b^{3}$ إلى عوامل أولية.

3. حدد $\operatorname{pgcd}(a,b)$ و $\operatorname{ppcm}(a,b)$ ثم تحقق أن

4. أصغر $m\in\mathbb{N}$ بحيث $ma$ مربع كامل.

5. أصغر $n\in\mathbb{N}$ بحيث $nb$ مكعب لعدد طبيعي.

6. بسّط $\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt{b}}$ و $ab.$

لكل $n\in\mathbb{N}$: $x=7^{n+2}-7^{n}$ و $y=3\times 7^{n+1}+5\times 7^{n}.$

1. بين أن $x$ يقبل القسمة على $3$ وأن $y$ مضاعف لـ $13.$

2. فكّك $x$ و $y$ بدلالة $n$ إلى جداء عوامل أولية.

3. حدد $\operatorname{pgcd}(x,y)$ و $\operatorname{ppcm}(x,y)$ بدلالة $n.$

ليكن $n\in\mathbb{N}.$

1. انشر $(n+1)^{2}-n^{2}.$

2. استنتج أن كل عدد فردي هو فرق مربعين لعددين طبيعيين متتاليين.

3. تطبيق: بين أن $2017$ فرق مربعين لعددين طبيعيين متتاليين.

4. نضع $a=n^{2}+n+7.$

أ) بين أن $a$ فردي.

ب) استنتج أن $a$ فرق مربعين لعددين طبيعيين متتاليين.