Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

الدرس 03

المتتاليات العددية

تذكير بالمتتاليات الحسابية والهندسية، نهاية متتالية، معايير التقارب، ونهايات متتاليات خاصة.

سلسلة التمارين 03 — سلسلة تمارين: نهاية متتالية عددية

Ⅰ. تذكير

متتالية هندسية ومتتالية حسابية

متتالية هندسيةمتتالية حسابية
تعريفun+1=q unu_{n+1}=q\,u_{n}un+1=un+ru_{n+1}=u_{n}+r
الحد العامun=up×q(n−p)u_{n}=u_{p}\times q^{(n-p)} (p≤n)(p\le n)un=up+(n−p)ru_{n}=u_{p}+(n-p)r (p≤n)(p\le n)
مجموع حدود متتابعةSn=up+up+1+⋯+un=up×1−q(n−p+1)1−qS_{n}=u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=u_{p}\times\frac{1-q^{(n-p+1)}}{1-q}Sn=up+up+1+⋯+un=(n−p+12)(up+un)S_{n}=u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=\left(\frac{n-p+1}{2}\right)(u_{p}+u_{n})
a\mathbf{a} و b\mathbf{b} و c\mathbf{c} ثلاثة حدود متتابعةb2=acb^{2}=ac2b=a+c2b=a+c
الخاصيةالمعنى
(un)n∈I(u_{n})_{n\in I} محدودة من الأعلى بـ MM(∀n∈I) un≤M(\forall n\in I)\ u_{n}\le M
(un)n∈I(u_{n})_{n\in I} محدودة من الأسفل بـ mm(∀n∈I) un≥m(\forall n\in I)\ u_{n}\ge m
(un)n∈I(u_{n})_{n\in I} محدودة بـ MM و mm(∀n∈I) m≤un≤M(\forall n\in I)\ m\le u_{n}\le M
(un)n∈I(u_{n})_{n\in I} تزايدية(∀n∈I) un+1≥un(\forall n\in I)\ u_{n+1}\ge u_{n}
(un)n∈I(u_{n})_{n\in I} تناقصية(∀n∈I) un+1≤un(\forall n\in I)\ u_{n+1}\le u_{n}
(un)n∈I(u_{n})_{n\in I} ثابتة(∀n∈I) un+1=un(\forall n\in I)\ u_{n+1}=u_{n}

Ⅱ. نهاية متتالية

  1. تعريف

تعريف

لتكن (un)(u_{n}) متتالية عددية و ℓ\ell عدداً حقيقياً. نقول إن ℓ\ell هي نهاية (un)(u_{n})، ونكتب lim⁡n→+∞un=ℓ\lim_{n\to+\infty}u_{n}=\ell أو ببساطة lim⁡un=ℓ\lim u_{n}=\ell، إذا احتوى كل مجال مفتوح مركزي في ℓ\ell جميع حدود المتتالية (un)(u_{n}) ابتداءً من رتبة معيّنة.

مثال

نعتبر المتتالية المعرّفة بـ un=2+1n2u_{n}=2+\frac{1}{n^{2}} لكل n∈N∗.n\in\mathbb{N}^{*}.

u1u_{1}u5u_{5}u8u_{8}u10u_{10}u100u_{100}u1000u_{1000}
332,042{,}04≈2,016\approx 2{,}0162,0012{,}0012,000012{,}000012,00000012{,}0000001

نلاحظ أنه كلما أخذ الدليل nn قيماً أكبر فأكبر، تقترب حدود المتتالية أكثر فأكثر من 2.2. يمكن القول إن lim⁡n→+∞un=2.\lim_{n\to+\infty}u_{n}=2.

  1. نهاية متتاليات مرجعية

خاصية

ليكن pp عنصراً من N\mathbb{N} بحيث p≥3p\ge 3، لدينا:

  • lim⁡n→+∞n=+∞\lim_{n\to+\infty}n=+\infty
  • lim⁡n→+∞n2=+∞\lim_{n\to+\infty}n^{2}=+\infty
  • lim⁡n→+∞np=+∞\lim_{n\to+\infty}n^{p}=+\infty
  • lim⁡n→+∞n=+∞\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty
  • lim⁡n→+∞1n=0\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0
  • lim⁡n→+∞1n2=0\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{2}}=0
  • lim⁡n→+∞1np=0\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{p}}=0
  • lim⁡n→+∞1n=0.\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.

