الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

الدرس 11

العدّ والاحتمالات

مبدأ العدّ، الترتيبات والتوافقات، الاحتمال، الاحتمال الشرطي، والمتغيرات العشوائية والقانون الحداني.

سلسلة التمارين 11 — سلسلة تطبيقات: العدّ والاحتمالات

Ⅰ. العدّ

المبدأ العام للعدّ

شجرة مسارات الجسور — كل مسار = اختيار جسر في كل وادٍ: $2\times3\times2=12$ .

خاصية — مبدأ العدّ

إذا تطلبت تجربة $p$ اختيارات، وكان الاختيار الأول ممكناً بـ $n_{1}$ طريقة مختلفة والثاني بـ $n_{2}$ طريقة مختلفة … والاختيار رقم $p$ ممكناً بـ $n_{p}$ طريقة مختلفة، فإن عدد الطرائق التي تُنجز بها كل هذه الاختيارات هو $n=n_{1}n_{2}\cdots n_{p}.$

تطبيق ① — رموز وملابس ووجبة

نعتبر الأرقام التالية: $1{;}3{;}4{;}5{;}7$ و $8.$

حدّد عدد الرموز من $3$ أرقام متميزة مثنى مثنى يمكن تكوينها انطلاقاً من الأرقام السابقة.
حدّد عدد الرموز الزوجية من $4$ أرقام يمكن تكوينها انطلاقاً من الأرقام السابقة.
حدّد عدد الرموز الزوجية من $3$ أرقام متميزة مثنى مثنى يمكن تكوينها انطلاقاً من الأرقام السابقة.

شخص يملك ثلاث قمصان وربطي عنق وثلاثة سراويل. حدّد عدد الأزياء التي يمكن لهذا الشخص ارتداؤها. (كل زي يتكوّن من قميص وربطة عنق وسروال.)

في مطعم شركة، الوجبة تتكوّن من طبق وتحلية. القائمة تقترح طبقين وثلاث تحليات. بكم طريقة يمكن تركيب وجبة؟

الترتيبات والتبديلات

تمرين — سحب متتالٍ (كرات سوداء وبيضاء)

صندوق يحتوي خمس كرات سوداء و $12$ كرة بيضاء غير مميزة باللمس. نسحب على التوالي وبدون إرجاع (دون إعادة الكرة بعد سحبها إلى الصندوق) كرتين من الصندوق.

أنشئ شجرة الاختيارات.

ما عدد السحوبات التي تتضمن كرتين من نفس اللون؟

ما عدد السحوبات التي تتضمن كرتين بلونين مختلفين؟

أعد الأسئلة السابقة نفسها في حالة السحب المتتالي مع الإرجاع.

تعريف — ترتيب وتبديلة

كل ترتيب لـ $p$ عناصر من بين $n$ عناصر (بدون إمكانية تكرار نفس العنصر) يُسمّى ترتيباً لـ $p$ من بين $n$ عناصر، ويُرمز لعدد الترتيبات لـ $p$ عناصر من بين $n$ بـ $A_{n}^{p}$ و $A_{n}^{p}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1).$
كل ترتيب لـ $n$ عناصر من بين $n$ عناصر يُسمّى تبديلة. يُرمز لعدد تبديلات $n$ بـ $n!.$ ولدينا:

n!=A_{n}^{n}=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times 2\times 1.

اصطلاحاً: $A_{n}^{0}=1$ و $0!=1.$ $n!$ تُقرأ «عاملي $n$ ». الترتيب مهم في كل ترتيب.

