Ximath
تسجيل الدخول
سلاسل هذا المستوى

الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

السلسلة 03

سلسلة تمارين: نهاية متتالية عددية

أنشطة وتطبيقات وتمارين حول نهاية متتالية، معايير التقارب، والمتتاليات المعرّفة بـ un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_{n}).

الدرس 03 — المتتاليات العددية

جزء التطبيقات

نشاط ①

نعتبر المتتالية العددية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ

{u1=0un+1=2510−un ; n∈N∗.\begin{cases}u_{1}=0\\u_{n+1}=\frac{25}{10-u_{n}}\ ;\ n\in\mathbb{N}^{*}\end{cases}.

احسب u1u_{1} و u2.u_{2}.

تحقّق من أن 5−un+1=5(5−un)5+(5−un)5-u_{n+1}=\frac{5(5-u_{n})}{5+(5-u_{n})} لكل n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*} وبيّن بالاستقراء أن 5−un>05-u_{n}>0 لكل n∈N∗.n\in\mathbb{N}^{*}.

نعتبر (vn)(v_{n}) المتتالية العددية المعرّفة بـ vn=55−un.v_{n}=\frac{5}{5-u_{n}}.

أ. بيّن أن (vn)(v_{n}) متتالية حسابية محدّداً أساسها.

ب. حدّد vnv_{n} بدلالة n.n.

ج. تحقّق من أن un=5vn−5vnu_{n}=\frac{5v_{n}-5}{v_{n}} لكل n∈N∗.n\in\mathbb{N}^{*}.

د. استنتج عبارة unu_{n} بدلالة n.n.

هـ. احسب المجموع SnS_{n} بدلالة nn حيث: Sn=v0+v1+v2+⋯+vn.S_{n}=v_{0}+v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}.

نشاط ②

نعتبر المتتالية العددية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ

{u0=0un+1=2un+3un+4 ; n∈N.\begin{cases}u_{0}=0\\u_{n+1}=\frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}\ ;\ n\in\mathbb{N}\end{cases}.
  1. احسب u1u_{1} و u2.u_{2}.
  1. بيّن بالاستقراء أن (∀n∈N∗):0<un<1.(\forall n\in\mathbb{N}^{*}):0<u_{n}<1.
  1. بيّن أن (un)(u_{n}) تزايدية.
  1. نعتبر (vn)(v_{n}) المتتالية العددية المعرّفة بـ vn=un−1un+3.v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+3}.

أ. بيّن أن (vn)(v_{n}) متتالية هندسية محدّداً أساسها.

ب. حدّد vnv_{n} بدلالة nn واستنتج عبارة unu_{n} بدلالة n.n.

ج. احسب المجموع SnS_{n} بدلالة nn حيث: Sn=v0+v1+v2+⋯+vn+5.S_{n}=v_{0}+v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n+5}.

تطبيق ①

احسب نهاية المتتالية (un)(u_{n}) في الحالات التالية:

أ. un=n2+n+13n3+n−6.u_{n}=\frac{n^{2}+n+1}{3n^{3}+n-6}.

ب. un=(n+2)nn+4.u_{n}=\frac{(n+2)\sqrt{n}}{n+4}.

ج. un=n+1n+3.u_{n}=\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}+3}.

د. un=n+1−n.u_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.

هـ. un=2n−n.u_{n}=2n-\sqrt{n}.

تطبيق ②

احسب نهاية المتتالية (un)(u_{n}) في الحالات التالية:

أ.

un=(38)n+(54)n.u_{n}=\left(\frac{3}{8}\right)^{n}+\left(\frac{5}{4}\right)^{n}.

ب. un=5n(−4)n.u_{n}=\frac{5^{n}}{(-4)^{n}}.

ج. un=2n−3n.u_{n}=2^{n}-3^{n}.

د. un=4n−3n4n+3n.u_{n}=\frac{4^{n}-3^{n}}{4^{n}+3^{n}}.