أمثلة

لدينا

lim⁡n→+∞n+1n=lim⁡n→+∞nn+1n=lim⁡n→+∞n+1n.\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{\sqrt{n}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}.

بما أن lim⁡n→+∞n=+∞\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty و lim⁡n→+∞1n=0\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0، فإن lim⁡n→+∞n+1n=+∞.\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{\sqrt{n}}=+\infty.

لدينا

lim⁡n→+∞−2n4+3n2+1=lim⁡n→+∞n4(−2+3n2+1n4).\lim_{n\to+\infty}-2n^{4}+3n^{2}+1=\lim_{n\to+\infty}n^{4}\left(-2+\frac{3}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}\right).

بما أن lim⁡n→+∞3n2=0\lim_{n\to+\infty}\frac{3}{n^{2}}=0 و lim⁡n→+∞1n4=0\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{4}}=0، فإن

lim⁡n→+∞−2+3n2+1n4=−2.\lim_{n\to+\infty}-2+\frac{3}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}=-2.

وبما أن lim⁡n→+∞n4=+∞\lim_{n\to+\infty}n^{4}=+\infty، فإن lim⁡n→+∞−2n4+3n2+1=−∞.\lim_{n\to+\infty}-2n^{4}+3n^{2}+1=-\infty.

تطبيق ①

احسب نهاية المتتالية (un)(u_{n}) في الحالات التالية:

أ. un=n2+n+13n3+n−6.u_{n}=\frac{n^{2}+n+1}{3n^{3}+n-6}.

ب. un=(n+2)nn+4.u_{n}=\frac{(n+2)\sqrt{n}}{n+4}.

ج. un=n+1n+3.u_{n}=\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}+3}.

د. un=n+1−n.u_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.

هـ. un=2n−n.u_{n}=2n-\sqrt{n}.

تعريف

لتكن (un)(u_{n}) متتالية عددية.

  • نقول إن (un)(u_{n}) متقاربة إذا قبلت نهاية منتهية (أي إذا وُجد عدد حقيقي ℓ\ell بحيث lim⁡n→+∞un=ℓ\lim_{n\to+\infty}u_{n}=\ell).
  • نقول إن (un)(u_{n}) متباعدة إذا لم تكن متقاربة (أي إذا كان lim⁡n→+∞un=±∞\lim_{n\to+\infty}u_{n}=\pm\infty أو لم تكن لها نهاية).

أمثلة

المتتالية (un)(u_{n}) بحيث

(∀n∈N) un=nn+1(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n}=\frac{n}{\sqrt{n}+1}

متباعدة لأن lim⁡n→+∞un=+∞.\lim_{n\to+\infty}u_{n}=+\infty.

المتتالية (vn)(v_{n}) بحيث

(∀n∈N):vn=n+1−n(\forall n\in\mathbb{N}):v_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}

متقاربة لأن lim⁡n→+∞vn=0.\lim_{n\to+\infty}v_{n}=0.

المتتالية (wn)(w_{n}) بحيث (∀n∈N):wn=(−1)n(\forall n\in\mathbb{N}):w_{n}=(-1)^{n} متباعدة لأنها ليس لها نهاية.

  1. نهاية المتتالية الهندسية (qn)(q^{n}) حيث q∈R∗q\in\mathbb{R}^{*}

خاصية

ليكن aa عدداً حقيقياً، لدينا:

  • إذا كان a>1a>1 فإن lim⁡n→+∞an=+∞.\lim_{n\to+\infty}a^{n}=+\infty.
  • إذا كان −1<a<1-1<a<1 فإن lim⁡n→+∞an=0.\lim_{n\to+\infty}a^{n}=0.
  • إذا كان a≤−1a\le -1 فإن المتتالية (qn)(q^{n}) ليس لها نهاية.
  • إذا كان a=1a=1 فإن lim⁡n→+∞an=1.\lim_{n\to+\infty}a^{n}=1.

