الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

الدرس 09

الهندسة في الفضاء

الجداء السلمي في الفضاء، معادلة المستوى، الفلكة، والجداء المتجهي وتطبيقاته.

سلسلة التمارين 09 — سلسلة تمارين: الهندسة في الفضاء

في كل ما يلي، الفضاء منسوب إلى معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{i}{;}\vec{j}{;}\vec{k}).$

Ⅰ. الجداء السلمي في الفضاء وتطبيقاته

تعريف

ليكن $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متجهتين من الفضاء، و $A$ و $B$ و $C$ ثلاث نقط من الفضاء بحيث $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ و $\vec{v}=\overrightarrow{AC}.$ يوجد على الأقل مستوى $(P)$ يحتوي النقط $A$ و $B$ و $C.$ الجداء السلمي للمتجهتين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ ، المرموز له بـ $\vec{u}\cdot\vec{v}$ ، هو الجداء السلمي $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ في المستوى $(P).$

ملاحظة

جميع خصائص الجداء السلمي في المستوى تمتد إلى الفضاء.

نتائج

ليكن $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متجهتين من المستوى و $A$ و $B$ و $C$ ثلاث نقط من الفضاء بحيث $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ و $\vec{v}=\overrightarrow{AC}.$ لتكن $H$ المسقط العمودي لـ $C$ على المستقيم $(AB).$ لدينا

\vec{u}\cdot\vec{v}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}.

إذا كان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ غير منعدمتين، فإن

\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}).

$\vec{u}$ و $\vec{v}$ متعامدتان إذا وفقط إذا كان $\vec{u}\cdot\vec{v}=0.$
الجداء السلمي $\vec{u}\cdot\vec{u}$ عدد موجب، يُرمز له بـ $\vec{u}^{2}$ ، ويُسمى المربع السلمي لـ $\vec{u}.$

خاصية

ليكن $\vec{u}$ و $\vec{v}$ و $\vec{w}$ ثلاث متجهات من الفضاء و $k\in\mathbb{R}.$

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ ؛
$(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k(\vec{u}\cdot\vec{v})$ ؛

\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}

؛

(\vec{u}+\vec{v})^{2}=\vec{u}^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}.

التعبير التحليلي للجداء السلمي في الفضاء

خاصية

إذا كان $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ و $\vec{v}=x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k}$ متجهتين من الفضاء، فإن: $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'.$

نتائج

إذا كان $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ ، فإن $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.$
إذا كانت $A(x_{A}{;}y_{A}{;}z_{A})$ و $B(x_{B}{;}y_{B}{;}z_{B})$ نقطتين من الفضاء، فإن

AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}.

تطبيق ①

لتكن $A(2{;}-1{;}1)$ و $B(5{;}3{;}1)$ و $C(6{;}-4{;}1)$ ثلاث نقط من الفضاء. احسب $AB$ و $AC$ و $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ ثم استنتج طبيعة المثلث $ABC.$

تطبيقات الجداء السلمي

أ. تعامد مستقيمين في الفضاء

خاصية

ليكن $(D_{1})$ و $(D_{2})$ مستقيمين في الفضاء موجّهين على التوالي بـ $\vec{u}_{1}$ و $\vec{u}_{2}.$ $(D_{1})$ و $(D_{2})$ متعامدان إذا وفقط إذا كان $\vec{u}_{1}\cdot\vec{u}_{2}=0.$

تطبيق ②

بيّن أن $(D_{1})\perp(D_{2})$ في الحالتين التاليتين:

أ. $(D_{1})$ موجّه بـ $\vec{u}(1{;}2{;}3)$ و

(D_{2}):\begin{cases}x=1+4t\\y=2-2t\\z=5\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

ب. $(D_{1})$ معرّف بالمعادلات $x-2=\frac{y+1}{2}=\frac{5-z}{2}$ و

(D_{2}):\begin{cases}x=3+2t\\y=5-3t\\z=-2-2t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

ب. معادلة ديكارتية لمستوى معرّف بنقطة ومتجهة منظمة

خاصية

ليكن $\vec{u}(a{;}b{;}c)$ متجهة غير منعدمة و $A$ نقطة من الفضاء و $k\in\mathbb{R}.$ مجموعة النقط $M$ من الفضاء التي تحقق $\vec{u}\cdot\overrightarrow{AM}=k$ هي مستوى معادلته $ax+by+cz+d=0$ ( $d\in\mathbb{R}$ ).

مثال

ليكن $\vec{u}(2{;}3{;}-5)$ متجهة و $A(0{;}2{;}-1)$ نقطة من الفضاء. لنحدّد $(\mathcal{P})$ مجموعة النقط $M$ من الفضاء التي تحقق $\vec{u}\cdot\overrightarrow{AM}=-2.$

لدينا

M(x{;}y{;}z)\in(\mathcal{P})\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\overrightarrow{AM}=-2\Leftrightarrow\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y-2\\z+1\end{pmatrix}=-2\Leftrightarrow 2x+3(y-2)-5(z+1)=-2\Leftrightarrow 2x+3y-5z-9=0.

