الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

الدرس 08

الحساب التكاملي

تكامل دالة متصلة على قطعة، علاقة شال والخطية والترتيب والقيمة المتوسطة، المكاملة بالأجزاء، حساب المساحات وأحجام الدوران.

سلسلة التمارين 08 — سلسلة تمارين: الحساب التكاملي

Ⅰ. تكامل دالة متصلة على قطعة

تعريف

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $[a{;}b]$ و $F$ دالة أصلية لـ $f$ على $[a{;}b].$ العدد $F(b)-F(a)$ يُسمّى تكامل $f$ من $a$ إلى $b$ ونكتب:

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b}=F(b)-F(a).

مثال

لنحسب التكامل التالي $\int_{0}^{1}\sqrt{x+1}\,dx.$

الدالة $x\mapsto\sqrt{x+1}$ متصلة على $[0{;}1].$

إذن:

\int_{0}^{1}\sqrt{x+1}\,dx=\int_{0}^{1}(x+1)'\sqrt{x+1}\,dx=\int_{0}^{1}(x+1)'(x+1)^{\frac{1}{2}}\,dx=\left[\frac{2}{3}\sqrt{(x+1)^{3}}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\bigl(\sqrt{8}-1\bigr).

تطبيق ①

احسب التكاملات التالية:

أ. $\int_{0}^{2}(x+4)\,dx$

ب. $\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx$

ج. $\int_{e^{2}}^{e^{4}}\frac{\ln(x)}{x}\,dx$

د. $\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\,dx$

هـ. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(2x)\,dx$

و. $\int_{-2}^{-1}x\,2^{-x^{2}}\,dx$

ملاحظة

في الكتابة $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ ، يمكن تعويض المتغير $x$ بأي حرف آخر.

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(y)\,dy=\int_{a}^{b}f(t)\,dt=\cdots.

تمرين ①

احسب التكاملات التالية:

$I_{1}=\int_{-1}^{1}(2x^{3}-5x^{2}+2)\,dx$

I_{2}=\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}\right)\,dx

I_{3}=\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\,dx

$I_{4}=\int_{0}^{4}x\sqrt{1+x^{2}}\,dx$

$I_{5}=\int_{0}^{\ln 3}e^{x}\sqrt{e^{x}+1}\,dx$

I_{6}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos x\cdot\sin^{5}x\,dx

$I_{7}=\int_{1}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-2x+2}\,dx$

$I_{8}=\int_{0}^{1}(1-x)e^{x^{2}-2x+3}\,dx$

I_{9}=\int_{1}^{e^{2}}\frac{1}{x\sqrt{1+\ln x}}\,dx

نتائج

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I.$ لكل $a$ و $b$ و $c$ من $I$ لدينا:

$\int_{a}^{a}f(x)\,dx=0.$
$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx.$

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx

(علاقة شال).

مثال

\int_{-3}^{2}\lvert x\rvert\,dx=\int_{-3}^{0}\lvert x\rvert\,dx+\int_{0}^{2}\lvert x\rvert\,dx=\int_{-3}^{0}(-x)\,dx+\int_{0}^{2}x\,dx=\left[-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-3}^{0}+\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\frac{13}{2}.

تطبيق ②

احسب التكاملات التالية:

أ.

\int_{-1}^{1}\frac{2\lvert x\rvert}{x^{2}+1}\,dx

ب. $\int_{-1}^{5}\lvert x^{2}-4x\rvert\,dx$

ج. $\int_{0}^{2}\lvert e^{-x+1}-1\rvert\,dx$

خاصية

ليكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على المجال $[a{;}b]$ و $k\in\mathbb{R}.$

\int_{a}^{b}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx.

$\int_{a}^{b}kf(x)\,dx=k\int_{a}^{b}f(x)\,dx.$

تطبيق ③

نعتبر التكاملين $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(3x)\cos(x)\,dx$ و $J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin(3x)\sin(x)\,dx.$

تحقّق من أن $\cos(3x)\cos(x)+\sin(3x)\sin(x)=\cos(2x)$ لكل $x\in\mathbb{R}.$

تحقّق من أن $\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x)=\cos(4x)$ لكل $x\in\mathbb{R}.$

احسب $I+J$ و $I-J$ ثم استنتج $I$ و $J.$

تمرين ②

نضع: $K=\int_{0}^{\ln 2}\frac{e^{t}-1}{e^{t}+1}\,dt$ و $L=\int_{0}^{\ln 2}\frac{1}{e^{t}+1}\,dt.$

احسب $K+L$ و $K+2L$ ثم استنتج قيمتي $K$ و $L.$

Ⅱ. التكامل والترتيب — القيمة المتوسطة

التكامل والترتيب

خاصية

ليكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على المجال $[a{;}b]$ ( $a\le b$ ).