ترتيبات مع تكرار

لكل عددين صحيحين $n$ و $p$ بحيث $1\le p\le n$ ، عدد الترتيبات مع التكرار لـ $p$ عناصر من بين $n$ هو $n^{p}.$

تطبيق ② — ترتيبات وتبديلات

احسب الأعداد $A_{5}^{3}$ و $A_{9}^{4}$ و $A_{7}^{1}$ و $5!.$

قارن $\frac{7!}{(7-5)!}$ و $A_{7}^{5}.$

نريد ترتيب ثلاث مزهريات من بين خمس مرقمة $1{;}2{;}3{;}4$ و $5$ في خزانة تحتوي ثلاثة أدراج مرقمة $A$ و $B$ و $C.$ 1) كم ترتيباً مختلفاً يمكن إنجازه؟ 2) كم ترتيباً تكون فيه المزهيرية $1$ موضوعة في الدرج $A؟$ 3) كم ترتيباً يتم في أدراجين فقط؟ 4) كم ترتيباً مختلفاً يمكن إنجازه إذا توفر خمسة أدراج $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E؟$

نريد تكوين كلمات من ثلاث حروف متميزة، بالحروف $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E$ و $F.$ حدّد عدد الكلمات الممكنة.

موقف سيارات يحتوي سبع أماكن حرة مرقمة من $1$ إلى $7.$ بكم طريقة يمكن ركن: 1) سيارة واحدة؟ 2) ثلاث سيارات؟ 3) سبع سيارات؟

بكم طريقة يمكن إجلاس ستة أشخاص على طاولة ذات اثني عشر كرسياً؟ 2) بكم طريقة يمكن إجلاس اثني عشر شخصاً على طاولة ذات اثني عشر كرسياً؟

التوافقات

تعريف — توافق

ليكن $n\in\mathbb{N}$ و $E$ مجموعة منتهية من $n$ عنصراً و $p$ عدداً صحيحاً يحقق $1\le p\le n.$ نسمي توافقاً لـ $p$ عناصر من بين $n$ عناصر $E$ كل جزء من $E$ يضم $p$ عنصراً. عدد التوافقات لـ $p$ عناصر من بين $n$ يساوي $C_{n}^{p}$ ولدينا:

C_{n}^{p}=\frac{A_{n}^{p}}{p!}=\frac{n!}{p!(n-p)!}.

$C_{n}^{0}=1.$
$C_{n}^{p}=C_{n}^{n-p}$ ، و $C_{n}^{1}=n$ و $C_{n}^{n}=1.$
$C_{n}^{p}=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^{p}.$ $C_{n}^{p}$ يمثل عدد طرائق اختيار $p$ أشياء من بين $n$ (الترتيب غير مهم ولا تكرار).

ملخص أنواع السحب — سحب متزامن / متتالٍ بدون إرجاع / متتالٍ مع إرجاع.

تبديلات حسب الأنواع

إذا كان $p$ عدد الكرات المسحوبة (سحب متتالٍ بدون إرجاع أو مع إرجاع) حيث $p_{1}$ عدد كرات النوع $1$ و $p_{2}$ عدد كرات النوع $2$ و $p_{3}$ عدد كرات النوع $3$ ، فإن عدد التبديلات هو $\frac{p!}{p_{1}!\,p_{2}!\,p_{3}!}.$

تطبيق ③ — توافقات وسحوبات

مجموعة تتكوّن من أربعة أشخاص $\{a{;}b{;}c{;}d\}.$ نريد تشكيل لجنة من ثلاثة أشخاص لإنجاز مهمة. 1) حدّد اللجان التي يمكن تكوينها. 2) احسب $\frac{A_{4}^{3}}{3!}.$ ماذا تستنتج؟

احسب $C_{5}^{3}$ و $C_{4}^{3}=C_{4}^{\cdots}$ و $C_{7}^{7}.$

فصل يتكوّن من $4$ بنات و $6$ أولاد. أراد الأستاذ اختيار $3$ تلاميذ لإنجاز عرض. 1) حدّد عدد المجموعات التي يمكن للأستاذ تكوينها. 2) حدّد عدد المجموعات المكوّنة من الأولاد فقط. 3) حدّد عدد المجموعات التي تضم بنتين بالضبط. 4) حدّد عدد المجموعات التي تضم ولداً واحداً على الأقل. 5) حدّد عدد المجموعات التي تضم على الأكثر ثلاث بنات.