إذن $(\mathcal{P})$ هو المستوى ذو المعادلة $2x+3y-5z-9=0.$

خاصية

ليكن $\vec{n}(a{;}b{;}c)$ متجهة غير منعدمة و $A(x_{A}{;}y_{A}{;}z_{A})$ نقطة من الفضاء. يوجد مستوى وحيد $(\mathcal{P})$ يمر من $A$ وذو متجهة منظمة $\vec{n}$ (أي متجهة موجّهة لمستقيم عمودي على $(\mathcal{P})$ ).

M(x{;}y{;}z)\in(\mathcal{P})\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}\perp\vec{n}\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0.

مثال

لنحدّد معادلة ديكارتية للمستوى $(\mathcal{P})$ المار من $A(1{;}-2{;}3)$ وذي المتجهة المنظمة $\vec{n}(1{;}-3{;}-2).$ لتكن $M(x{;}y{;}z)$ نقطة من $(\mathcal{P}).$ لدينا $\overrightarrow{AM}(x-1{;}y+2{;}z-3).$

الطريقة Ⅰ:

\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0\Leftrightarrow(x-1)-3(y+2)-2(z-3)=0\Leftrightarrow x-3y-2z-1=0.

الطريقة Ⅱ: بما أن $(\mathcal{P})$ ذو متجهة منظمة $\vec{n}(1{;}-3{;}-2)$ ، فإن $(\mathcal{P}):x-3y-2z+d=0.$ وبما أن $A\in(\mathcal{P})$ ، فإن $1-3(-2)-2(3)+d=0$ و $d=-1.$ ومنه $(\mathcal{P}):x-3y-2z-1=0.$

تطبيق ③

حدّد معادلة ديكارتية للمستوى $(\mathcal{P})$ المار من $A$ وذي المتجهة المنظمة $\vec{n}$ في الحالتين التاليتين:

أ. $A(1{;}0{;}5)$ و $\vec{n}(-1{;}1{;}0).$

ب. $A(\sqrt{2}{;}-2{;}5)$ و $\vec{n}(-1{;}1{;}0).$

حدّد معادلة ديكارتية للمستوى $(\mathcal{P})$ المار من $A$ والعمودي على المستقيم

(D):\begin{cases}x=2-3t\\y=-3+t\\z=4-2t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

أعطِ معادلة ديكارتية للمستوى المحوري $(\mathcal{P})$ للقطعة $[MN]$ حيث $M(0{;}5{;}-1)$ و $N(2{;}1{;}1).$

تمرين ①

نعتبر في الفضاء النقط $A(1{;}1{;}2)$ و $B(0{;}1{;}1)$ والمتجهة $\vec{n}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.$

تحقّق من أن النقط $O$ و $A$ و $B$ غير مستقيمية.

بيّن أن المتجهة $\vec{n}$ عمودية على المتجهتين $\overrightarrow{OA}$ و $\overrightarrow{OB}.$

استنتج معادلة ديكارتية للمستوى $(OAB).$

أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم المار من $A$ والعمودي على المستوى $(OAB).$

ج. تعامد مستويين في الفضاء

خاصية

ليكن $(P)$ و $(Q)$ مستويين في الفضاء و $\vec{n}_{(P)}$ و $\vec{n}_{(Q)}$ متجهتين منظمتين لـ $(P)$ و $(Q)$ على التوالي.

$(P)$ و $(Q)$ متعامدان إذا وفقط إذا كان $\vec{n}_{(Q)}\cdot\vec{n}_{(P)}=0.$
$(P)$ و $(Q)$ متوازيان إذا وفقط إذا كانت $\vec{n}_{(Q)}$ و $\vec{n}_{(P)}$ مستقيميتين.

تطبيق ④

ادرس تعامد المستويين $(P)$ و $(Q).$

$(P):2x+z-1=0$ و $(Q):x-2y-2z+1=0.$

$(P):x-y-4z+1=0$ و $(Q):4x-y-2z-3=0.$

د. مسافة نقطة من الفضاء إلى مستوى

تعريف

ليكن $(P)$ مستوى و $A$ نقطة من الفضاء و $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على المستوى $(P).$ مسافة النقطة $A$ عن المستوى $(P)$ هي المسافة $AH$ ويُرمز لها بـ $d(A,(P)).$

المسافة $AH$ من $A$ إلى المستوى — $d(A,(P))=AH$

خاصية

ليكن $(P)$ مستوى معادلته $ax+by+cz+d=0$ و $A(x_{A}{;}y_{A}{;}z_{A})$ نقطة من الفضاء. مسافة النقطة $A$ عن المستوى $(P)$ هي:

d(A,(P))=\frac{\lvert ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d\rvert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