إذا كان $(\forall x\in[a{;}b]):f(x)\ge 0$ ، فإن $\int_{a}^{b}f(x)\,dx\ge 0.$
إذا كان $(\forall x\in[a{;}b]):f(x)\le g(x)$ ، فإن $\int_{a}^{b}f(x)\,dx\le\int_{a}^{b}g(x)\,dx.$

تطبيق ④

بيّن أن: $\int_{1}^{2}\ln(x^{2}+1)\,dx\ge 0.$

بيّن أن:

-\frac{1}{2}\le\int_{1}^{2}\frac{\sin(x)}{x^{2}}\,dx\le\frac{1}{2}.

القيمة المتوسطة لدالة متصلة على قطعة

تعريف

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $[a{;}b]$ ( $a\le b$ ). يوجد على الأقل عدد حقيقي $c\in[a{;}b]$ بحيث: $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.$ العدد $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ يُسمّى القيمة المتوسطة للدالة $f$ على المجال $[a{;}b].$

مثال

القيمة المتوسطة للدالة $x\mapsto\frac{2x}{1+x^{2}}$ على المجال $[1{;}3]$ هي

\frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.

أي:

\frac{1}{2}\bigl[\ln(x^{2}+1)\bigr]_{1}^{3}=\frac{\ln(5)}{2}.

تطبيق ⑤

احسب القيمة المتوسطة للدالة $x\mapsto\frac{\ln^{2}(x)+x}{x}$ على المجال $[1{;}e].$

Ⅲ. تقنيات حساب التكاملات

استعمال الدوال الأصلية

تطبيق ⑥

احسب التكاملات التالية:

$I=\int_{2}^{e}\frac{1}{x(\ln(x)+1)}\,dx$ ؛ $J=\int_{0}^{1}t e^{t^{2}}\,dt$ ؛ $K=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\tan(x)\,dx$ و $L=\int_{0}^{1}\frac{2x+2}{(x^{2}+2x+1)^{2}}\,dx.$

أ. تحقّق من أن:

(\forall x\in\mathbb{R})\quad\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.

ب. استنتج قيمة التكامل $\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx.$

تمرين ③ — مقتطف من BAC 2002

احسب التكامل

\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}(x)}-4\cos(2x)\right)\,dx.

بيّن أن

\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)'=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}

لكل حقيقي $x$ ثم احسب

\int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

تفكيك كسور ناطقة إلى مجموع كسور ناطقة

تطبيق ⑦

لتكن $f$ الدالة المعرّفة على $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ بـ $f(x)=\frac{x^{2}-6x+4}{x-1}.$

حدّد الأعداد الحقيقية $a$ و $b$ و $c$ بحيث يكون لكل $x$ من $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ : $f(x)=ax+b+\frac{c}{x-1}.$

استنتج قيمة التكامل: $\int_{2}^{3}f(x)\,dx.$

خطية الدوال المثلثية

تطبيق ⑧

خطّن الحدودية المثلثية $\cos^{3}x$ ثم احسب $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^{3}x\,dx.$

تمرين ④ — مقتطف من BAC 2003

تحقّق، لكل حقيقي $x$ ، من أن:

\sin^{2}x\cdot\cos^{3}x=\cos x\cdot\sin^{2}x-\cos x\cdot\sin^{4}x.

احسب التكامل

I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cdot\cos^{3}x\,dx.

المكاملة بالأجزاء

ليكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال $[a{;}b]$ بحيث $u'$ و $v'$ متصلتان على $[a{;}b].$ لدينا:

(\forall x\in[a{;}b]):\bigl(u(x)v(x)\bigr)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

إذن:

\int_{a}^{b}\bigl(u(x)v(x)\bigr)'\,dx=\int_{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx+\int_{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx.

ومنه

\int_{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx=\bigl[u(x)v(x)\bigr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx.

خاصية

ليكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال $I$ بحيث مشتقتاهما $u'$ و $v'$ متصلتان على $I.$ لكل $(a{,}b)\in I^{2}$ لدينا:

\int_{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx=\bigl[u(x)v(x)\bigr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx.

مثال

لنحسب التكامل $I=\int_{0}^{1}x e^{x}\,dx.$

نضع

\begin{cases}u'(x)=e^{x}\\v(x)=x\end{cases}

، إذن

\begin{cases}u(x)=e^{x}\\v'(x)=1\end{cases}.

ينتج أن

I=\bigl[x e^{x}\bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^{x}\,dx=\bigl[x e^{x}\bigr]_{0}^{1}-\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1}=e-e+1=1.