صندوق يحتوي أربع كرات بيضاء وثلاث كرات صفراء وكرة سوداء واحدة غير مميزة باللمس. نسحب على التوالي وبدون إرجاع ثلاث كرات من الصندوق. أعط عدد السحوبات الممكنة.

صندوق يحتوي أربع كرات بيضاء وثلاث كرات صفراء وكرة سوداء واحدة غير مميزة باللمس. نسحب على التوالي ومع الإرجاع ثلاث كرات من الصندوق. أعط عدد السحوبات الممكنة.

صندوق يحتوي أربع كرات حمراء وثلاث كرات خضراء. نسحب في آن واحد ثلاث كرات من الصندوق. 1. حدّد عدد السحوبات الممكنة. 2. حدّد عدد السحوبات التي تتضمن كرة حمراء بالضبط. 3. حدّد عدد السحوبات التي تتضمن كرة خضراء واحدة على الأقل.

صندوق يحتوي ستة قطع خضراء وخمس قطع حمراء وثلاث قطع زرقاء غير مميزة باللمس. نسحب على التوالي وبدون إرجاع أربعة قطع من الصندوق. 1) حدّد عدد السحوبات الممكنة. 2) حدّد عدد السحوبات التي تكون فيها القطع الثلاث الأولى خضراء. 3) حدّد عدد السحوبات التي تكون فيها القطعة الأولى خضراء. 4) حدّد عدد السحوبات التي تتضمن قطعة خضراء بالضبط. 5) حدّد عدد السحوبات التي تتضمن قطعة خضراء واحدة على الأقل.

Ⅱ. الاحتمال

تعريف — تجربة عشوائية وأحداث

التجربة العشوائية تجربة تُعرف نتائجها الممكنة دون أن نستطيع تحديد أيها سيتحقق.

المخرج: أحد النتائج الممكنة لتجربة عشوائية.
الحدث: مجموعة من المخارج.
كل حدث مكوّن من مخرج واحد يُسمّى حدثاً بسيطاً.
الكون المرتبط بتجربة عشوائية هو مجموعة كل مخارجها الممكنة، ويُرمز له غالباً بـ $\Omega.$

مثال — نرد مكعب

نرمي نرداً مكعباً وجوهه مرقمة من $1$ إلى $6$ ونلاحظ العدد المحصل. لهذه التجربة $6$ مخارج ممكنة والكون المرتبط بها هو $\Omega=\{1{;}2{;}3{;}4{;}5{;}6\}.$

$A$ : «الحصول على عدد فردي» حدث يجمع المخارج $\{1{;}3{;}5\}$ فنكتب $A=\{1{;}3{;}5\}.$
$B$ : «الحصول على عدد مضاعف لـ $5$ » حدث بسيط و $B=\{5\}.$

عمليات على الأحداث

ليكن $A$ و $B$ حدثين لتجربة عشوائية.

الحدث العكسي لـ $A$ هو الحدث المرمز بـ $\overline{A}$ والمكوّن من كل عناصر $\Omega$ التي لا تنتمي إلى $A.$
تقاطع الحدثين $A$ و $B$ ، المرمز بـ $A\cap B$ ، هو الحدث المكوّن من كل عناصر $\Omega$ المنتمية إلى $A$ وإلى $B.$
اتحاد الحدثين $A$ و $B$ ، المرمز بـ $A\cup B$ ، هو الحدث المكوّن من كل عناصر $\Omega$ المنتمية إلى $A$ أو إلى $B.$
نقول إن الحدثين $A$ و $B$ غير متوافقين إذا $A\cap B=\emptyset.$
المجموعة الفارغة $\emptyset$ تُسمّى الحدث المستحيل.
الكون $\Omega$ يُسمّى الحدث الأكيد.

