سلسلة تمارين: الحساب التكاملي

نشاط ①

لتكن $f$ الدالة العددية لمتغير حقيقي المعرّفة بـ $f(x)=3x^{2}-1.$

حدّد دالتين أصليتين $F$ و $G$ للدالة $f$ على $\mathbb{R}.$

احسب $F(2)-F(0)$ و $G(2)-G(0).$ ماذا تلاحظ؟

العدد $F(b)-F(a)$ لا يتعلق باختيار دالة أصلية للدالة $f.$ العدد $F(b)-F(a)$ يُسمّى تكامل الدالة $f$ من $a$ إلى $b$ ويُرمز له بـ $\int_{a}^{b}f(x)\,dx.$

تطبيق ①

احسب التكاملات التالية:

$I_{1}=\int_{0}^{2}(x+4)\,dx$

$I_{2}=\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx$

$I_{3}=\int_{e^{2}}^{e^{4}}\frac{\ln(x)}{x}\,dx$

$I_{4}=\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\,dx$

$I_{5}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(2x)\,dx$

$I_{6}=\int_{-2}^{-1}x\,2^{-x^{2}}\,dx$

تطبيق ②

احسب التكاملات التالية:

$I_{1}=\int_{-1}^{1}(2x^{3}-5x^{2}+2)\,dx$

I_{2}=\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}\right)\,dx

I_{3}=\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\,dx

$I_{4}=\int_{0}^{4}x\sqrt{1+x^{2}}\,dx$

$I_{5}=\int_{0}^{\ln 3}e^{x}\sqrt{e^{x}+1}\,dx$

I_{6}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos x\cdot\sin^{5}x\,dx

$I_{7}=\int_{1}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-2x+2}\,dx$

$I_{8}=\int_{0}^{1}(1-x)e^{x^{2}-2x+3}\,dx$

I_{9}=\int_{1}^{e^{2}}\frac{1}{x\sqrt{1+\ln x}}\,dx

تطبيق ③

احسب التكاملات التالية:

I_{1}=\int_{-1}^{1}\frac{2\lvert x\rvert}{x^{2}+1}\,dx

$I_{2}=\int_{-1}^{5}\lvert x^{2}-4x\rvert\,dx$

$I_{3}=\int_{0}^{2}\lvert e^{-x+1}-1\rvert\,dx$

تطبيق ④

نعتبر التكاملين $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(3x)\cos(x)\,dx$ و $J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin(3x)\sin(x)\,dx.$

تحقّق، لكل $x\in\mathbb{R}$ ، من أن $\cos(3x)\cos(x)+\sin(3x)\sin(x)=\cos(2x).$

تحقّق، لكل $x\in\mathbb{R}$ ، من أن $\cos(3x)\cos(x)-\sin(3x)\sin(x)=\cos(4x).$

احسب $I+J$ و $I-J$ ثم استنتج $I$ و $J.$

تطبيق ⑤

نضع: $K=\int_{0}^{\ln 2}\frac{e^{t}-1}{e^{t}+1}\,dt$ و $L=\int_{0}^{\ln 2}\frac{1}{e^{t}+1}\,dt.$

احسب $K+L$ و $K+2L$ ثم استنتج قيمتي $K$ و $L.$

تطبيق ⑥

بيّن أن: $\int_{1}^{2}\ln(x^{2}+1)\,dx\ge 0.$

بيّن أن:

-\frac{1}{2}\le\int_{1}^{2}\frac{\sin(x)}{x^{2}}\,dx\le\frac{1}{2}.

تطبيق ⑦

احسب القيمة المتوسطة للدالة $x\mapsto\frac{\ln^{2}(x)+x}{x}$ على المجال $[1{;}e].$

تطبيق ⑧

احسب التكاملات التالية:

$I=\int_{2}^{e}\frac{1}{x(\ln(x)+1)}\,dx$

$J=\int_{0}^{1}x e^{x^{2}}\,dx$

$K=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\tan(x)\,dx$

$L=\int_{0}^{1}\frac{2x+2}{(x^{2}+2x+1)^{2}}\,dx$

أ. تحقّق من أن:

(\forall x\in\mathbb{R})\quad\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.

ب. استنتج قيمة التكامل $\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx.$

تمرين ① — مقتطف من BAC 2002

احسب التكامل

\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}(x)}-4\cos(2x)\right)\,dx.