تطبيق ③

احسب نهاية المتتالية (un)(u_{n}) في الحالات التالية:

① un=n52−n43.u_{n}=n^{\frac{5}{2}}-n^{\frac{4}{3}}.

② un=n−n4.u_{n}=\sqrt{n}-\sqrt[4]{n}.

تطبيق ④

نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ:

{u0=−1un+1=12−un ; n∈N.\begin{cases}u_{0}=-1\\u_{n+1}=\frac{1}{2-u_{n}}\ ;\ n\in\mathbb{N}\end{cases}.
  1. بيّن، لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، أن un<1.u_{n}<1.
  1. ادرس رتابة المتتالية (un)(u_{n}) ثم استنتج أنها متقاربة.

تطبيق ⑤

نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ: un=cos⁡(n)n2+1+2.u_{n}=\frac{\cos(n)}{n^{2}+1}+2.

  1. بيّن أن
(∀n∈N):−1n2+1+2≤un≤1n2+1+2.(\forall n\in\mathbb{N}):\frac{-1}{n^{2}+1}+2\le u_{n}\le\frac{1}{n^{2}+1}+2.
  1. استنتج نهاية (un).(u_{n}).

تطبيق ⑥

لتكن (un)(u_{n}) و (vn)(v_{n}) متتاليتين عدديتين معرّفتين بـ un=sin⁡(n)+3nu_{n}=\sin(n)+3n و vn=cos⁡(n2+3)−5n+1.v_{n}=\cos(n^{2}+3)-5n+1.

  1. بيّن، لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، أن un≥−1+3nu_{n}\ge -1+3n وأن vn≤2−5n.v_{n}\le 2-5n.
  1. استنتج نهاية (un)(u_{n}) و (vn).(v_{n}).

تطبيق ⑦

نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ: un=(−1)nn+1.u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}+1. بيّن أن lim⁡n→+∞un=1.\lim_{n\to+\infty}u_{n}=1.

تطبيق ⑧

احسب نهايتي المتتاليتين (un)(u_{n}) و (vn)(v_{n}) التاليتين:

un=sin⁡(1−n2πn+6n2)u_{n}=\sin\left(\frac{1-n^{2}\pi}{n+6n^{2}}\right)

و vn=16n2−3n+12n2+1.v_{n}=\sqrt{\frac{16n^{2}-3n+1}{2n^{2}+1}}.

تطبيق ⑨

لتكن ff الدالة المعرّفة على [0;+∞[[0{;}+\infty[ بـ: f(x)=x−2x+2.f(x)=x-2\sqrt{x}+2.

  1. بيّن أن ff تناقصية على [0;1][0{;}1] وتزايدية على [1;+∞[.[1{;}+\infty[.
  1. بيّن، لكل x∈[1;+∞[x\in[1{;}+\infty[، أن: f(x)≤x.f(x)\le x.
  1. نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ u0=2u_{0}=2 و un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_{n}) لكل n∈N.n\in\mathbb{N}.

أ. بيّن بالاستقراء أن: (∀n∈N) ; 1≤un≤2.(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ 1\le u_{n}\le 2.

ب. بيّن أن المتتالية (un)(u_{n}) تناقصية.

ج. استنتج أن المتتالية (un)(u_{n}) متقاربة ثم حدّد نهايتها.

جزء التمارين

تمرين ①

لتكن (un)(u_{n}) المتتالية العددية المعرّفة بـ: u0=54u_{0}=\frac{5}{4} و

(∀n∈N) un+1=14un+32.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=\frac{1}{4}u_{n}+\frac{3}{2}.
  1. أ. بيّن أن: (∀n∈N) un<2.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n}<2.

ب. ادرس رتابة المتتالية (un).(u_{n}). هل المتتالية (un)(u_{n}) متقاربة؟ علّل.

  1. لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، نضع: vn=un−2.v_{n}=u_{n}-2.

أ. بيّن أن المتتالية (vn)(v_{n}) هندسية.

