سلسلة تمارين: الدوال اللوغاريتمية

1. ليكن $a$ و $b$ عددين من $\mathbb{R}_{+}^{*}.$ بسّط العدد التالي:

2. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة التالية: $\ln(x-1)+\ln(x-3)=\ln(3).$

حل في $\mathbb{R}$ ما يلي:

① $\ln^{2}x-\ln x=0.$

② $\ln^{2}(x)+\ln(x)-6\ge 0.$

③

④

احسب النهايات التالية:

1. $\lim_{x\to+\infty}(2x-\ln x).$

2. $\lim_{x\to+\infty}(x^{2}-5\ln x).$

3. $\lim_{x\to 0^{+}}x^{4}(\ln x)^{3}.$

4. $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^{2}x}{x}.$

5. $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^{3}x}{x^{2}}.$

6. $\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}+\ln x\right).$

7. $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x+\ln x}.$

8. $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(2x+3)}{x^{2}+1}.$

10. $\lim_{x\to e}\frac{\ln x-1}{x-e}.$

12. $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x^{2}-x)}{2x}.$

لتكن $f$ الدالة العددية المعرّفة على $[0{;}+\infty[$ بـ

و $(C)$ منحناها في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ (الوحدة: $1\mathrm{cm}$).

1. احسب $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ ثم حدّد الفرع اللانهائي لـ $(C)$ بجوار $+\infty.$

2. أ. بيّن أن $f$ متصلة يميناً في $0.$ ب. ادرس قابلية اشتقاق $f$ يميناً في $0$ ثم فسّر النتيجة هندسياً.

3. أ. بيّن أن $f'(x)=2x^{3}(\ln x-1)(2\ln x-1)$ لكل $x$ من $]0{;}+\infty[.$ ب. أنشئ جدول تغيرات $f.$

4. أ. علماً أن $f''(x)=2x^{2}(6\ln x-5)\ln x$ لكل $x$ من $]0{;}+\infty[$، ادرس إشارة $f''(x)$ على $]0{;}+\infty[.$ ب. استنتج أن المنحنى $(C)$ يقبل نقطتي انعطاف يُطلب تحديد أفصوليهما.

5. أ. أنشئ $(C)$ في المعلم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ (نأخذ: $\sqrt{e}\approx 1{,}6$ و $e^{2}\approx 7{,}2$). ب. باستعمال المنحنى $(C)$، حدّد عدد حلول المعادلة $x^{2}(\ln x-1)=-1.$

6. لتكن الدالة $g$ المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $g(x)=f(\lvert x\rvert).$ أ. بيّن أن $g$ زوجية. ب. أنشئ $(C_{g})$ في نفس المعلم.

لتكن $f$ الدالة العددية المعرّفة على $[0{;}+\infty[$ بـ

و $(C)$ منحناها في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ (الوحدة: $1\mathrm{cm}$).

1. بيّن أن $f$ متصلة يميناً في النقطة $0.$

2. أ. احسب $\lim_{x\to+\infty}f(x).$ ب. احسب $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ ثم فسّر هندسياً.

3. أ. احسب $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{x}$ وفسّر هندسياً. ب. احسب $f'(x)$ لكل $x$ من $]0{;}+\infty[.$ ج. أنشئ جدول تغيرات $f$ على $[0{;}+\infty[.$

4. أ. حل في $]0{;}+\infty[$ المعادلتين $f(x)=0$ و $f(x)=x.$ ب. أنشئ المنحنى $(C)$ (نأخذ: $e^{\frac{3}{2}}\approx 4{,}5$).

5. أ. حدّد القيمة الدنيا لـ $f$ على $]0{;}+\infty[.$ ب. استنتج أن لكل $x$ من $]0{;}+\infty[$: $\ln x\ge\frac{x-1}{x}.$

6. لتكن $g$ قصْر الدالة $f$ على المجال $[1{;}+\infty[.$ أ. بيّن أن $g$ تقبل دالة عكسية $g^{-1}$ معرّفة على مجال $J$ يُطلب تحديده. ب. أنشئ في نفس المعلم منحنى $g^{-1}.$

7. نعتبر $h$ الدالة العددية المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ

أ. ادرس اتصال $h$ في $0.$ ب. ادرس قابلية اشتقاق $h$ يساراً في $0$ وفسّر مبيانياً. ج. هل $h$ قابلة للاشتقاق في $0؟$ علّل.