أمثلة

lim⁡n→+∞(5)n=+∞\lim_{n\to+\infty}(5)^{n}=+\infty لأن 5>1.5>1.

lim⁡n→+∞(−0,5)n=0\lim_{n\to+\infty}(-0{,}5)^{n}=0 لأن −1<−0,5<1.-1<-0{,}5<1.

lim⁡n→+∞(78)n=0\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{7}{8}\right)^{n}=0

لأن −1<78<1.-1<\frac{7}{8}<1.

المتتالية (−3)n(-3)^{n} ليس لها نهاية.

تطبيق ②

احسب نهاية المتتالية (un)(u_{n}) في الحالات التالية:

أ.

un=(38)n+(54)n.u_{n}=\left(\frac{3}{8}\right)^{n}+\left(\frac{5}{4}\right)^{n}.

ب. un=5n(−4)n.u_{n}=\frac{5^{n}}{(-4)^{n}}.

ج. un=2n−3n.u_{n}=2^{n}-3^{n}.

د. un=4n−3n4n+3n.u_{n}=\frac{4^{n}-3^{n}}{4^{n}+3^{n}}.

تمرين ① — الاستدراك 2011

نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ u0=1u_{0}=1 و

(∀n∈N) un+1=6un1+15un.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=\frac{6u_{n}}{1+15u_{n}}.
  1. أ. تحقّق من أن
(∀n∈N):un+1−13=un−1315un+1.(\forall n\in\mathbb{N}):u_{n+1}-\frac{1}{3}=\frac{u_{n}-\frac{1}{3}}{15u_{n}+1}.

ب. بيّن بالاستقراء أن (∀n∈N):un>13.(\forall n\in\mathbb{N}):u_{n}>\frac{1}{3}.

  1. نعتبر المتتالية العددية (vn)(v_{n}) المعرّفة بـ
(∀n∈N):vn=1−13un.(\forall n\in\mathbb{N}):v_{n}=1-\frac{1}{3u_{n}}.

أ. بيّن أن (vn)(v_{n}) متتالية هندسية أساسها 16.\frac{1}{6}.

ب. عبّر عن vnv_{n} بدلالة n.n.

  1. بيّن أن
(∀n∈N):un=13−2(16)n(\forall n\in\mathbb{N}):u_{n}=\frac{1}{3-2\left(\frac{1}{6}\right)^{n}}

ثم استنتج lim⁡n→+∞un.\lim_{n\to+\infty}u_{n}.

  1. نهاية المتتالية (nα)(n^{\alpha}) حيث α∈Q∗\alpha\in\mathbb{Q}^{*}

خاصية

ليكن α∈Q∗\alpha\in\mathbb{Q}^{*}، لدينا:

  • إذا كان α>0\alpha>0 فإن lim⁡n→+∞nα=+∞.\lim_{n\to+\infty}n^{\alpha}=+\infty.
  • إذا كان α<0\alpha<0 فإن lim⁡n→+∞nα=0.\lim_{n\to+\infty}n^{\alpha}=0.

أمثلة

lim⁡n→+∞n53=+∞\lim_{n\to+\infty}n^{\frac{5}{3}}=+\infty لأن 53>0.\frac{5}{3}>0.

lim⁡n→+∞n−43=0\lim_{n\to+\infty}n^{-\frac{4}{3}}=0 لأن −43<0.-\frac{4}{3}<0.

تطبيق ③

احسب نهاية المتتالية (un)(u_{n}) في الحالات التالية:

① un=n52−n43.u_{n}=n^{\frac{5}{2}}-n^{\frac{4}{3}}.

② un=n−n4.u_{n}=\sqrt{n}-\sqrt[4]{n}.

  1. النهاية والترتيب

خاصية

لتكن (un)(u_{n}) و (vn)(v_{n}) متتاليتين عدديتين. إذا كان

{un>vnlim⁡n→+∞un=ℓ و lim⁡n→+∞vn=ℓ′\begin{cases}u_{n}>v_{n}\lim_{n\to+\infty}u_{n}=\ell\ \text{و}\ \lim_{n\to+\infty}v_{n}=\ell'\end{cases}

، فإن ℓ≥ℓ′.\ell\ge\ell'.

مثال

لتكن (un)(u_{n}) و (vn)(v_{n}) متتاليتين عدديتين معرّفتين بـ un=2+1nu_{n}=2+\frac{1}{n} و vn=2−1n.v_{n}=2-\frac{1}{n}. لدينا لكل n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}: un>vnu_{n}>v_{n} و lim⁡n→+∞un=2\lim_{n\to+\infty}u_{n}=2 و lim⁡n→+∞vn=2.\lim_{n\to+\infty}v_{n}=2.