ملاحظة

اختيار الدالتين $u'$ و $v$ ليس اعتباطياً. حسن اختيارهما يلعب دوراً أساسياً في هذه التقنية. في المثال السابق إذا كان اختيارنا

\begin{cases}u'(x)=x\\v(x)=e^{x}\end{cases}

فإن

\begin{cases}u(x)=\frac{1}{2}x^{2}\\v'(x)=e^{x}\end{cases}.

فنحصل على

\int_{0}^{1}x e^{x}\,dx=\left[\frac{1}{2}x^{2}e^{x}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{2}e^{x}\,dx

مما يجعل حساب التكامل المطلوب معقّداً جداً.

تطبيق ⑨

باستعمال صيغة المكاملة بالأجزاء، احسب التكاملات التالية:

$I_{1}=\int_{1}^{e}x^{2}\ln x\,dx$ ؛

I_{2}=\int_{\frac{1}{2}}^{1}(2x-1)e^{-\frac{x}{2}}\,dx

؛ $I_{3}=\int_{2}^{e}\ln(x+2)\,dx$ و $I_{4}=\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos x\,dx.$

تمرين ⑤ — مقتطف من BAC 2001

تحقّق، لكل $x\in[0{;}1]$ ، من أن:

\frac{x^{3}+x}{x+1}=x^{2}-x+2-\frac{2}{x+1}.

باستعمال صيغة المكاملة بالأجزاء، احسب التكامل $I=\int_{0}^{1}(3x^{2}+1)\ln(x+1)\,dx.$

تمرين ⑥

باستعمال صيغة المكاملة بالأجزاء، احسب التكاملات التالية:

$I_{1}=\int_{1}^{e^{2}}x(\ln x)^{2}\,dx$

$I_{2}=\int_{1}^{2}x\sqrt{3-x}\,dx$

I_{3}=\int_{\sqrt{e}}^{e}\frac{x\ln x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx

$I_{4}=\int_{1}^{2}\frac{\ln(1+t)}{t^{2}}\,dt$

I_{5}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\cos^{2}x}\,dx

$I_{6}=\int_{1}^{2}x\,2^{x}\,dx$

I_{7}=\int_{0}^{1}\ln\!\left(\frac{x+1}{x+2}\right)\,dx

$I_{8}=\int_{0}^{1}x^{2}e^{x}\,dx$

$I_{9}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin x\,e^{x}\,dx$

Ⅳ. حساب المساحات والأحجام

حساب المساحات

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $[a{;}b]$ ( $a<b$ ) و $(C_{f})$ منحناها في معلم متعامد. مساحة المجال المحدود بـ $(C_{f})$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين $x=a$ و $x=b$ تساوي $\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert\,dx$ (بوحدة المساحة).

مساحة المجال بين المنحنى $(C_{f})$ ومحور الأفاصيل من $a$ إلى $b$ — $\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert\,dx$ هي مساحة المجال الملوّن.

تطبيق ⑩

المستوى منسوب إلى معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ مع $\lVert\vec{\imath}\rVert=1\mathrm{cm}$ و $\lVert\vec{\jmath}\rVert=\sqrt{2}\,\mathrm{cm}.$

لتكن $f$ الدالة المعرّفة بـ $f(x)=\sin(x).$ احسب مساحة المجال المحدود بمنحنى $f$ والمستقيمين $x=\frac{\pi}{2}$ و $x=-\frac{\pi}{2}.$

تمرين ⑦ — مقتطف من BAC 2015

لتكن $f$ الدالة المعرّفة على $]0{;}e[\cup]e{;}+\infty[$ بـ $f(x)=\frac{1}{x(1-\ln x)}$ و $(C_{f})$ منحنى $f$ في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ بحيث $\lVert\vec{\imath}\rVert=2\mathrm{cm}.$

بيّن أن

\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{1}{x(1-\ln x)}\,dx=\ln 2.

(لاحظ أن

\frac{1}{x(1-\ln x)}=\frac{\frac{1}{x}}{1-\ln x}

احسب، بـ $\mathrm{cm}^{2}$ ، مساحة المجال المستوي المحدود بـ $(C_{f})$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين $x=1$ و $x=\sqrt{e}.$

خاصية

ليكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على قطعة $[a{;}b]$ ، و $(C_{f})$ و $(C_{g})$ منحنييهما في معلم متعامد. ليكن $(\Delta)$ المجال المحدود بالمنحنيين $(C_{f})$ و $(C_{g})$ والمستقيمين $x=a$ و $x=b.$ مساحة المجال $(\Delta)$ بوحدات المساحة تُعطى بـ:

A(\Delta)=\int_{a}^{b}\lvert f(x)-g(x)\rvert\,dx.

