سلسلة تطبيقات: العدّ والاحتمالات

في مطعم شركة، الوجبة تتكوّن من طبق وتحلية. القائمة تقترح طبقين وثلاث تحليات. بكم طريقة يمكن تركيب وجبة؟

صندوق يحتوي خمس كرات سوداء و $12$ كرة بيضاء غير مميزة باللمس. نسحب على التوالي وبدون إرجاع (دون إعادة الكرة بعد سحبها إلى الصندوق) كرتين من الصندوق. 1) أنشئ شجرة الاختيارات. 2) ما عدد السحوبات التي تتضمن كرتين من نفس اللون؟ 3) ما عدد السحوبات التي تتضمن كرتين بلونين مختلفين؟ 4) أعد الأسئلة السابقة نفسها في حالة السحب المتتالي مع الإرجاع.

نريد ترتيب ثلاث مزهريات من بين خمس مرقمة $1{;}2{;}3{;}4$ و $5$ في خزانة تحتوي ثلاثة أدراج مرقمة $A$ و $B$ و $C.$ 1) كم ترتيباً مختلفاً يمكن إنجازه؟ 2) كم ترتيباً تكون فيه المزهيرية $1$ موضوعة في الدرج $A؟$ 3) كم ترتيباً يتم في أدراجين فقط؟ 4) كم ترتيباً مختلفاً يمكن إنجازه إذا توفر خمسة أدراج $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E؟$

1. احسب الأعداد $A_{5}^{3}$ و $A_{9}^{4}$ و $A_{7}^{1}$ و $5!.$ 2. قارن $\frac{7!}{(7-5)!}$ و $A_{7}^{5}.$

نريد تكوين كلمات من ثلاث حروف متميزة، بالحروف $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E$ و $F.$ حدّد عدد الكلمات الممكنة.

موقف سيارات يحتوي سبع أماكن حرة مرقمة من $1$ إلى $7.$ بكم طريقة يمكن ركن: 1) سيارة واحدة؟ 2) ثلاث سيارات؟ 3) سبع سيارات؟

1. بكم طريقة يمكن إجلاس ستة أشخاص على طاولة ذات اثني عشر كرسياً؟ 2) بكم طريقة يمكن إجلاس اثني عشر شخصاً على طاولة ذات اثني عشر كرسياً؟

صندوق يحتوي أربع كرات بيضاء وثلاث كرات صفراء وكرة سوداء واحدة غير مميزة باللمس. نسحب على التوالي وبدون إرجاع ثلاث كرات من الصندوق. أعط عدد السحوبات الممكنة.

صندوق يحتوي أربع كرات بيضاء وثلاث كرات صفراء وكرة سوداء واحدة غير مميزة باللمس. نسحب على التوالي ومع الإرجاع ثلاث كرات من الصندوق. أعط عدد السحوبات الممكنة.

مجموعة تتكوّن من أربعة أشخاص $\{a{;}b{;}c{;}d\}.$ نريد تشكيل لجنة من ثلاثة أشخاص لإنجاز مهمة. 1) حدّد اللجان التي يمكن تكوينها. 2) احسب $\frac{A_{4}^{3}}{3!}.$ ماذا تستنتج؟

فصل يتكوّن من $4$ بنات و $6$ أولاد. أراد الأستاذ اختيار $3$ تلاميذ لإنجاز عرض. 1) حدّد عدد المجموعات التي يمكن للأستاذ تكوينها. 2) حدّد عدد المجموعات المكوّنة من الأولاد فقط. 3) حدّد عدد المجموعات التي تضم بنتين بالضبط. 4) حدّد عدد المجموعات التي تضم ولداً واحداً على الأقل. 5) حدّد عدد المجموعات التي تضم على الأكثر ثلاث بنات.

صندوق يحتوي أربع كرات حمراء وثلاث كرات خضراء. نسحب في آن واحد ثلاث كرات من الصندوق. 1. حدّد عدد السحوبات الممكنة. 2. حدّد عدد السحوبات التي تتضمن كرة حمراء بالضبط. 3. حدّد عدد السحوبات التي تتضمن كرة خضراء واحدة على الأقل.

