Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

الدرس 05

الدوال اللوغاريتمية

اللوغاريتم النيبيري، النهايات، الاشتقاق والتكاملات الأصلية، اللوغاريتم ذو الأساس aa واللوغاريتم العشري.

سلسلة التمارين 05 — سلسلة تمارين: الدوال اللوغاريتمية

Ⅰ. دالة اللوغاريتم النيبيري

  1. تعريف وخصائص

تعريف

دالة اللوغاريتم النيبيري هي الدالة الأصلية للدالة x↦1xx\mapsto\frac{1}{x} على ]0;+∞[]0{;}+\infty[ التي تنعدم في 11، ويُرمز لها بـ ln⁡\ln أو Log.\mathrm{Log}.

ملاحظة

مجموعة تعريف الدالة x↦ln⁡(u(x))x\mapsto\ln(u(x)) هي D={x∈R / u(x)>0}.D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,u(x)>0\}.

تطبيق ①

حدّد مجموعة تعريف الدالة ff في الحالات التالية:

① f(x)=ln⁡(3x+9).f(x)=\ln(3x+9).

② f(x)=ln⁡(x+1x−2).f(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right).

③ f(x)=ln⁡(x2−2x).f(x)=\ln(x^{2}-2x).

④ f(x)=ln⁡(∣2x−1∣).f(x)=\ln(\lvert 2x-1\rvert).

خاصية

  • الدالة ln⁡\ln متصلة وتزايدية قطعاً على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[.
∀(x,y)∈R+∗2:ln⁡(x)>ln⁡(y)⇔x>y.\forall(x{,}y)\in\mathbb{R}_{+}^{*2}:\ln(x)>\ln(y)\Leftrightarrow x>y.
∀(x,y)∈R+∗2:ln⁡(x)=ln⁡(y)⇔x=y.\forall(x{,}y)\in\mathbb{R}_{+}^{*2}:\ln(x)=\ln(y)\Leftrightarrow x=y.

تطبيق ②

حل في R\mathbb{R} المعادلات والمتراجحات التالية:

① ln⁡(x−1)=ln⁡(2−x).\ln(x-1)=\ln(2-x).

② ln⁡(x2−2x)=0.\ln(x^{2}-2x)=0.

③ ln⁡(2x−1)≥ln⁡(x).\ln(2x-1)\ge\ln(x).

④ ln⁡(x2−3x+3)<0.\ln(x^{2}-3x+3)<0.

خاصية

  • ln⁡(x)>0⇔x>1.\ln(x)>0\Leftrightarrow x>1.
  • ln⁡(x)<0⇔0<x<1.\ln(x)<0\Leftrightarrow 0<x<1.

تطبيق ③

حدّد مجموعة تعريف الدالة ff في الحالات التالية:

① f(x)=ln⁡(ln⁡x).f(x)=\ln(\ln x).

② f(x)=(x−2)ln⁡(x).f(x)=\sqrt{(x-2)\ln(x)}.

خاصية

ليكن aa و bb عددين حقيقيين موجبين قطعاً و r∈Q∗r\in\mathbb{Q}^{*}، لدينا:

  • ln⁡(ab)=ln⁡(a)+ln⁡(b)\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)
  • ln⁡ ⁣(1a)=−ln⁡(a)\ln\!\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln(a)
  • ln⁡(ar)=rln⁡(a)\ln(a^{r})=r\ln(a)
  • ln⁡ ⁣(ab)=ln⁡(a)−ln⁡(b).\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b).

أمثلة

ln⁡(8)=12ln⁡(8)=12ln⁡(23)=32ln⁡(2).\ln(\sqrt{8})=\frac{1}{2}\ln(8)=\frac{1}{2}\ln(2^{3})=\frac{3}{2}\ln(2).
ln⁡ ⁣(34)+ln⁡ ⁣(43)=ln⁡(3)−ln⁡(4)+ln⁡(4)−ln⁡(3)=0.\ln\!\left(\frac{3}{4}\right)+\ln\!\left(\frac{4}{3}\right)=\ln(3)-\ln(4)+\ln(4)-\ln(3)=0.