نعتبر الدالة $g$ المعرّفة على $]0{;}+\infty[$ بـ: $g(x)=2\sqrt{x}-2-\ln x.$

1. أ. بيّن لكل $x$ من $]0{;}+\infty[$ أن $g'(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x}.$ ب. بيّن أن $g$ تزايدية قطعاً على $[1{;}+\infty[.$ ج. استنتج لكل $x$ من $[1{;}+\infty[$ أن $0\le\ln x\le 2\sqrt{x}.$ (لاحظ أن $2\sqrt{x}-2\le 2\sqrt{x}$).

د. بيّن لكل $x$ من $[1{;}+\infty[$ أن

ثم استنتج $\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^{3}}{x^{2}}.$

2. بيّن أن الدالة

دالة أصلية لـ $g$ على $]0{;}+\infty[.$

الجزء الأول: لتكن $f$ الدالة العددية المعرّفة على $]0{;}+\infty[$ بـ:

و $(C)$ منحناها في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ (الوحدة: $1\mathrm{cm}$).

1. احسب $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)$ وفسّر هندسياً.

2. أ. تحقّق أن لكل $x$ من $]0{;}+\infty[$:

ب. استنتج أن $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$ ج. بيّن أن لكل $x$ من $]0{;}+\infty[$:

ثم استنتج أن $\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x}=0.$ د. بيّن أن $(C)$ يقبل بجوار $+\infty$ فرعاً قطعياً مكافئاً باتجاه المستقيم $(\Delta)$ ذي المعادلة $y=x.$

3. أ. تحقّق أن لكل $x$ من $]0{;}1]$: $(x-1)+\ln x\le 0$ ولكل $x$ من $[1{;}+\infty[$: $(x-1)+\ln x\ge 0.$ ب. بيّن أن لكل $x$ من $]0{;}+\infty[$: $f'(x)=\frac{x-1+\ln x}{x}.$

ج. أنشئ جدول تغيرات الدالة $f.$

4. أ. بيّن أن $f''(x)=\frac{2-\ln x}{x^{2}}$ لكل $x$ من $]0{;}+\infty[.$ ب. استنتج أن $(C)$ يقبل نقطة انعطاف يُطلب تحديد إحداثيتيها.

5. أ. بيّن أن لكل $x$ من $]0{;}+\infty[$: $f(x)-x=\frac{1}{2}(\ln x-1)^{2}$ واستنتج الوضع النسبي لـ $(C)$ و $(\Delta).$ ب. أنشئ $(\Delta)$ و $(C)$ في نفس المعلم.

الجزء الثاني: لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرّفة بـ: $u_{0}=1$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل $n\in\mathbb{N}.$

1. أ. بيّن بالاستقراء أن $1\le u_{n}\le e$ لكل $n\in\mathbb{N}.$ ب. بيّن أن $(u_{n})$ تزايدية. ج. استنتج أن $(u_{n})$ متقاربة.

2. احسب نهاية المتتالية $(u_{n}).$

Ⅰ. لتكن $g$ الدالة المعرّفة على $]0{;}+\infty[$ بـ: $g(x)=x^{2}+x-2+2\ln x.$

1. تحقّق من أن: $g(1)=0.$

2. انطلاقاً من جدول تغيرات الدالة $g$ (حيث $g'(x)>0$ و $g$ تزايدية من $-\infty$ إلى $+\infty$ مع $g(1)=0$): بيّن أن $g(x)\le 0$ لكل $x$ من $]0{;}1]$ وأن $g(x)\ge 0$ لكل $x$ من $[1{;}+\infty[.$

Ⅱ. نعتبر $f$ الدالة المعرّفة على $]0{;}+\infty[$ بـ: $f(x)=x+\left(1-\frac{2}{x}\right)\ln x.$ ليكن $(C)$ منحنى $f$ في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ (الوحدة: $1\mathrm{cm}$).