تطبيق — نرد ذو اثني عشر وجهاً

نرمي نرداً ذا اثني عشر وجهاً وجوهه مرقمة من $1$ إلى $12$ ونلاحظ العدد المحصل. نعتبر الأحداث التالية:

$A$ : «الحصول على عدد زوجي».
$B$ : «الحصول على عدد قابل للقسمة على $3$ ».
$C$ : «الحصول على مضاعف لـ $5$ ».
$D$ : «الحصول على عدد أكبر من $13$ ». حدّد: $A$ ، $B$ ، $C$ ، $\overline{A}$ ، $\overline{C}$ ، $D$ ، $A\cup B$ ، $B\cup C$ ، $A\cap B$ ، $B\cap C.$

خصائص الاحتمال

احتمال حدث $A$ عدد محصور بين $0$ و $1$ يعبّر عن «فرصة تحقق الحدث $A$ » ويُرمز له بـ $P(A).$ احتمال حدث $A$ هو مجموع احتمالات الأحداث البسيطة المكوّنة له. ليكن $\Omega$ كون تجربة عشوائية. ➢ $P(\Omega)=1$ و $P(\emptyset)=0.$ ➢ لكل حدث $A$ : $0\le P(A)\le 1.$ ليكن $A$ و $B$ حدثين من $\Omega$ :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$
إذا كان $A\cap B=\emptyset$ فإن $P(A\cup B)=P(A)+P(B).$
$P(\overline{A})=1-P(A).$ في حالة التجهيز (كل الأحداث البسيطة لها نفس الاحتمال): $P(A)=\frac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}$ حيث $\mathrm{Card}(A)$ هو عدد عناصر $A.$

تطبيق — عجلة اليانصيب ونرد

عجلة يانصيب متوازنة ومقسّمة إلى عشرة قطاعات متطابقة. ندير العجلة ونلاحظ الرقم المحدد. نعتبر الحدثين: $A$ : «الحصول على العدد $9$ » و $B$ : «الحصول على عدد قابل للقسمة على $3$ ». حدّد $P(A)$ و $P(B).$

نرمي نرداً مكعباً غير مغشوش وجوهه مرقمة من $1$ إلى $6.$ نعتبر الحدثين:

$A$ : «الحصول على عدد زوجي ومضاعف لـ $3$ ».
$B$ : «الحصول على عدد أولي». حدّد $A$ و $B$ ثم احسب $P(A)$ و $P(B).$

نرمي نرداً مكعباً غير مغشوش مرتين متتاليتين. نرمز لنتائج هذه التجربة العشوائية بالزوج $(a{;}b)$ حيث $a$ نتيجة الرمية الأولى و $b$ نتيجة الرمية الثانية. 1) حدّد $\Omega$ كون هذه التجربة. 2) حدّد الأحداث التالية:

$A$ : «الحصول على عددين متساويين».
$B$ : «الحصول على عددين زوجيين».
$C$ : «الحصول على عددين جداءهما $12$ ».
ثم حدّد $A\cap B$ و $A\cup B$ و $A\cap C$ و $A\cup C.$

نرمي نرداً رباعي الوجوه وجوهه مرقمة من $1$ إلى $4$ بحيث $P(\{1\})=0{,}3$ و $P(\{2\})=0{,}1$ و $P(\{3\})=0{,}4$ و $P(\{4\})=0{,}2.$ احسب احتمال الأحداث التالية: $A=\{2{;}4\}$ و $B=\{1{;}2{;}4\}$ و $C=\{1{;}2{;}3{;}4\}.$

نرمي قطعة نقدية غير مغشوشة ثلاث مرات متتالية. نعتبر الحدثين:

$A$ : «الحصول على الوجه $F$ مرة واحدة بالضبط».
$B$ : «الحصول على الوجه $P$ على الأكثر مرتين». 1) بواسطة شجرة الاختيارات، حدّد كون الإمكانيات. 2) احسب احتمال الأحداث: $A$ و $B$ و $\overline{A}$ و $\overline{B}$ و $A\cap B$ و $A\cup B.$