صندوق يحتوي ستة قطع خضراء وخمس قطع حمراء وثلاث قطع زرقاء غير مميزة باللمس. نسحب على التوالي وبدون إرجاع أربعة قطع من الصندوق. 1) حدّد عدد السحوبات الممكنة. 2) حدّد عدد السحوبات التي تكون فيها القطع الثلاث الأولى خضراء. 3) حدّد عدد السحوبات التي تكون فيها القطعة الأولى خضراء. 4) حدّد عدد السحوبات التي تتضمن قطعة خضراء بالضبط. 5) حدّد عدد السحوبات التي تتضمن قطعة خضراء واحدة على الأقل.

نرمي نرداً مكعباً غير مغشوش مرتين متتاليتين. نرمز لنتائج هذه التجربة العشوائية بالزوج $(a{;}b)$ حيث $a$ نتيجة الرمية الأولى و $b$ نتيجة الرمية الثانية. 1) حدّد $\Omega$ كون هذه التجربة. 2) حدّد الأحداث التالية:

• $A$ : «الحصول على عددين متساويين».
• $B$ : «الحصول على عددين زوجيين».
• $C$ : «الحصول على عددين جداءهما $12$».
• ثم حدّد $A\cap B$ و $A\cup B$ و $A\cap C$ و $A\cup C.$

نرمي نرداً رباعي الوجوه وجوهه مرقمة من $1$ إلى $4$ بحيث $P(\{1\})=0{,}3$ و $P(\{2\})=0{,}1$ و $P(\{3\})=0{,}4$ و $P(\{4\})=0{,}2.$ احسب احتمال الأحداث التالية: $A=\{2{;}4\}$ و $B=\{1{;}2{;}4\}$ و $C=\{1{;}2{;}3{;}4\}.$

كيس يحتوي $4$ كرات حمراء و $3$ كرات خضراء و $2$ كرات بيضاء غير مميزة باللمس. نسحب في آن واحد وعشوائياً $3$ كرات من الكيس. 1. كم نتيجة ممكنة؟ 2. احسب احتمال كل حدث من الأحداث التالية:

• $A$ : «الحصول على $3$ كرات حمراء».
• $B$ : «الحصول على $3$ كرات من نفس اللون».
• $C$ : «الحصول على $3$ كرات بألوان متميزة مثنى مثنى».
• $D$ : «الحصول على كرة حمراء بالضبط».
• $E$ : «الحصول على كرة بيضاء واحدة على الأقل».
• ثم احسب $E\cap D$ و $E\cup D.$

كيس يحتوي ثلاث قطع بيضاء تحمل الأرقام $1$ و $1$ و $2$ وأربع قطع سوداء تحمل الأرقام $1$ و $2$ و $2$ و $2.$ نسحب على التوالي وبدون إرجاع ثلاث قطع من الكيس. علماً أن القطع غير مميزة باللمس، احسب احتمالات الأحداث التالية:

• $A$ : «الحصول على ثلاث قطع من نفس اللون».
• $B$ : «الحصول على قطعة بيضاء واحدة على الأقل».
• $C$ : «الحصول على ثلاث قطع بنفس الرقم».
• $D$ : «الحصول على ثلاث قطع مجموع أرقامها زوجي».
• $E$ : «الحصول على ثلاث قطع مجموع أرقامها عدد فردي».

فصل يتكوّن من $23$ تلميذاً موزعين حسب الجدول التالي: أولاد غير معيدين $8$، أولاد معيدون $3$ (مجموع الأولاد $11$)؛ بنات غير معيدات $7$، بنات معيدات $5$ (مجموع البنات $12$)؛ المجموع الكلي $23.$ 1. نختار عشوائياً تلميذاً من الفصل، ونفترض أن لجميع التلاميذ نفس احتمال الاختيار. أ. احسب احتمال كل من الأحداث التالية: $G$ : «اختيار ولد»؛ $F$ : «اختيار بنت»؛ $I$ : «اختيار تلميذ معيد». ب. احسب $P(G\cap I)$ و $P(F\cap I).$ 2. أ. علماً أن التلميذ المختار ولد، ما احتمال أن يكون معيداً؟ نرمز لهذا الاحتمال بـ $P_{G}(I).$ ب. تحقّق أن: $P_{G}(I)=\frac{P(G\cap I)}{P(G)}.$ ج. ماذا تمثل الاحتمالات التالية: $P_{F}(I)$ و $P_{I}(F)$ و $P_{I}(G)؟$ احسب هذه الاحتمالات.

