سلسلة تمارين: الدوال الأصلية

بيّن أن الدالة $x\mapsto x\sqrt{x+1}+\cos(x)$ تقبل دالة أصلية على $I=[-1{;}+\infty[.$

1. حدّد مجموعة الدوال الأصلية للدالتين $f$ و $g$ على المجال $I$ المراد تعيينه علماً أن $f(x)=x^{4}-3x^{3}+5$ و

2. حدّد الدالة الأصلية $F$ للدالة $f$ على $\mathbb{R}$، التي تحقّق الشرط المشار إليه: $f(x)=4x^{3}-5x^{2}+8x-7$ و $F(1)=0.$

حدّد دالة أصلية للدوال التالية:

$\bullet\ f_{1}(x)=2x^{5}-3x^{2}-1$

$\bullet\ f_{3}(x)=\sqrt{x}(x^{2}+2\sqrt{x})$

$\bullet\ f_{4}(x)=\sqrt{x+2}$

$\bullet\ f_{5}(x)=(2x+1)\sqrt{2x+1}$

$\bullet\ f_{6}(x)=\sin(5-2x)$

$\bullet\ f_{7}(x)=\cos(3x-1)$

$\bullet\ f_{8}(x)=(3x^{2}-1)(x^{3}-x)^{2}$

$\bullet\ f_{9}(x)=\cos x\cdot(\sin x)^{4}$

$\bullet\ f_{10}(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$