ب. استنتج أن:

(∀n∈N) un=2−34(14)n(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n}=2-\frac{3}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}

ثم حدّد نهاية المتتالية (un).(u_{n}).

  1. لكل n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}، نضع: Sn=u0+u1+⋯+un−1.S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n-1}.

أ. بيّن أن:

(∀n∈N∗) Sn=2n−1+(14)n.(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\ S_{n}=2n-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{n}.

ب. استنتج lim⁡n→+∞Sn.\lim_{n\to+\infty}S_{n}.

تمرين ② — العادية 2016

نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ u0=2u_{0}=2 و

(∀n∈N) un+1=un+35−un.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=\frac{u_{n}+3}{5-u_{n}}.
  1. أ. تحقّق من أن:
(∀n∈N) un+1−3=4(un−3)2+(3−un).(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-3=\frac{4(u_{n}-3)}{2+(3-u_{n})}.

ب. بيّن بالاستقراء أن: (∀n∈N) un<3.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n}<3.

  1. لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، نضع: vn=un−13−un.v_{n}=\frac{u_{n}-1}{3-u_{n}}.

أ. بيّن أن المتتالية (vn)(v_{n}) هندسية أساسها 12\frac{1}{2} ثم استنتج أن:

(∀n∈N); vn=(12)n.(\forall n\in\mathbb{N});\ v_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

ب. بيّن أن:

(∀n∈N); un=1+3vn1+vn(\forall n\in\mathbb{N});\ u_{n}=\frac{1+3v_{n}}{1+v_{n}}

ثم اكتب unu_{n} بدلالة n.n.

ج. حدّد lim⁡n→+∞un.\lim_{n\to+\infty}u_{n}.

تمرين ③ — الاستدراك 2011

نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ u0=1u_{0}=1 و

(∀n∈N) un+1=6un1+15un.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=\frac{6u_{n}}{1+15u_{n}}.
  1. أ. تحقّق من أن
(∀n∈N):un+1−13=un−1315un+1.(\forall n\in\mathbb{N}):u_{n+1}-\frac{1}{3}=\frac{u_{n}-\frac{1}{3}}{15u_{n}+1}.

ب. بيّن بالاستقراء أن (∀n∈N):un>13.(\forall n\in\mathbb{N}):u_{n}>\frac{1}{3}.

  1. نعتبر المتتالية العددية (vn)(v_{n}) المعرّفة بـ
(∀n∈N):vn=1−13un.(\forall n\in\mathbb{N}):v_{n}=1-\frac{1}{3u_{n}}.

أ. بيّن أن (vn)(v_{n}) متتالية هندسية أساسها 16.\frac{1}{6}.

ب. عبّر عن vnv_{n} بدلالة n.n.

  1. بيّن أن
(∀n∈N):un=13−2(16)n(\forall n\in\mathbb{N}):u_{n}=\frac{1}{3-2\left(\frac{1}{6}\right)^{n}}

ثم استنتج lim⁡n→+∞un.\lim_{n\to+\infty}u_{n}.

تمرين ④ — العادية 2020

نعتبر المتتالية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ: u0=32u_{0}=\frac{3}{2} و

(∀n∈N) un+1=2un2un+5.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=\frac{2u_{n}}{2u_{n}+5}.
  1. احسب u1.u_{1}.
  1. بيّن بالاستقراء أن: (∀n∈N) un>0.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n}>0.
  1. أ. بيّن أن: (∀n∈N) 0<un+1≤25un(\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_{n+1}\le\frac{2}{5}u_{n} ثم استنتج أن:
(∀n∈N) 0<un≤32(25)n.(\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_{n}\le\frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}.

ب. احسب lim⁡n→+∞un.\lim_{n\to+\infty}u_{n}.

  1. نعتبر المتتالية العددية (vn)(v_{n}) المعرّفة بـ:
(∀n∈N):vn=4un2un+3.(\forall n\in\mathbb{N}):v_{n}=\frac{4u_{n}}{2u_{n}+3}.

أ. بيّن أن (vn)(v_{n}) متتالية هندسية أساسها 25.\frac{2}{5}.