تطبيق ④

  1. بسّط التعبيرين التاليين: A=ln⁡(9)+ln⁡33−ln⁡(81)A=\ln(9)+\ln\sqrt[3]{3}-\ln(81) و
B=ln⁡ ⁣(2+2)+ln⁡ ⁣(2−2).B=\ln\!\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)+\ln\!\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right).
  1. حل في R\mathbb{R} المعادلة التالية (E):ln⁡(x2−1)+2ln⁡(2)=ln⁡(4x−1).(E):\ln(x^{2}-1)+2\ln(2)=\ln(4x-1).

تمرين ①

  1. ليكن aa و bb عددين من R+∗.\mathbb{R}_{+}^{*}. بسّط العدد التالي:
A=ln⁡(ab2)−ln⁡ ⁣(a2b53)+ln⁡ ⁣(ab)−ln⁡ ⁣(a2b64).A=\ln(ab^{2})-\ln\!\left(\sqrt[3]{a^{2}b^{5}}\right)+\ln\!\left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)-\ln\!\left(\sqrt[4]{a^{2}b^{6}}\right).
  1. حل في R\mathbb{R} المعادلة التالية: ln⁡(x−1)+ln⁡(x−3)=ln⁡(3).\ln(x-1)+\ln(x-3)=\ln(3).

خاصية

  • المعادلة ln⁡(x)=1\ln(x)=1 تقبل حلاً وحيداً على ]0;+∞[]0{;}+\infty[ يُرمز له بـ ee (e≃2,71e\simeq 2{,}71).
  • لكل r∈Qr\in\mathbb{Q} لدينا: ln⁡(er)=r.\ln(e^{r})=r.

مثال

لنحل المعادلة 4ln⁡(x)=3.4\ln(x)=3.

ليكن x>0.x>0. لدينا

4ln⁡(x)=3⇔ln⁡(x)=34⇔ln⁡(x)=ln⁡ ⁣(e34)⇔x=e34.4\ln(x)=3\Leftrightarrow\ln(x)=\frac{3}{4}\Leftrightarrow\ln(x)=\ln\!\left(e^{\frac{3}{4}}\right)\Leftrightarrow x=e^{\frac{3}{4}}.

بما أن e34>0e^{\frac{3}{4}}>0، فإن مجموعة حلول هذه المعادلة هي S={e34}.S=\left\{e^{\frac{3}{4}}\right\}.

تطبيق ④

  1. حل في R\mathbb{R} المعادلة x2−4x+3=0.x^{2}-4x+3=0.
  1. استنتج حلول المعادلة ln⁡(x)2−4ln⁡(x)+3=0.\ln(x)^{2}-4\ln(x)+3=0.

تمرين ②

حل في R\mathbb{R} ما يلي:

① ln⁡2x−ln⁡x=0.\ln^{2}x-\ln x=0.

② ln⁡2(x)+ln⁡(x)−6≥0.\ln^{2}(x)+\ln(x)-6\ge 0.

③

{ln⁡x2+ln⁡y5=16ln⁡x3+ln⁡y3=6.\begin{cases}\ln x^{2}+\ln y^{5}=16\ln x^{3}+\ln y^{3}=6\end{cases}.

④

{x−y=2ln⁡x+ln⁡y=ln⁡3.\begin{cases}x-y=2\ln x+\ln y=\ln 3\end{cases}.

  1. نهايات اعتيادية

خاصية

  • lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty
  • lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty
  • lim⁡x→1ln⁡(x)x−1=1\lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1
  • lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0
  • lim⁡x→+∞ln⁡xxn=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{n}}=0 (n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*})
  • lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=1\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1
  • lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0
  • lim⁡x→0+xnln⁡x=0\lim_{x\to 0^{+}}x^{n}\ln x=0 (n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}).

مثال

لنحسب lim⁡x→+∞(ln⁡x−x).\lim_{x\to+\infty}(\ln x-x).

لدينا

lim⁡x→+∞(ln⁡x−x)=lim⁡x→+∞x(ln⁡xx−1)=−∞\lim_{x\to+\infty}(\ln x-x)=\lim_{x\to+\infty}x\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)=-\infty

لأن

lim⁡x→+∞(ln⁡xx−1)=−1.\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)=-1.