كيس يحتوي $4$ كرات حمراء و $3$ كرات خضراء و $2$ كرات بيضاء غير مميزة باللمس. نسحب في آن واحد وعشوائياً $3$ كرات من الكيس. 1. كم نتيجة ممكنة؟ 2. احسب احتمال كل حدث من الأحداث التالية:

$A$ : «الحصول على $3$ كرات حمراء».
$B$ : «الحصول على $3$ كرات من نفس اللون».
$C$ : «الحصول على $3$ كرات بألوان متميزة مثنى مثنى».
$D$ : «الحصول على كرة حمراء بالضبط».
$E$ : «الحصول على كرة بيضاء واحدة على الأقل».
ثم احسب $E\cap D$ و $E\cup D.$

كيس يحتوي ثلاث قطع بيضاء تحمل الأرقام $1$ و $1$ و $2$ وأربع قطع سوداء تحمل الأرقام $1$ و $2$ و $2$ و $2.$ نسحب على التوالي وبدون إرجاع ثلاث قطع من الكيس. علماً أن القطع غير مميزة باللمس، احسب احتمالات الأحداث التالية:

$A$ : «الحصول على ثلاث قطع من نفس اللون».
$B$ : «الحصول على قطعة بيضاء واحدة على الأقل».
$C$ : «الحصول على ثلاث قطع بنفس الرقم».
$D$ : «الحصول على ثلاث قطع مجموع أرقامها زوجي».
$E$ : «الحصول على ثلاث قطع مجموع أرقامها عدد فردي».

الاحتمال الشرطي والاستقلال

تعريف — احتمال شرطي

$A$ و $B$ حدثان من كون $\Omega$ لتجربة عشوائية بحيث $P(A)\ne 0.$ احتمال الحدث $B$ علماً أن الحدث $A$ تحقق هو $\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ ، ويُرمز له بـ $P_{A}(B)$ أو $P(B\mid A).$

تعريف — استقلال حدثين

$A$ و $B$ حدثان من كون $\Omega$ لتجربة عشوائية. نقول إن $A$ و $B$ مستقلان إذا: $P(A\cap B)=P(A)\times P(B).$ ليكن $A$ و $B$ حدثين بحيث $P(A)\ne 0.$ $A$ و $B$ مستقلان إذا وفقط إذا $P_{A}(B)=P(B).$

تطبيق ⑤ — احتمال شرطي واستقلال

فصل يتكوّن من $23$ تلميذاً موزعين حسب الجدول التالي: أولاد غير معيدين $8$ ، أولاد معيدون $3$ (مجموع الأولاد $11$ )؛ بنات غير معيدات $7$ ، بنات معيدات $5$ (مجموع البنات $12$ )؛ المجموع الكلي $23.$ 1. نختار عشوائياً تلميذاً من الفصل، ونفترض أن لجميع التلاميذ نفس احتمال الاختيار. أ. احسب احتمال كل من الأحداث التالية: $G$ : «اختيار ولد»؛ $F$ : «اختيار بنت»؛ $I$ : «اختيار تلميذ معيد». ب. احسب $P(G\cap I)$ و $P(F\cap I).$ 2. أ. علماً أن التلميذ المختار ولد، ما احتمال أن يكون معيداً؟ نرمز لهذا الاحتمال بـ $P_{G}(I).$ ب. تحقّق أن: $P_{G}(I)=\frac{P(G\cap I)}{P(G)}.$ ج. ماذا تمثل الاحتمالات التالية: $P_{F}(I)$ و $P_{I}(F)$ و $P_{I}(G)؟$ احسب هذه الاحتمالات.