1. بيّن أن: $\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)=+\infty$ وفسّر هندسياً.

2. أ. بيّن أن $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$ ب. بيّن أن المنحنى $(C)$ يقبل بجوار $+\infty$ فرعاً قطعياً مكافئاً باتجاه المستقيم $(D)$ ذي المعادلة $y=x.$

3. أ. بيّن أن: $f'(x)=\frac{g(x)}{x^{2}}$ لكل $x$ من $]0{;}+\infty[.$ ب. بيّن أن $f$ تناقصية على $]0{;}1]$ وتزايدية على $[1{;}+\infty[.$ ج. أنشئ جدول تغيرات $f$ على $]0{;}+\infty[.$

4. أ. حل في $]0{;}+\infty[$ المعادلة: $\left(1-\frac{2}{x}\right)\ln x=0.$ ب. استنتج أن المنحنى $(C)$ يقطع المستقيم $(D)$ في نقطتين يُطلب تحديد إحداثيتيهما. ج. بيّن أن $f(x)\le x$ لكل $x$ من $[1{;}2]$ واستنتج الوضع النسبي لـ $(C)$ و $(D)$ على $[1{;}2].$

5. أنشئ، في نفس المعلم، المستقيم $(D)$ والمنحنى $(C)$ (نقبل أن للمنحنى $(C)$ نقطة انعطاف وحيدة أفصولها محصور بين $2{,}4$ و $2{,}5$).

Ⅲ. نعتبر المتتالية العددية $(u_{n})$ المعرّفة بـ $u_{0}=\sqrt{3}$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل عدد طبيعي $n.$

1. بيّن بالاستقراء أن: $1\le u_{n}\le 2$ لكل عدد طبيعي $n.$

2. بيّن أن المتتالية $(u_{n})$ تناقصية (يمكن استعمال نتيجة السؤال Ⅱ.4.ج).

3. استنتج أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة وحدّد نهايتها.

الجزء الأول: نعتبر الدالة $g$ المعرّفة على $]0{;}+\infty[$ بـ: $g(x)=x^{3}-1-2(\ln x)^{2}+2\ln x.$ تحقّق من أن $g(1)=0.$ انطلاقاً من جدول تغيرات $g$ (حيث $g'(x)>0$ و $g$ تزايدية من $-\infty$ إلى $+\infty$): حدّد إشارة $g(x)$ على $]0{;}1]$ و $[1{;}+\infty[.$

الجزء الثاني: لتكن الدالة $f$ المعرّفة على $]0{;}+\infty[$ بـ:

وليكن $(C_{f})$ تمثيلها المبياني في المعلم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}).$

1. احسب $\lim_{x\to+\infty}f(x).$

2. بيّن أن المستقيم ذي المعادلة $(D):y=x-\frac{1}{2}$ مقارِب مائل لـ $(C_{f})$ بجوار $+\infty.$

3. ادرس الوضع النسبي لـ $(C_{f})$ و $(D).$

4. بيّن أن

، ثم أعطِ جدول تغيرات $f$ على $]0{;}+\infty[.$

5. مثّل $(C_{f})$ على المعلم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}).$

الجزء الثالث: نعتبر الدالة $h$ المعرّفة على $]0{;}+\infty[$ بـ: $h(x)=f(x)-x.$

1. تحقّق من أن $h(1)=0.$

2. انطلاقاً من منحنى $h$ (حيث $h$ تناقصية، $h(1)=0$، و $h(x)\to-\frac{1}{2}$ عندما $x\to+\infty$): حدّد إشارة $h$ ثم استنتج أن $(\forall x\in[1{;}+\infty[),\ f(x)\le x.$

3. لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرّفة على $\mathbb{N}$ بـ: $u_{0}=e$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل عدد طبيعي $n.$ أ. بيّن أن $(\forall n\in\mathbb{N});\ 1\le u_{n}\le e.$ ب. بيّن أن $(u_{n})$ تناقصية (استعمل السؤال 2 من الجزء الثالث).

4. استنتج أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة وحدّد نهايتها.