تطبيق ⑤

احسب النهايات التالية:

① lim⁡x→+∞(ln⁡x−x).\lim_{x\to+\infty}(\ln x-\sqrt{x}).

② lim⁡x→+∞ln⁡xx.\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}.

③ lim⁡x→+∞ln⁡x+4x2.\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x+4}{x^{2}}.

④ lim⁡x→0+ln⁡ ⁣(xx+1).\lim_{x\to 0^{+}}\ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right).

⑤ lim⁡x→+∞ln⁡(x2+1)x.\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x}.

⑥ lim⁡x→+∞ln⁡(x2+1)x3.\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x^{3}}.

⑦ lim⁡x→+∞(2ln⁡2x−ln⁡x+1).\lim_{x\to+\infty}(2\ln^{2}x-\ln x+1).

⑧ lim⁡x→2−ln⁡(2−x).\lim_{x\to 2^{-}}\ln(2-x).

⑨

lim⁡x→3ln⁡ ⁣(x3)x−3.\lim_{x\to 3}\frac{\ln\!\left(\frac{x}{3}\right)}{x-3}.

تمرين ③

احسب النهايات التالية:

① lim⁡x→+∞(2x−ln⁡x).\lim_{x\to+\infty}(2x-\ln x).

② lim⁡x→+∞(x2−5ln⁡x).\lim_{x\to+\infty}(x^{2}-5\ln x).

③ lim⁡x→0+x4(ln⁡x)3.\lim_{x\to 0^{+}}x^{4}(\ln x)^{3}.

④ lim⁡x→+∞ln⁡2xx.\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^{2}x}{x}.

⑤ lim⁡x→+∞ln⁡3xx2.\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^{3}x}{x^{2}}.

⑥ lim⁡x→0+(1x+ln⁡x).\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}+\ln x\right).

⑦ lim⁡x→+∞ln⁡xx+ln⁡x.\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x+\ln x}.

⑧ lim⁡x→+∞ln⁡(2x+3)x2+1.\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(2x+3)}{x^{2}+1}.

⑨

lim⁡x→−∞ln⁡ ⁣(x2+x+13+2x2).\lim_{x\to-\infty}\ln\!\left(\frac{x^{2}+x+1}{3+2x^{2}}\right).

⑩ lim⁡x→eln⁡x−1x−e.\lim_{x\to e}\frac{\ln x-1}{x-e}.

⑪

lim⁡x→+∞2ln⁡2x−ln⁡x1+ln⁡x.\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln^{2}x-\ln x}{1+\ln x}.

⑫ lim⁡x→0ln⁡(1+2x2−x)2x.\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x^{2}-x)}{2x}.

  1. دراسة الدالة x↦ln⁡xx\mapsto\ln x

جدول تغيرات ln⁡\ln

xx
00
+∞+\infty
ln⁡(x)\ln(x)
−∞-\infty
+∞+\infty

الفروع اللانهائية

  • لدينا lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty، إذن محور الأراتيب مقارِب عمودي لـ (Cln⁡).(C_{\ln}).
  • لدينا lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty و lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0، إذن المنحنى (Cln⁡)(C_{\ln}) يقبل فرعاً قطعياً مكافئاً باتجاه محور الأفاصيل.

تقعر منحنى x↦ln⁡(x)x\mapsto\ln(x)

لكل x>0x>0، لدينا (ln⁡(x))′′=−1x2<0(\ln(x))''=-\frac{1}{x^{2}}<0، إذن المنحنى (Cln⁡)(C_{\ln}) مقعّر.

التمثيل المبياني لـ $\ln$
التمثيل المبياني لـ x↦ln⁡(x)x\mapsto\ln(x) — يمر من (1;0)(1{;}0) و (e;1)(e{;}1).