كيس يحتوي خمس قطع بيضاء بالأرقام $1{;}1{;}1{;}0{;}0$، وأربع قطع حمراء بالأرقام $1{;}1{;}0{;}0$، وقطعتين خضراوين بالأرقام $0{;}1.$ نسحب على التوالي ومع الإرجاع ثلاث قطع من الكيس. 1. علماً أن القطع غير مميزة باللمس، احسب احتمالات الأحداث التالية:

• $A$ : «الحصول على ثلاث قطع من نفس اللون».
• $B$ : «الحصول على ثلاث قطع بنفس الرقم».
• $C$ : «الحصول على ثلاث قطع بألوان مختلفة مثنى مثنى». 2. علماً أن القطع لها نفس اللون، ما احتمال أن يكون لها نفس الرقم؟ 3. علماً أن القطع المسحوبة تحمل نفس الرقم، ما احتمال أن تكون بألوان مختلفة مثنى مثنى؟

شخص يغسل أكواباً في مقهى. احتمال أن يكسر الكأس الأولى التي يغسلها هو $\frac{2}{7}.$ عندما يكسر الكأس الأولى، يزداد انتباهه بحيث يصبح احتمال كسر الثانية $\frac{1}{5}.$ وإذا لم يكسر الكأس الأولى، فإن احتمال كسر الثانية هو $\frac{3}{7}.$ نعتبر الحدثين: $A$ : «كسر الكأس الأولى»؛ $B$ : «كسر الكأس الثانية». 1. أنشئ شجرة احتمالات. 2. احسب احتمال كسر الكأس الأولى والثانية. 3. احسب احتمال كسر الكأس الثانية. 4. احسب احتمال أن تبقى الكأس الثانية سالمة علماً أن الكأس الأولى بقيت سالمة.

كيس $u_{1}$ يحتوي أربع كرات بيضاء وكرة سوداء واحدة، وكيس آخر $u_{2}$ يحتوي كرتين بيضاوين وثلاث كرات سوداء. نختار عشوائياً أحد الكيسين ثم نسحب منه كرة. 1. أنشئ شجرة احتمالات. 2. احسب احتمال اختيار الكيس $u_{1}$ والحصول على كرة سوداء. 3. احسب احتمال الحصول على كرة سوداء. 4. استنتج احتمال الحصول على كرة بيضاء. 5. الكرة المسحوبة سوداء؛ ما احتمال أنها سُحبت من الكيس $u_{1}؟$

كيس يحتوي تسع كرات غير مميزة باللمس: كرتان بيضاوان تحملان الرقم $1$، وثلاث كرات حمراء تحمل الأرقام $1$ و $1$ و $2$، وأربع كرات سوداء تحمل الأرقام $1$ و $1$ و $2$ و $2.$ نسحب في آن واحد وعشوائياً $3$ كرات من الكيس. 1. احسب احتمال الأحداث التالية: $A$ : «الحصول على ثلاث كرات بألوان مختلفة مثنى مثنى»؛ $B$ : «الحصول على ثلاث كرات تحمل نفس الرقم». 2. هل الحدثان $A$ و $B$ مستقلان؟

احتمال أن يصيب رامٍ بالقوس الهدف هو $\frac{2}{3}.$ قام هذا الرامي بعشر محاولات. ما احتمال إصابة الهدف ست مرات بالضبط؟

كيس يحتوي ست كرات بيضاء وأربع كرات سوداء. نعتبر اللعبة التالية: يسحب اللاعب $3$ كرات في آن واحد من الكيس، ويُعتبر فائزاً إذا كانت الكرات الثلاث المسحوبة بيضاء. لعب أحمد هذه اللعبة $4$ مرات. ما احتمال الفوز ثلاث مرات بالضبط؟

نرمي قطعة نقدية ثلاث مرات متتالية. نرمز بـ $X$ لعدد مرات ظهور الوجه $F.$ 1. حدّد الكون $\Omega$ ثم استنتج القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير $X.$ 2. ماذا يعني الحدثان $(X=1)$ و $(X=2)؟$ 3. أ. تحقّق أن $P(X=1)=\frac{3}{8}.$ ب. املأ الجدول التالي: $x_{i}\in\{0{;}1{;}2{;}3\}$ مع $P(X=x_{i}).$