ب. عبّر عن vnv_{n} بدلالة nn ثم استنتج unu_{n} بدلالة nn، لكل n∈N.n\in\mathbb{N}.

تمرين ⑤

لتكن (un)(u_{n}) المتتالية العددية المعرّفة بـ u0=13u_{0}=\frac{1}{3} و

(∀n∈N) un+1=2unun+1.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=\frac{2u_{n}}{u_{n}+1}.
  1. بيّن أن (∀n∈N):0<un<1.(\forall n\in\mathbb{N}):0<u_{n}<1.
  1. أ. ادرس رتابة (un).(u_{n}).

ب. استنتج، لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، أن un≥13u_{n}\ge\frac{1}{3} وأن المتتالية (un)(u_{n}) متقاربة.

  1. أ. بيّن أن
(∀n∈N); 1−un+1≤34(1−un).(\forall n\in\mathbb{N});\ 1-u_{n+1}\le\frac{3}{4}(1-u_{n}).

ب. استنتج أن

(∀n∈N); 1−un≤(34)n×23.(\forall n\in\mathbb{N});\ 1-u_{n}\le\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\times\frac{2}{3}.

ج. حدّد lim⁡n→+∞un.\lim_{n\to+\infty}u_{n}.

  1. لكل n∈Nn\in\mathbb{N}، نضع: vn=un−4un−2.v_{n}=\frac{u_{n}-4}{u_{n}-2}.

أ. بيّن أن المتتالية (vn)(v_{n}) هندسية وحدّد أساسها وحدّها الأول.

ب. عبّر عن vnv_{n} و unu_{n} بدلالة n.n.

ج. حدّد من جديد lim⁡n→+∞un.\lim_{n\to+\infty}u_{n}.

تمرين ⑥

لتكن ff الدالة المعرّفة على [0;+∞[[0{;}+\infty[ بـ f(x)=x1+x2.f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.

  1. أ. بيّن أن: (∀x∈R+):f(x)≤x.(\forall x\in\mathbb{R}^{+}):f(x)\le x.

ب. بيّن أن ff تزايدية قطعاً على R+\mathbb{R}^{+} واستنتج أن f(R+)=[0;1[.f(\mathbb{R}^{+})=[0{;}1[.

  1. نعتبر المتتالية العددية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ: u0=12u_{0}=\frac{1}{2} و un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_{n}) لكل n∈N.n\in\mathbb{N}.

أ. بيّن بالاستقراء أن: (∀n∈N) ; 2<un<4.(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ 2<u_{n}<4.

ب. بيّن أن المتتالية (un)(u_{n}) تناقصية.

ج. استنتج أن المتتالية (un)(u_{n}) متقاربة ثم حدّد نهايتها.

تمرين ⑦

لتكن ff الدالة العددية المعرّفة بـ f(x)=xx−1.f(x)=\frac{x}{\sqrt{x}-1}.

  1. حدّد Df.D_{f}.
  1. بيّن أن لكل x∈Dfx\in D_{f}: f′(x)=x−22(x−1)2.f'(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{2(\sqrt{x}-1)^{2}}.
  1. أنشئ جدول تغيرات الدالة f.f.
  1. أ. بيّن أن لكل x∈Dfx\in D_{f}: f(x)−x=x(4−x)(x−1)(x+2).f(x)-x=\frac{x(4-x)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}.

ب. استنتج أن: (∀x∈[4;+∞[); f(x)≤x.(\forall x\in[4{;}+\infty[);\ f(x)\le x.

  1. نعتبر المتتالية العددية (un)(u_{n}) المعرّفة بـ: u0=9u_{0}=9 و un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_{n}) لكل n∈N.n\in\mathbb{N}.

أ. بيّن أن: (∀n∈N) un>4.(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n}>4.

ب. ادرس رتابة المتتالية (un).(u_{n}).

ج. استنتج أن المتتالية (un)(u_{n}) متقاربة وحدّد نهايتها.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