بيّن أن

\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)'=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}

لكل حقيقي $x$ ثم احسب

\int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

تطبيق ⑨

لتكن $f$ الدالة المعرّفة على $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ بـ $f(x)=\frac{x^{2}-6x+4}{x-1}.$

حدّد الأعداد الحقيقية $a$ و $b$ و $c$ بحيث يكون لكل $x$ من $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ : $f(x)=ax+b+\frac{c}{x-1}.$

استنتج قيمة التكامل: $\int_{2}^{3}f(x)\,dx.$

تطبيق ⑩

خطّن الحدودية المثلثية $\cos^{3}x$ ثم احسب $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^{3}x\,dx.$

تمرين ② — مقتطف من BAC 2003

تحقّق، لكل حقيقي $x$ ، من أن:

\sin^{2}x\cdot\cos^{3}x=\cos x\cdot\sin^{2}x-\cos x\cdot\sin^{4}x.

احسب التكامل

I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cdot\cos^{3}x\,dx.

تطبيق ⑪

باستعمال صيغة المكاملة بالأجزاء، احسب التكاملات التالية:

$I_{1}=\int_{1}^{e}x^{2}\ln x\,dx$

I_{2}=\int_{\frac{1}{2}}^{1}(2x-1)e^{-\frac{x}{2}}\,dx

$I_{3}=\int_{2}^{e}\ln(x+2)\,dx$

$I_{4}=\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos x\,dx$

تمرين ③ — مقتطف من BAC 2001

تحقّق، لكل $x\in[0{;}1]$ ، من أن:

\frac{x^{3}+x}{x+1}=x^{2}-x+2-\frac{2}{x+1}.

باستعمال صيغة المكاملة بالأجزاء، احسب التكامل $I=\int_{0}^{1}(3x^{2}+1)\ln(x+1)\,dx.$

تمرين ④

باستعمال صيغة المكاملة بالأجزاء، احسب التكاملات التالية:

$I_{1}=\int_{1}^{e^{2}}x(\ln x)^{2}\,dx$

$I_{2}=\int_{1}^{2}x\sqrt{3-x}\,dx$

I_{3}=\int_{\sqrt{e}}^{e}\frac{x\ln x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx

$I_{4}=\int_{1}^{2}\frac{\ln(1+t)}{t^{2}}\,dt$

I_{5}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\cos^{2}x}\,dx

$I_{6}=\int_{1}^{2}x\,2^{x}\,dx$

I_{7}=\int_{0}^{1}\ln\!\left(\frac{x+1}{x+2}\right)\,dx

$I_{8}=\int_{0}^{1}x^{2}e^{x}\,dx$

$I_{9}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin x\,e^{x}\,dx$

نشاط ②

نعتبر الدالة المعرّفة بـ $f(x)=-x+2$ و $(C_{f})$ منحناها في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ الوحدة ( $1\mathrm{cm}$ ).

أنشئ $(C_{f})$ ولوّن المجال المحدود بمحور الأفاصيل والمنحنى والمستقيمين $x=-1$ و $x=3$ ، ثم أعطِ قيمة لمساحته بوحدات المساحة.

احسب

\int_{-1}^{3}\lvert f(x)\rvert\,dx\times\lVert\vec{\imath}\rVert\times\lVert\vec{\jmath}\rVert.

ماذا يمكن استنتاجه؟

تطبيق ⑫

المستوى منسوب إلى معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ مع $\lVert\vec{\imath}\rVert=1\mathrm{cm}$ و $\lVert\vec{\jmath}\rVert=\sqrt{2}\,\mathrm{cm}.$

لتكن $f$ الدالة المعرّفة بـ $f(x)=\sin(x).$ احسب مساحة المجال المحدود بمنحنى $f$ والمستقيمين $x=\frac{\pi}{2}$ و $x=-\frac{\pi}{2}.$

تمرين ⑤ — مقتطف من BAC 2015

لتكن $f$ الدالة المعرّفة على $]0{;}e[\cup]e{;}+\infty[$ بـ $f(x)=\frac{1}{x(1-\ln x)}$ و $(C_{f})$ منحنى $f$ في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ بحيث $\lVert\vec{\imath}\rVert=2\mathrm{cm}.$

بيّن أن

\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{1}{x(1-\ln x)}\,dx=\ln 2.