مثال

لنحسب مسافة النقطة $A(1{;}-1{;}2)$ عن المستوى $(P)$ ذي المعادلة $(P):2x+y-z+1=0.$ لدينا $\vec{n}(2{;}1{;}-1)$ متجهة منظمة لـ $(\mathcal{P}).$ إذن

d(A,(P))=\frac{\lvert 2\times 1+(-1)-2+1\rvert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}=0

، ومنه $A\in(P).$

تطبيق ⑤

نعتبر $(\mathcal{P})$ المستوى ذا المعادلة $x+y+z+1=0$ و $A(1{;}2{;}0)$ نقطة من الفضاء.

احسب $d(A,(P)).$

حدّد تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(D)$ المار من $A$ والعمودي على $(\mathcal{P}).$

حدّد إحداثيات النقطة $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(\mathcal{P}).$

تمرين ②

نعتبر النقط $A(-1{;}0{;}1)$ و $B(1{;}2{;}-1)$ و $C(1{;}-1{;}2)$ وليكن $(P)$ المستوى ذا المعادلة $x+y-z=0.$

أ. أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(AB).$

ب. تحقّق من أن المستقيم $(AB)$ عمودي على $(P).$

ج. حدّد إحداثيات نقطة تقاطع $(AB)$ و $(P).$

بيّن أن المستقيم $(AC)$ يوازي $(P).$

أعطِ معادلة ديكارتية للمستوى $(Q)$ المار من $B$ والموازي لـ $(P).$

Ⅱ. الدراسة التحليلية لفلكة

المعادلة الديكارتية لفلكة

تعريف

الفلكة $(S)$ التي مركزها $\Omega(a{;}b{;}c)$ وشعاعها $R$ هي مجموعة النقط $M$ من الفضاء التي تحقق $\Omega M=R$ ويُرمز لها بـ $S(\Omega,R).$ لدينا

M(x{;}y{;}z)\in(S)\Leftrightarrow\Omega M=R\Leftrightarrow\Omega M^{2}=R^{2}\Leftrightarrow(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2ax-2by-2cz+a^{2}+b^{2}+c^{2}=R^{2}.

تُسمى هذه المعادلة المعادلة الديكارتية للفلكة $(S).$

تطبيق ⑥

أعطِ معادلة ديكارتية للفلكة $(S_{1})$ التي مركزها $\Omega(2{;}0{;}1)$ وشعاعها $R=\sqrt{2}.$

أ. أعطِ معادلة ديكارتية للفلكة $(S_{2})$ التي مركزها $\Omega(1{;}-1{;}2)$ وتمر من النقطة $A(-1{;}4{;}5).$

ب. هل النقطة $B(1{;}2{;}-2)$ تنتمي إلى $(S_{2})؟$

خاصية

لتكن $A$ و $B$ نقطتين من الفضاء. مجموعة النقط $M$ من الفضاء التي تحقق $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0$ هي الفلكة التي قطرها $[AB].$

تطبيق ⑦

أعطِ، بطريقتين، معادلة ديكارتية للفلكة التي قطرها $[AB]$ حيث $A(-1{;}3{;}2)$ و $B(-3{;}1{;}0).$

دراسة مجموعة النقط $M(x{;}y{;}z)$ التي تحقق $x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ و $c$ و $d$ أعداداً حقيقية بحيث $(a{;}b{;}c)\neq(0{;}0{;}0)$ و $(S)$ مجموعة النقط $M(x{;}y{;}z)$ من الفضاء التي تحقق $x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0.$

إذا كان $a^{2}+b^{2}+c^{2}-4d>0$ ، فإن $(S)$ فلكة مركزها

\Omega\left(-\frac{a}{2}{;}-\frac{b}{2}{;}-\frac{c}{2}\right)

وشعاعها $R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-4d}}{2}.$

إذا كان $a^{2}+b^{2}+c^{2}-4d=0$ ، فإن $(S)$ هي النقطة

\Omega\left(-\frac{a}{2}{;}-\frac{b}{2}{;}-\frac{c}{2}\right).

إذا كان $a^{2}+b^{2}+c^{2}-4d<0$ ، فإن $(S)$ هي المجموعة الفارغة.

مثال

لتكن $(S)$ مجموعة النقط $M(x{;}y{;}z)$ بحيث $(S):x^{2}+y^{2}+z^{2}-2y+3z+2=0.$ لدينا

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2y+3z+2=0\Leftrightarrow(x-0)^{2}+(y-1)^{2}-1+(z+\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{9}{4}+2=0\Leftrightarrow(x-0)^{2}+(y-1)^{2}+(z+\tfrac{3}{2})^{2}=\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}.