كيس يحتوي $6$ كرات بيضاء و $2$ كرات سوداء. نسحب على التوالي وبدون إرجاع كرتين من الكيس. ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحب بعدد الكرات البيضاء المسحوبة. 1. حدّد $X(\Omega).$ 2. أعط قانون احتمال $X.$

نعتبر اللعبة التالية: «كيس يحتوي أربع كرات بيضاء وكرتين سوداوين غير مميزتين باللمس. على اللاعب سحب ثلاث كرات في آن واحد. في كل سحب، يربح اللاعب درهماً ($+1$) عن كل كرة بيضاء ويخسر درهماً عن كل كرة سوداء.» ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحب بربح اللاعب. 1. حدّد $X(\Omega).$ 2. أعط قانون احتمال $X.$

صندوق يحتوي ثماني كرات غير مميزة باللمس تحمل كل منها عدداً (كما في الشكل). نسحب عشوائياً وفي آن واحد ثلاث كرات من الصندوق. 1. ليكن $A$ الحدث: «من بين الكرات الثلاث المسحوبة، لا تحمل أي منها العدد $0$» و $B$ الحدث: «جداء الأعداد المحمولة على الكرات الثلاث يساوي $8$». بيّن أن $P(A)=\frac{5}{14}$ و $P(B)=\frac{1}{7}.$ 2. ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحب بجداء الأعداد المحمولة على الكرات الثلاث المسحوبة. أ. بيّن أن $P(X=16)=\frac{3}{28}.$ ب. انسخ وأكمل جدول قانون احتمال $X$ مع تبرير كل إجابة.

نرمي نرداً مكعباً متوازناً مرقماً من $1$ إلى $6$ مرة واحدة. نعتبر الحدث: $A$ : «الحصول على قاسم لـ $3$». 1. احسب $P(A).$ 2. نكرّر هذه التجربة $3$ مرات متتالية. ليكن $X$ المتغير العشوائي المساوي لعدد مرات تحقق الحدث $A.$ حدّد قانون احتمال $X.$

صندوق يحتوي ثلاث كرات بيضاء وأربع كرات حمراء وخمس كرات خضراء، غير مميزة باللمس. نسحب عشوائياً وفي آن واحد ثلاث كرات من الصندوق. 1. نعتبر الحدثين: $A$ : «الحصول على كرتين حمراوين بالضبط»؛ $B$ : «الحصول على كرة خضراء بالضبط». أ. بيّن أن $P(A)=\frac{12}{55}$ و $P(B)=\frac{21}{44}.$ ب. احسب $P(A\mid B)$ : احتمال الحدث $A$ علماً أن الحدث $B$ تحقق. هل الحدثان $A$ و $B$ مستقلان؟ 2. ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحب بعدد الكرات الخضراء المسحوبة. ج. حدّد قانون احتمال $X.$ د. احسب احتمال الحصول على كرتين خضراوين على الأقل.

صندوق يحتوي $9$ كرات غير مميزة باللمس: خمس كرات حمراء تحمل الأعداد $1{;}1{;}2{;}2{;}2$ وأربع كرات بيضاء تحمل الأعداد $1{;}2{;}2{;}2.$ نعتبر التجربة التالية: نسحب عشوائياً وفي آن واحد ثلاث كرات من الصندوق. نعتبر الأحداث: $A$ : «الكرات الثلاث المسحوبة من نفس اللون»؛ $B$ : «الكرات الثلاث المسحوبة تحمل نفس العدد»؛ $C$ : «الكرات الثلاث المسحوبة من نفس اللون وتحمل نفس العدد». 1. بيّن أن $P(A)=\frac{1}{6}$ و $P(B)=\frac{1}{4}$ و $P(C)=\frac{1}{42}.$ 2. نكرّر التجربة السابقة ثلاث مرات مع إرجاع الكرات الثلاث المسحوبة إلى الصندوق بعد كل سحب، ونعتبر المتغير العشوائي $X$ المساوي لعدد مرات تحقق الحدث $A.$ أ. حدّد وسيطَي المتغير الحداني $X.$ ب. بيّن أن $P(X=1)=\frac{25}{72}$ واحسب $P(X=2).$