Ⅲ. معايير التقارب

خاصية

  • كل متتالية تزايدية ومحدودة من الأعلى متقاربة.
  • كل متتالية تناقصية ومحدودة من الأسفل متقاربة.

تطبيق ④

نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ:

(∀n∈N) {u0=−1un+1=12−un.(\forall n\in\mathbb{N})\ \begin{cases}u_{0}=-1\\u_{n+1}=\frac{1}{2-u_{n}}\end{cases}.
  1. بيّن، لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، أن un<1.u_{n}<1.
  1. ادرس رتابة المتتالية (un)(u_{n}) ثم استنتج أنها متقاربة.

خاصية

لتكن (un)(u_{n}) و (vn)(v_{n}) و (wn)(w_{n}) ثلاث متتاليات عددية و ℓ\ell عدداً حقيقياً. إذا كان

{vn≤un≤wnlim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞wn=ℓ\begin{cases}v_{n}\le u_{n}\le w_{n}\lim_{n\to+\infty}v_{n}=\lim_{n\to+\infty}w_{n}=\ell\end{cases}

، فإن lim⁡n→+∞un=ℓ.\lim_{n\to+\infty}u_{n}=\ell.

تطبيق ⑤

نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ: un=cos⁡(n)n2+1+2.u_{n}=\frac{\cos(n)}{n^{2}+1}+2.

  1. بيّن أن
(∀n∈N):−1n2+1+2≤un≤1n2+1+2.(\forall n\in\mathbb{N}):\frac{-1}{n^{2}+1}+2\le u_{n}\le\frac{1}{n^{2}+1}+2.
  1. استنتج نهاية (un).(u_{n}).

خاصية

لتكن (un)(u_{n}) و (vn)(v_{n}) متتاليتين عدديتين و α∈R+∗.\alpha\in\mathbb{R}_{+}^{*}.

  • إذا كان
{αun≤vnlim⁡n→+∞un=+∞\begin{cases}\alpha u_{n}\le v_{n}\lim_{n\to+\infty}u_{n}=+\infty\end{cases}

، فإن lim⁡n→+∞vn=+∞.\lim_{n\to+\infty}v_{n}=+\infty.

  • إذا كان
{vn≤αunlim⁡n→+∞un=−∞\begin{cases}v_{n}\le\alpha u_{n}\lim_{n\to+\infty}u_{n}=-\infty\end{cases}

، فإن lim⁡n→+∞vn=−∞.\lim_{n\to+\infty}v_{n}=-\infty.

تطبيق ⑥

لتكن (un)(u_{n}) و (vn)(v_{n}) متتاليتين عدديتين معرّفتين بـ un=sin⁡(n)+3nu_{n}=\sin(n)+3n و vn=cos⁡(n2+3)−5n+1.v_{n}=\cos(n^{2}+3)-5n+1.

  1. بيّن، لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، أن un≥−1+3nu_{n}\ge -1+3n وأن vn≤2−5n.v_{n}\le 2-5n.
  1. استنتج نهاية (un)(u_{n}) و (vn).(v_{n}).

خاصية

لتكن (un)(u_{n}) و (vn)(v_{n}) متتاليتين عدديتين و ℓ\ell عدداً حقيقياً و α∈R+∗.\alpha\in\mathbb{R}_{+}^{*}. إذا كان

{∣un−ℓ∣≤αvnlim⁡n→+∞vn=0\begin{cases}\lvert u_{n}-\ell\rvert\le\alpha v_{n}\lim_{n\to+\infty}v_{n}=0\end{cases}

، فإن lim⁡n→+∞un=ℓ.\lim_{n\to+\infty}u_{n}=\ell.

تطبيق ⑦

نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ: un=(−1)nn+1.u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}+1. بيّن أن lim⁡n→+∞un=1.\lim_{n\to+\infty}u_{n}=1.