كيس يحتوي خمس قطع بيضاء بالأرقام $1{;}1{;}1{;}0{;}0$ ، وأربع قطع حمراء بالأرقام $1{;}1{;}0{;}0$ ، وقطعتين خضراوين بالأرقام $0{;}1.$ نسحب على التوالي ومع الإرجاع ثلاث قطع من الكيس. 1. علماً أن القطع غير مميزة باللمس، احسب احتمالات الأحداث التالية:

$A$ : «الحصول على ثلاث قطع من نفس اللون».
$B$ : «الحصول على ثلاث قطع بنفس الرقم».
$C$ : «الحصول على ثلاث قطع بألوان مختلفة مثنى مثنى». 2. علماً أن القطع لها نفس اللون، ما احتمال أن يكون لها نفس الرقم؟ 3. علماً أن القطع المسحوبة تحمل نفس الرقم، ما احتمال أن تكون بألوان مختلفة مثنى مثنى؟

شخص يغسل أكواباً في مقهى. احتمال أن يكسر الكأس الأولى التي يغسلها هو $\frac{2}{7}.$ عندما يكسر الكأس الأولى، يزداد انتباهه بحيث يصبح احتمال كسر الثانية $\frac{1}{5}.$ وإذا لم يكسر الكأس الأولى، فإن احتمال كسر الثانية هو $\frac{3}{7}.$ نعتبر الحدثين: $A$ : «كسر الكأس الأولى»؛ $B$ : «كسر الكأس الثانية». 1. أنشئ شجرة احتمالات. 2. احسب احتمال كسر الكأس الأولى والثانية. 3. احسب احتمال كسر الكأس الثانية. 4. احسب احتمال أن تبقى الكأس الثانية سالمة علماً أن الكأس الأولى بقيت سالمة.

كيس $u_{1}$ يحتوي أربع كرات بيضاء وكرة سوداء واحدة، وكيس آخر $u_{2}$ يحتوي كرتين بيضاوين وثلاث كرات سوداء. نختار عشوائياً أحد الكيسين ثم نسحب منه كرة. 1. أنشئ شجرة احتمالات. 2. احسب احتمال اختيار الكيس $u_{1}$ والحصول على كرة سوداء. 3. احسب احتمال الحصول على كرة سوداء. 4. استنتج احتمال الحصول على كرة بيضاء. 5. الكرة المسحوبة سوداء؛ ما احتمال أنها سُحبت من الكيس $u_{1}؟$

نرمي نرداً مكعباً غير مغشوش وجوهه مرقمة من $1$ إلى $6.$ نعتبر الحدثين:

$A$ : «الحصول على عدد فردي».
$B$ : «الحصول على العدد $3$ ». احسب $P(A\cap B)$ و $P(A)\times P(B)$ واستنتج هل $A$ و $B$ مستقلان.

كيس يحتوي تسع كرات غير مميزة باللمس: كرتان بيضاوان تحملان الرقم $1$ ، وثلاث كرات حمراء تحمل الأرقام $1$ و $1$ و $2$ ، وأربع كرات سوداء تحمل الأرقام $1$ و $1$ و $2$ و $2.$ نسحب في آن واحد وعشوائياً $3$ كرات من الكيس. 1. احسب احتمال الأحداث التالية: $A$ : «الحصول على ثلاث كرات بألوان مختلفة مثنى مثنى»؛ $B$ : «الحصول على ثلاث كرات تحمل نفس الرقم». 2. هل الحدثان $A$ و $B$ مستقلان؟

Ⅲ. المتغيرات العشوائية

تعريف — متغير عشوائي وقانونه

المتغير العشوائي دالة من $\Omega$ إلى $\mathbb{R}$ تربط كل مخرج من $\Omega$ بعدد. نرمز بـ $X(\Omega)$ لمجموعة القيم الممكنة لـ $X.$ قانون احتمال $X$ معطى بكل الاحتمالات $P(X=x_{i}).$

التوقع الرياضي لـ $X$ هو العدد:

E(X)=x_{1}P(X=x_{1})+x_{2}P(X=x_{2})+\cdots+x_{n}P(X=x_{n}).

تباين $X$ هو العدد الموجب:

V(X)=x_{1}^{2}P(X=x_{1})+x_{2}^{2}P(X=x_{2})+\cdots+x_{n}^{2}P(X=x_{n})-(E(X))^{2}.