  1. مشتقة الدالة x↦ln⁡xx\mapsto\ln x

خاصية

  • إذا كانت uu دالة قابلة للاشتقاق وموجبة قطعاً على مجال II، فإن الدالة f:x⟼ln⁡(u(x))f:x\longmapsto\ln(u(x)) قابلة للاشتقاق على II ولدينا: (∀x∈I):f′(x)=u′(x)u(x).(\forall x\in I):f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • إذا كانت uu دالة قابلة للاشتقاق ولا تنعدم على المجال II، فإن الدالة f:x⟼ln⁡(∣u(x)∣)f:x\longmapsto\ln(\lvert u(x)\rvert) قابلة للاشتقاق على II ولدينا: (∀x∈I):f′(x)=u′(x)u(x).(\forall x\in I):f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

مثال

نعتبر الدالة المعرّفة على ]0;+∞[]0{;}+\infty[ بـ f(x)=ln⁡(x).f(x)=\ln(\sqrt{x}).

بما أن الدالة x↦xx\mapsto\sqrt{x} قابلة للاشتقاق وموجبة قطعاً على ]0;+∞[]0{;}+\infty[، فإن الدالة ff قابلة للاشتقاق على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[.

ولدينا:

(∀x∈]0;+∞[):f′(x)=(x)′x=12x x=12x.(\forall x\in]0{;}+\infty[):f'(x)=\frac{(\sqrt{x})'}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\,\sqrt{x}}=\frac{1}{2x}.

تطبيق ⑥

  1. بيّن أن x↦ln⁡(x2−x+1)x\mapsto\ln(x^{2}-x+1) قابلة للاشتقاق على R\mathbb{R} ثم حدّد مشتقتها.
  1. حدّد f′f' في الحالات التالية:

① f(x)=ln⁡(x2+4).f(x)=\ln(\sqrt{x^{2}+4}).

② f(x)=ln⁡(ln⁡x).f(x)=\ln(\ln x).

③ f(x)=ln⁡ ⁣(x2x−1).f(x)=\ln\!\left(\frac{x}{2x-1}\right).

نتيجة

لتكن uu دالة قابلة للاشتقاق ولا تنعدم على مجال I.I. الدوال الأصلية للدالة x⟼u′(x)u(x)x\longmapsto\frac{u'(x)}{u(x)} على II هي الدوال x↦ln⁡∣u(x)∣+cx\mapsto\ln\lvert u(x)\rvert+c حيث c∈R.c\in\mathbb{R}.

مثال

لنحدّد الدوال الأصلية للدالة

f:x⟼xx2+4−14x+3f:x\longmapsto\frac{x}{x^{2}+4}-\frac{1}{4x+3}

على المجال I=]−34;+∞[.I=\left]-\frac{3}{4}{;}+\infty\right[.

لدينا

f(x)=12×(x2+4)′x2+4−14×(4x+3)′4x+3.f(x)=\frac{1}{2}\times\frac{(x^{2}+4)'}{x^{2}+4}-\frac{1}{4}\times\frac{(4x+3)'}{4x+3}.

إذن الدوال الأصلية لـ ff على II هي

x⟼12ln⁡(∣x2+4∣)−14ln⁡(∣4x+3∣)+c.x\longmapsto\frac{1}{2}\ln(\lvert x^{2}+4\rvert)-\frac{1}{4}\ln(\lvert 4x+3\rvert)+c.

أي

x⟼12ln⁡(x2+4)−14ln⁡(4x+3)+cx\longmapsto\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)-\frac{1}{4}\ln(4x+3)+c

حيث c∈R.c\in\mathbb{R}.

تطبيق ⑦

حدّد مجموعة الدوال الأصلية لـ ff في الحالات التالية:

① f(x)=x−1x2−2x+1.f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-2x+1}.

② f(x)=1xln⁡(x).f(x)=\frac{1}{x\ln(x)}.

③ f(x)=xx+1.f(x)=\frac{x}{x+1}.

④ f(x)=tan⁡x.f(x)=\tan x.

Ⅱ. دالة اللوغاريتم ذات الأساس aa

  1. تعريف وخصائص

تعريف

ليكن aa عدداً حقيقياً موجباً قطعاً ومختلفاً عن 1.1. دالة اللوغاريتم ذات الأساس aa هي الدالة، المرموز لها بـ log⁡a(x)\log_{a}(x)، المعرّفة على ]0;+∞[]0{;}+\infty[ بـ log⁡a(x)=ln⁡(x)ln⁡(a).\log_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}.