تمرين ②

لتكن (un)(u_{n}) المتتالية العددية المعرّفة بـ u0=13u_{0}=\frac{1}{3} و

(∀n∈N) un+1=2unun+1.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=\frac{2u_{n}}{u_{n}+1}.
  1. بيّن أن (∀n∈N):0<un<1.(\forall n\in\mathbb{N}):0<u_{n}<1.
  1. أ. تحقّق، لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، من أن un+1−un=−un(un−1)un+1.u_{n+1}-u_{n}=-\frac{u_{n}(u_{n}-1)}{u_{n}+1}.

ب. ادرس رتابة (un).(u_{n}).

ج. استنتج، لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، أن un≥13u_{n}\ge\frac{1}{3} وأن المتتالية (un)(u_{n}) متقاربة.

  1. أ. بيّن أن
(∀n∈N); 1−un+1≤34(1−un).(\forall n\in\mathbb{N});\ 1-u_{n+1}\le\frac{3}{4}(1-u_{n}).

ب. استنتج أن

(∀n∈N); 1−un≤(34)n×23.(\forall n\in\mathbb{N});\ 1-u_{n}\le\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\times\frac{2}{3}.

ج. حدّد lim⁡n→+∞un.\lim_{n\to+\infty}u_{n}.

  1. لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، نضع: vn=un−4un−2.v_{n}=\frac{u_{n}-4}{u_{n}-2}.

أ. بيّن أن المتتالية (vn)(v_{n}) هندسية وحدّد أساسها وحدّها الأول.

ب. عبّر عن vnv_{n} و unu_{n} بدلالة n.n.

ج. حدّد من جديد lim⁡n→+∞un.\lim_{n\to+\infty}u_{n}.

Ⅳ. نهاية متتاليات خاصة

  1. المتتالية vn=f(un)v_{n}=f(u_{n})

خاصية

لتكن ff دالة عددية متصلة في ℓ\ell و (un)(u_{n}) متتالية متقاربة ونهايتها ℓ.\ell. المتتالية (vn)(v_{n}) بحيث vn=f(un)v_{n}=f(u_{n}) متقاربة ونهايتها f(ℓ).f(\ell).

مثال

لنحدّد نهاية المتتالية (vn)(v_{n}) المعرّفة بـ:

(∀n∈N):vn=cos⁡(πn+23n−1).(\forall n\in\mathbb{N}):v_{n}=\cos\left(\frac{\pi n+2}{3n-1}\right).

تطبيق ①

احسب نهايتي المتتاليتين (un)(u_{n}) و (vn)(v_{n}) التاليتين:

un=sin⁡(1−n2πn+6n2)u_{n}=\sin\left(\frac{1-n^{2}\pi}{n+6n^{2}}\right)

و vn=16n2−3n+12n2+1.v_{n}=\sqrt{\frac{16n^{2}-3n+1}{2n^{2}+1}}.

  1. المتتالية un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_{n})

خاصية

لتكن ff دالة عددية و II مجالاً من DfD_{f} ولتكن (un)n(u_{n})_{n} متتالية بحيث:

{u0∈Iun+1=f(un) ; n∈N.\begin{cases}u_{0}\in I\\u_{n+1}=f(u_{n})\ ;\ n\in\mathbb{N}\end{cases}.

إذا تحقّقت الشروط التالية:

  • ff متصلة على I.I.
  • f(I)⊂I.f(I)\subset I.
  • المتتالية (un)n(u_{n})_{n} تتقارب نحو ℓ.\ell. فإن f(ℓ)=ℓ.f(\ell)=\ell.

تطبيق ②

لتكن ff الدالة المعرّفة على [0;+∞[[0{;}+\infty[ بـ: f(x)=x−2x+2.f(x)=x-2\sqrt{x}+2.

  1. بيّن أن ff تناقصية على [0;1][0{;}1] وتزايدية على [1;+∞[.[1{;}+\infty[.
  1. بيّن، لكل x∈[1;+∞[x\in[1{;}+\infty[، أن: f(x)≤x.f(x)\le x.
  1. نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ u0=2u_{0}=2 و un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_{n}) لكل n∈N.n\in\mathbb{N}.

أ. بيّن بالاستقراء أن: (∀n∈N) ; 1≤un≤2.(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ 1\le u_{n}\le 2.

ب. بيّن أن المتتالية (un)(u_{n}) تناقصية.

ج. استنتج أن المتتالية (un)(u_{n}) متقاربة ثم حدّد نهايتها.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