الانحراف المعياري لـ $X$ هو العدد: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.$

المتغير الحداني

ليكن $A$ حدثاً احتماله $p$ في تجربة عشوائية. إذا كُررت هذه التجربة $n$ مرة، فإن احتمال تحقق $A$ بالضبط $k$ مرة ( $k\le n$ ) هو $C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.$ المتغير العشوائي الذي يربط كل نتيجة بعدد مرات تحقق $A$ يُسمّى متغيراً عشوائياً حدانياً. العددان $n$ و $p$ هما وسيطا المتغير الحداني. ليكن $X$ متغيراً عشوائياً حدانياً بوسيطين $n$ و $p.$ لدينا: $\forall k\in\{0{;}1{;}\ldots{;}n\}$ : $P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ و $E(X)=n\times p$ و $V(X)=n\times p\times(1-p).$

تطبيق ⑥ — قوانين وتوقع وحداني

صندوق يحتوي $6$ قطع مرقمة من $1$ إلى $6$ غير مميزة باللمس. لاعب يسحب قطعة.

إذا كان الرقم زوجياً، يربح $5$ دراهم.
إذا سحب الرقم $1$ ، يربح $40$ درهماً.
وإلا يخسر $15$ درهماً. ليكن $X$ المتغير العشوائي المساوي للربح الجبري للاعب. حدّد القيم التي يمكن أن يأخذها $X$ ، ثم $X(\Omega)$ ، واحسب $P(X=\cdots)$ لكل قيمة، ولخّص في جدول.

ليكن $X$ متغيراً عشوائياً قانون احتماله: $x_{i}\in\{-1{;}1{;}2\}$ مع $P(X=-1)=\frac{1}{2}$ و $P(X=1)=\frac{1}{4}$ و $P(X=2)=\frac{1}{4}.$ احسب $E(X)$ و $V(X)$ و $\sigma(X).$

كيس يحتوي $6$ كرات بيضاء و $2$ كرات سوداء. نسحب على التوالي وبدون إرجاع كرتين من الكيس. ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحب بعدد الكرات البيضاء المسحوبة. 1. حدّد $X(\Omega).$ 2. أعط قانون احتمال $X.$

نعتبر اللعبة التالية: «كيس يحتوي أربع كرات بيضاء وكرتين سوداوين غير مميزتين باللمس. على اللاعب سحب ثلاث كرات في آن واحد. في كل سحب، يربح اللاعب درهماً ( $+1$ ) عن كل كرة بيضاء ويخسر درهماً عن كل كرة سوداء.» ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحب بربح اللاعب. 1. حدّد $X(\Omega).$ 2. أعط قانون احتمال $X.$

نرمي قطعة نقدية ثلاث مرات متتالية. نرمز بـ $X$ لعدد مرات ظهور الوجه $F.$ 1. حدّد الكون $\Omega$ ثم استنتج القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير $X.$ 2. ماذا يعني الحدثان $(X=1)$ و $(X=2)؟$ 3. أ. تحقّق أن $P(X=1)=\frac{3}{8}.$ ب. املأ الجدول التالي: $x_{i}\in\{0{;}1{;}2{;}3\}$ مع $P(X=x_{i}).$

احتمال أن يصيب رامٍ بالقوس الهدف هو $\frac{2}{3}.$ قام هذا الرامي بعشر محاولات. ما احتمال إصابة الهدف ست مرات بالضبط؟

كيس يحتوي ست كرات بيضاء وأربع كرات سوداء. نعتبر اللعبة التالية: يسحب اللاعب $3$ كرات في آن واحد من الكيس، ويُعتبر فائزاً إذا كانت الكرات الثلاث المسحوبة بيضاء. لعب أحمد هذه اللعبة $4$ مرات. ما احتمال الفوز ثلاث مرات بالضبط؟