ملاحظات

  • log⁡e(x)=ln⁡(x)\log_{e}(x)=\ln(x)
  • log⁡a(a)=1\log_{a}(a)=1
  • log⁡a(1)=0\log_{a}(1)=0
  • log⁡a(ar)=r\log_{a}(a^{r})=r (r∈Qr\in\mathbb{Q}).

خاصية

لكل عددين حقيقيين موجبين قطعاً xx و yy ولكل r∈Qr\in\mathbb{Q} لدينا:

  • log⁡a(xy)=log⁡a(x)+log⁡a(y)\log_{a}(xy)=\log_{a}(x)+\log_{a}(y)
  • log⁡a(xr)=rlog⁡a(x)\log_{a}(x^{r})=r\log_{a}(x)
  • log⁡a ⁣(1x)=−log⁡a(x)\log_{a}\!\left(\frac{1}{x}\right)=-\log_{a}(x)
log⁡a ⁣(xy)=log⁡a(x)−log⁡a(y).\log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{a}(x)-\log_{a}(y).

مثال

لدينا:

log⁡12(24)=4log⁡12(2)=−4log⁡12 ⁣(12)=−4.\log_{\frac{1}{2}}(2^{4})=4\log_{\frac{1}{2}}(2)=-4\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{2}\right)=-4.

تطبيق ⑧

بسّط العدد التالي:

A=log⁡2(8)−log⁡3(27)+log⁡5 ⁣(1125).A=\log_{2}(8)-\log_{3}(27)+\log_{5}\!\left(\frac{1}{125}\right).

  1. دراسة الدالة log⁡a\log_{a}

خاصية

ليكن a∈R∗∖{1}.a\in\mathbb{R}^{*}\setminus\{1\}.

  • إذا كان a>1a>1، فإن الدالة log⁡a\log_{a} تزايدية قطعاً على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[.
  • إذا كان 0<a<10<a<1، فإن الدالة log⁡a\log_{a} تناقصية قطعاً على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[.

الدالة log⁡a\log_{a} قابلة للاشتقاق على ]0;+∞[]0{;}+\infty[ ولدينا

(∀x∈]0;+∞[):log⁡a′(x)=1xln⁡(a).(\forall x\in]0{;}+\infty[):\log'_{a}(x)=\frac{1}{x\ln(a)}.

إذن إشارة log⁡a′(x)\log'_{a}(x) تتعلق بإشارة ln⁡a\ln a، مما يقودنا إلى مناقشة حالتين:

  • a>1a>1 (أي ln⁡a>0\ln a>0)
  • 0<a<10<a<1 (أي ln⁡a<0\ln a<0).

حالة a>1a>1

xx
00
+∞+\infty
log⁡a(x)\log_{a}(x)
−∞-\infty
+∞+\infty

حالة 0<a<10<a<1

xx
00
+∞+\infty
log⁡a(x)\log_{a}(x)
+∞+\infty
−∞-\infty

نتيجة

لكل عددين حقيقيين موجبين قطعاً xx و y.y. لدينا:

  • إذا كان a>1a>1، فإن log⁡a(x)>log⁡a(y)⇔x>y.\log_{a}(x)>\log_{a}(y)\Leftrightarrow x>y.
  • إذا كان 0<a<10<a<1، فإن log⁡a(x)>log⁡a(y)⇔x<y.\log_{a}(x)>\log_{a}(y)\Leftrightarrow x<y.

تطبيق ⑨

حل في R\mathbb{R} المتراجحات التالية:

①

log⁡12(2−x)≤log⁡12(x+4).\log_{\frac{1}{2}}(2-x)\le\log_{\frac{1}{2}}(x+4).

② log⁡3(2−x)≤log⁡3(x+4).\log_{3}(2-x)\le\log_{3}(x+4).