المساحة بين المنحنيين $(C_{f})$ و $(C_{g})$ من $a$ إلى $b$ — $A(\Delta)=\int_{a}^{b}\lvert f(x)-g(x)\rvert\,dx$ .

تطبيق ⑪

المستوى منسوب إلى معلم متعامد $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ مع $\lVert\vec{\imath}\rVert=2\mathrm{cm}$ و $\lVert\vec{\jmath}\rVert=2\mathrm{cm}.$

نعتبر الدالتين $f$ و $g$ المعرّفتين بـ $f(x)=2x^{2}+1$ و $g(x)=x^{2}+x+1.$ احسب مساحة المجال المحدود بمنحنيي $f$ و $g$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين $x=0$ و $x=2.$

تمرين ⑧ — مقتطف من الاستدراك 2017

لتكن $f$ الدالة العددية المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x+1-(x^{2}+1)e^{x}.$ و $(C_{f})$ منحنى $f$ في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ بحيث $\lVert\vec{\imath}\rVert=2\mathrm{cm}.$

بيّن أن $H:x\mapsto(x-1)e^{x}$ دالة أصلية للدالة $h:x\mapsto x e^{x}$ على $\mathbb{R}$ ، ثم استنتج أن $\int_{-1}^{0}x e^{x}\,dx=\frac{2}{e}-1.$

باستعمال مكاملة بالأجزاء، بيّن أن

\int_{-1}^{0}(x^{2}+1)e^{x}\,dx=3\left(1-\frac{2}{e}\right).

احسب بـ $\mathrm{cm}^{2}$ مساحة المجال المستوي المحدود بـ $(C_{f})$ والمستقيم $(D)$ ذي المعادلة $y=x+1$ والمستقيمين $x=-1$ و $x=0.$

حساب الأحجام

خاصية

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath}{,}\vec{k}).$ ليكن $(a{,}b)\in\mathbb{R}^{2}$ بحيث $a<b.$ ليكن $(\Sigma)$ مجسّماً محدوداً بمستويين $z=a$ و $z=b$ ولتكن $S(t)$ مساحة تقاطع المجسّم مع المستوى $z=t$ ( $a\le t\le b$ ). حجم هذا المجسّم (بوحدات الحجم) هو: $v=\int_{a}^{b}S(t)\,dt.$

مثال — حجم أسطوانة

يُعطى أسفله أسطوانة شعاعها $R$ وارتفاعها $h.$ تقاطع المستوى $z=t$ مع الأسطوانة قرص مساحته $S(t)=\pi R^{2}.$

أسطوانة شعاعها $R$ وارتفاعها $h$ مع مقطع $z=t$ — $S(t)=\pi R^{2}$ و $V=\pi R^{2}h$ .

بما أن $t\mapsto S(t)$ متصلة على $[0{;}h]$ فإن حجم الأسطوانة هو:

V=\int_{0}^{h}S(t)\,dt=\int_{0}^{h}\pi R^{2}\,dt=\pi R^{2}\int_{0}^{h}dt=\pi R^{2}h

(بوحدات الحجم).

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $[a{;}b]$ ( $a<b$ ) و $(C_{f})$ منحناها. حجم المجسّم المولَّد بدوران المنحنى $(C_{f})$ حول محور الأفاصيل دورة كاملة يُعطى بالصيغة: $V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dx$ (بوحدات الحجم).

مجسّم دوران المنحنى $(C_{f})$ حول محور الأفاصيل — كل مقطع عمودي على محور الأفاصيل قرص شعاعه $\lvert f(x)\rvert$ .

مثال

حجم المجسّم المولَّد بدوران منحنى الدالة $x\mapsto e^{x}$ على $[0{;}1]$ حول محور الأفاصيل دورة كاملة يُعطى بـ:

V=\pi\int_{0}^{1}\bigl(e^{x}\bigr)^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{1}e^{2x}\,dx=\frac{\pi}{2}\bigl[e^{2x}\bigr]_{0}^{1}=\frac{\pi(e^{2}-1)}{2}

(بوحدات الحجم).

تطبيق ⑫

لتكن $g$ الدالة العددية المعرّفة على $[0{;}1]$ بـ $g(x)=x e^{\frac{x}{2}}.$ احسب حجم المجسّم المولَّد بدوران منحنى $g$ حول محور الأفاصيل دورة كاملة.

أجب عن السؤال نفسه للدالة $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\cos(x)}$ على المجال $\left[0{;}\frac{\pi}{4}\right].$