عندما نرمي نرداً مكعباً غير مغشوش أربع مرات متتالية، ما احتمال الحصول على الرقم $2$ ثلاث مرات؟

نرمي قطعة نقدية $5$ مرات متتالية. ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل نتيجة بعدد مرات ظهور $F.$ لدينا قانون احتمال حداني بوسيطين: حدّد $n$ و $p=P(F)$ ، ثم $X(\Omega)$ ، واحسب $P(X=k)$ لكل $k$ ، ثم الجدول، ثم $E(X)$ و $V(X)$ و $\sigma(X).$

نرمي نرداً مكعباً متوازناً مرقماً من $1$ إلى $6$ مرة واحدة. نعتبر الحدث: $A$ : «الحصول على قاسم لـ $3$ ». 1. احسب $P(A).$ 2. نكرّر هذه التجربة $3$ مرات متتالية. ليكن $X$ المتغير العشوائي المساوي لعدد مرات تحقق الحدث $A.$ حدّد قانون احتمال $X.$

صندوق يحتوي ثماني كرات غير مميزة باللمس تحمل كل منها عدداً (كما في الشكل). نسحب عشوائياً وفي آن واحد ثلاث كرات من الصندوق. 1. ليكن $A$ الحدث: «من بين الكرات الثلاث المسحوبة، لا تحمل أي منها العدد $0$ » و $B$ الحدث: «جداء الأعداد المحمولة على الكرات الثلاث يساوي $8$ ». بيّن أن $P(A)=\frac{5}{14}$ و $P(B)=\frac{1}{7}.$ 2. ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحب بجداء الأعداد المحمولة على الكرات الثلاث المسحوبة. أ. بيّن أن $P(X=16)=\frac{3}{28}.$ ب. انسخ وأكمل جدول قانون احتمال $X$ مع تبرير كل إجابة.

صندوق يحتوي ثلاث كرات بيضاء وأربع كرات حمراء وخمس كرات خضراء، غير مميزة باللمس. نسحب عشوائياً وفي آن واحد ثلاث كرات من الصندوق. 1. نعتبر الحدثين: $A$ : «الحصول على كرتين حمراوين بالضبط»؛ $B$ : «الحصول على كرة خضراء بالضبط». أ. بيّن أن $P(A)=\frac{12}{55}$ و $P(B)=\frac{21}{44}.$ ب. احسب $P(A\mid B)$ : احتمال الحدث $A$ علماً أن الحدث $B$ تحقق. هل الحدثان $A$ و $B$ مستقلان؟ 2. ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحب بعدد الكرات الخضراء المسحوبة. ج. حدّد قانون احتمال $X.$ د. احسب احتمال الحصول على كرتين خضراوين على الأقل.

صندوق يحتوي $9$ كرات غير مميزة باللمس: خمس كرات حمراء تحمل الأعداد $1{;}1{;}2{;}2{;}2$ وأربع كرات بيضاء تحمل الأعداد $1{;}2{;}2{;}2.$ نعتبر التجربة التالية: نسحب عشوائياً وفي آن واحد ثلاث كرات من الصندوق. نعتبر الأحداث: $A$ : «الكرات الثلاث المسحوبة من نفس اللون»؛ $B$ : «الكرات الثلاث المسحوبة تحمل نفس العدد»؛ $C$ : «الكرات الثلاث المسحوبة من نفس اللون وتحمل نفس العدد». 1. بيّن أن $P(A)=\frac{1}{6}$ و $P(B)=\frac{1}{4}$ و $P(C)=\frac{1}{42}.$ 2. نكرّر التجربة السابقة ثلاث مرات مع إرجاع الكرات الثلاث المسحوبة إلى الصندوق بعد كل سحب، ونعتبر المتغير العشوائي $X$ المساوي لعدد مرات تحقق الحدث $A.$ أ. حدّد وسيطَي المتغير الحداني $X.$ ب. بيّن أن $P(X=1)=\frac{25}{72}$ واحسب $P(X=2).$