  1. دالة اللوغاريتم العشري

تعريف

دالة اللوغاريتم العشري هي دالة اللوغاريتم ذات الأساس 10.10. يُرمز لها بـ log⁡\log ولدينا

(∀x∈]0;+∞[):log⁡(x)=ln⁡(x)ln⁡(10).(\forall x\in]0{;}+\infty[):\log(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}.

ملاحظات

  • log⁡(1)=0\log(1)=0
  • log⁡(10)=1\log(10)=1
  • log⁡(10r)=r\log(10^{r})=r (r∈Qr\in\mathbb{Q}).

مثال

log⁡(0,001)=log⁡(10−3)=−3.\log(0{,}001)=\log(10^{-3})=-3.

تطبيق ①

بسّط العدد التالي:

A=log⁡(1000)−log⁡(0,0001)+log⁡ ⁣(110000).A=\log(1000)-\log(0{,}0001)+\log\!\left(\frac{1}{10000}\right).

خاصية

(∀x>0)(∀r∈Q):log⁡(x)=r⇔x=10r.(\forall x>0)(\forall r\in\mathbb{Q}):\log(x)=r\Leftrightarrow x=10^{r}.
  • log⁡(x)>r⇔x>10r.\log(x)>r\Leftrightarrow x>10^{r}.
  • log⁡(x)≤r⇔0<x≤10r.\log(x)\le r\Leftrightarrow 0<x\le 10^{r}.

مثال

قيمة pH\mathrm{pH} لمحلول مائي هي pH=−log⁡([H3O+]).\mathrm{pH}=-\log([H_{3}O^{+}]). وبالتالي: [H3O+]=10−pH.[H_{3}O^{+}]=10^{-\mathrm{pH}}.

تطبيق ②

حل في R\mathbb{R} المعادلة (E):log⁡(x+11)+log⁡(x−4)=2.(E):\log(x+11)+\log(x-4)=2.

تمرين توليفي — مقتطف من الاستدراك 2022

لتكن ff الدالة العددية المعرّفة على [0;+∞[[0{;}+\infty[ بـ

{f(x)=x4(ln⁡x−1)2; x>0f(0)=0\begin{cases}f(x)=x^{4}(\ln x-1)^{2}&;\,x>0\\f(0)=0\end{cases}

و (C)(C) منحناها في معلم متعامد منظم (O;ı⃗,ȷ⃗)(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}) (الوحدة: 1cm1\mathrm{cm}).

  1. احسب lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x) ثم حدّد الفرع اللانهائي لـ (C)(C) بجوار +∞.+\infty.
  1. أ. بيّن أن ff متصلة يميناً في 0.0. ب. ادرس قابلية اشتقاق ff يميناً في 00 ثم فسّر النتيجة هندسياً.
  1. أ. بيّن أن f′(x)=2x3(ln⁡x−1)(2ln⁡x−1)f'(x)=2x^{3}(\ln x-1)(2\ln x-1) لكل xx من المجال ]0;+∞[.]0{;}+\infty[. ب. أنشئ جدول تغيرات f.f.
  1. أ. علماً أن f′′(x)=2x2(6ln⁡x−5)ln⁡xf''(x)=2x^{2}(6\ln x-5)\ln x لكل xx من ]0;+∞[]0{;}+\infty[، ادرس إشارة f′′(x)f''(x) على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[. ب. استنتج أن المنحنى (C)(C) يقبل نقطتي انعطاف يُطلب تحديد أفصوليهما.
  1. أ. أنشئ (C)(C) في المعلم (O;ı⃗,ȷ⃗)(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}) (نأخذ: e≈1,6\sqrt{e}\approx 1{,}6 و e2≈7,2e^{2}\approx 7{,}2). ب. باستعمال المنحنى (C)(C)، حدّد عدد حلول المعادلة x2(ln⁡x−1)=−1.x^{2}(\ln x-1)=-1.
  1. نعتبر الدالة gg المعرّفة على R\mathbb{R} بـ g(x)=f(∣x∣).g(x)=f(\lvert x\rvert). أ. بيّن أن الدالة gg زوجية. ب. أنشئ (Cg)(C_{g}) منحنى gg في نفس المعلم (O;ı⃗,ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}).

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