(لاحظ أن

\frac{1}{x(1-\ln x)}=\frac{\frac{1}{x}}{1-\ln x}

).

احسب، بـ $\mathrm{cm}^{2}$ ، مساحة المجال المستوي المحدود بـ $(C_{f})$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين $x=1$ و $x=\sqrt{e}.$

تطبيق ⑬

المستوى منسوب إلى معلم متعامد $(O{;}\vec{\imath}{,}\vec{\jmath})$ مع $\lVert\vec{\imath}\rVert=2\mathrm{cm}$ و $\lVert\vec{\jmath}\rVert=2\mathrm{cm}.$

نعتبر الدالتين $f$ و $g$ المعرّفتين بـ $f(x)=2x^{2}+1$ و $g(x)=x^{2}+x+1.$ احسب مساحة المجال المحدود بمنحنيي $f$ و $g$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين $x=0$ و $x=2.$

تمرين ⑥ — مقتطف من الاستدراك 2017

لتكن $f$ الدالة العددية المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x+1-(x^{2}+1)e^{x}.$ و $(C_{f})$ منحنى $f$ في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ بحيث $\lVert\vec{\imath}\rVert=2\mathrm{cm}.$

بيّن أن $H:x\mapsto(x-1)e^{x}$ دالة أصلية للدالة $h:x\mapsto x e^{x}$ على $\mathbb{R}$ ، ثم استنتج أن $\int_{-1}^{0}x e^{x}\,dx=\frac{2}{e}-1.$

باستعمال مكاملة بالأجزاء، بيّن أن

\int_{-1}^{0}(x^{2}+1)e^{x}\,dx=3\left(1-\frac{2}{e}\right).

احسب بـ $\mathrm{cm}^{2}$ مساحة المجال المستوي المحدود بـ $(C_{f})$ والمستقيم $(D)$ ذي المعادلة $y=x+1$ والمستقيمين $x=-1$ و $x=0.$

تطبيق ⑭

لتكن $g$ الدالة العددية المعرّفة على $[0{;}1]$ بـ $g(x)=x e^{\frac{x}{2}}.$ احسب حجم المجسّم المولَّد بدوران منحنى $g$ حول محور الأفاصيل دورة كاملة.

أجب عن السؤال نفسه للدالة $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\cos(x)}$ على المجال $\left[0{;}\frac{\pi}{4}\right].$

تمرين ⑦ — مقتطف من الدورة العادية 2010

لتكن $f$ الدالة العددية المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=(2x-1)e^{2x}+x+1.$ و $(C_{f})$ منحنى $f$ في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ بحيث $\lVert\vec{\imath}\rVert=2\mathrm{cm}.$

بيّن، باستعمال مكاملة بالأجزاء، أن:

\int_{0}^{\frac{1}{2}}(2x-1)e^{2x}\,dx=1-\frac{e}{2}.

بيّن أن مساحة المجال المستوي المحدود بـ $(C_{f})$ والمستقيم $(T):y=x$ والمستقيمين $x=0$ و $x=\frac{1}{2}$ هي $(6-2e)\,\mathrm{cm}^{2}.$

تمرين ⑧ — مقتطف من الدورة العادية 2014

لتكن $f$ الدالة العددية المعرّفة على $]0{;}+\infty[$ بـ $f(x)=(1+\ln x)^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ و $(C_{f})$ منحنى $f$ في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ بحيث $\lVert\vec{\imath}\rVert=1\mathrm{cm}.$

نعتبر التكاملين $I=\int_{1}^{e}(1+\ln x)\,dx$ و $J=\int_{1}^{e}(1+\ln x)^{2}\,dx.$

بيّن أن $H:x\mapsto x\ln x$ دالة أصلية للدالة $h:x\mapsto 1+\ln x$ على $]0{;}+\infty[$ ، ثم استنتج أن $I=e.$

باستعمال مكاملة بالأجزاء، بيّن أن $J=2e-1.$

احسب بـ $\mathrm{cm}^{2}$ مساحة المجال المستوي المحدود بـ $(C_{f})$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين $x=1$ و $x=e.$

سلسلة تمارين: الحساب التكاملي

جزء التطبيقات