الدوال الأصلية

تعريف الدالة الأصلية على مجال، الوجود والوحدانية، وجدول الدوال الأصلية الاعتيادية.

سلسلة التمارين 04 — سلسلة تمارين: الدوال الأصلية

Ⅰ. دالة أصلية لدالة على مجال

تعريف

لتكن $f$ و $F$ دالتين معرّفتين على مجال $I$ من $\mathbb{R}.$ نقول إن $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $I$ ، إذا كانت $F$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولكل $x\in I$ : $F'(x)=f(x).$

أمثلة

الدالة $x\mapsto 5x+4$ دالة أصلية على $\mathbb{R}$ لـ $x\mapsto 5.$

الدالة $x\mapsto x^{2}+2x+3$ دالة أصلية على $\mathbb{R}$ لـ $x\mapsto 2x+2.$

الدالة $x\mapsto 2\sqrt{x}+7$ دالة أصلية على $]0{;}+\infty[$ لـ $x\mapsto\frac{1}{\sqrt{x}}.$

خاصية 1

كل دالة متصلة على مجال $I$ تقبل دالة أصلية على $I.$

تطبيق ①

بيّن أن الدالة $x\mapsto x\sqrt{x+1}+\cos(x)$ تقبل دالة أصلية على $I=[-1{;}+\infty[.$

خاصية 2

لتكن $F$ دالة أصلية لدالة $f$ على $I.$

مجموعة الدوال الأصلية لـ $f$ على $I$ هي مجموعة الدوال $x\mapsto F(x)+c$ حيث $c\in\mathbb{R}.$
لكل $x_{0}\in I$ و $y_{0}\in\mathbb{R}$ ، توجد دالة أصلية وحيدة $G$ لـ $f$ على $I$ تحقّق $G(x_{0})=y_{0}.$

تطبيق ②

حدّد مجموعة الدوال الأصلية للدالتين $f$ و $g$ على المجال $I$ المراد تعيينه علماً أن $f(x)=x^{4}-3x^{3}+5$ و

f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{2}}.

حدّد الدالة الأصلية $F$ للدالة $f$ على $\mathbb{R}$ ، التي تحقّق الشرط المشار إليه: $f(x)=4x^{3}-5x^{2}+8x-7$ و $F(1)=0.$

Ⅱ. جدول الدوال الأصلية الاعتيادية

دوال أصلية اعتيادية

الدالة	الدوال الأصلية
$x\mapsto 0$	$x\mapsto c$
$x\mapsto a$ ( $a\in\mathbb{R}$ )	$x\mapsto ax+c$
$x\mapsto x^{n}$ ( $n\in\mathbb{N}^{*}$ )	$x\mapsto\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$
$x\mapsto x^{r}$ ( $r\in\mathbb{Q}^{*}\setminus\{-1\}$ )	$x\mapsto\frac{1}{r+1}x^{r+1}+c$
$x\mapsto\frac{1}{\sqrt{x}}$	$x\mapsto 2\sqrt{x}+c$
$x\mapsto\frac{1}{x^{2}}$	$x\mapsto-\frac{1}{x}+c$
$x\mapsto\cos x$	$x\mapsto\sin x+c$
$x\mapsto\sin x$	$x\mapsto-\cos x+c$
$x\mapsto 1+(\tan x)^{2}$	$x\mapsto\tan x+c$
$x\mapsto\cos(ax+b)$ ، ( $a\neq 0$ )	$x\mapsto\frac{1}{a}\sin(ax+b)+c$
$x\mapsto\sin(ax+b)$ ، ( $a\neq 0$ )	$x\mapsto-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+c$
$U'\times U^{r}$ ( $r\in\mathbb{Q}^{*}\setminus\{-1\}$ )	$\frac{1}{r+1}U^{r+1}+c$
$U'V+UV'$	$U\times V+c$
$\frac{U'V-UV'}{V^{2}}$	$\frac{U}{V}+c$
$\frac{U'}{U^{2}}$	$-\frac{1}{U}+c$
$\frac{U'}{\sqrt{U}}$	$2\sqrt{U}+c$

تطبيق ③

حدّد دالة أصلية للدوال التالية:

$\bullet\ f_{1}(x)=2x^{5}-3x^{2}-1$

\bullet\ f_{2}(x)=\frac{1}{x^{4}}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}-\sqrt[4]{x^{3}}

$\bullet\ f_{3}(x)=\sqrt{x}(x^{2}+2\sqrt{x})$

$\bullet\ f_{4}(x)=\sqrt{x+2}$

$\bullet\ f_{5}(x)=(2x+1)\sqrt{2x+1}$

$\bullet\ f_{6}(x)=\sin(5-2x)$

$\bullet\ f_{7}(x)=\cos(3x-1)$

$\bullet\ f_{8}(x)=(3x^{2}-1)(x^{3}-x)^{2}$

$\bullet\ f_{9}(x)=\cos x\cdot(\sin x)^{4}$

$\bullet\ f_{10}(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$