إذن $(S)$ فلكة مركزها $\Omega\left(0{;}1{;}-\frac{3}{2}\right)$ وشعاعها $R=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

تطبيق ⑧

حدّد $(S)$ مجموعة النقط $M(x{;}y{;}z)$ في الحالات التالية:

أ. $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x-6y=0.$

ب. $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2y+2z+19=0.$

ج. $x^{2}+y^{2}+z^{2}+4y-2z+5=0.$

التمثيل البارامتري لفلكة

خاصية

لتكن $(S)$ فلكة مركزها $\Omega(a{;}b{;}c)$ وشعاعها $R.$

M(x{;}y{;}z)\in(S)\Leftrightarrow\begin{cases}x=a+R\sin\varphi\cos\theta\\y=b+R\sin\varphi\sin\theta\\z=c+R\cos\varphi\end{cases}؛

$(\varphi{;}\theta)\in\mathbb{R}^{2}.$ يُسمى هذا النظام التمثيل البارامتري لـ $(S).$

تطبيق ⑨

حدّد تمثيلاً بارامترياً للفلكة $(S)$ ذات المعادلة $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$

الوضع النسبي لفلكة ومستوى ولفلكة ومستقيم

أ. الوضع النسبي لفلكة ومستوى

خاصية

لتكن $(S)$ فلكة مركزها $\Omega$ وشعاعها $R$ و $(P)$ مستوى في الفضاء و $d=d(\Omega,(P)).$

إذا كان $d>R$ ، فإن $(P)$ لا يقطع $(S).$
إذا كان $d=R$ ، فإن $(P)$ مماس لـ $(S)$ في نقطة $H$ المسقط العمودي لـ $\Omega$ على $(P).$
إذا كان $d<R$ ، فإن $(P)$ يقطع $(S)$ وفق دائرة مركزها $H$ المسقط العمودي لـ $\Omega$ على $(P)$ وشعاعها $r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}.$

تطبيق ⑩

نعتبر المجموعة $(S)$ للنقط $M(x{;}y{;}z)$ من الفضاء التي تحقق $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-2y+2z-1=0.$

بيّن أن $(S)$ فلكة محدّداً مركزها وشعاعها $R.$

ادرس الوضع النسبي لـ $(S)$ والمستويات التالية:

أ. $(P_{1}):2x+y+2z-3=0.$

ب. $(P_{2}):x-2y+2z+3=0.$

ج. $(P_{3}):x+2y-z+9=0.$

ب. الوضع النسبي لفلكة ومستقيم

تقاطع فلكة ومستقيم هو إما نقطتان، أو نقطة، أو المجموعة الفارغة.

تطبيق ⑪

حدّد الوضع النسبي للمستقيم $(D)$ ذي التمثيل البارامتري

\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ مع الفلكتين $(S_{1}):x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x=0$ و

(S_{2}):x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2y-6z+\frac{31}{3}=0.

تمرين ③

ليكن $(P)$ المستوى ذا المعادلة $2x-2y-5=0$ ولتكن $(S)$ مجموعة النقط $M(x{;}y{;}z)$ التي تحقق $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+6z+11=0.$

بيّن أن $(S)$ فلكة محدّداً مركزها $\Omega$ وشعاعها $R.$

بيّن أن المستوى $(P)$ يقطع الفلكة $(S)$ وفق دائرة $(C)$ محدّداً مركزها $H$ وشعاعها $r.$

حدّد معادلة ديكارتية لكل من المستويين المماسين لـ $(S)$ والموازيين لـ $(P).$

أ. ليكن $(Q)$ المستوى ذا المعادلة $x+y+z+1=0.$

ب. تحقّق من أن المستوى $(Q)$ مماس للفلكة $(S)$ ثم حدّد نقطة التماس.

أ. تحقّق من أن $(P)\perp(Q).$

ب. أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(\Delta)$ تقاطع $(P)$ و $(Q).$

أ. تحقّق من أن النقطة $A(2{;}-1{;}-2)$ نقطة من الفلكة $(S).$

ب. حدّد معادلة ديكارتية للمستوى $(Q')$ المماس للفلكة $(S)$ في النقطة $A.$

Ⅲ. الجداء المتجهي

تعريف

ثلاثي الوجوه — رجل أمبير

ثلاثة أنصاف مستقيمات غير مستوائية من الفضاء $[OI)$ و $[OJ)$ و $[OK)$ تشكّل بهذا الترتيب ثلاثي وجوه يُرمز له بـ $([OI){;}[OJ){;}[OK)).$ رجل أمبير شخص تخيّلي موضوع على طول $[OK)$ ، القدمان في $O$ ، وينظر في اتجاه $[OI).$ إذا كان $[OJ)$ على يساره، يُقال إن ثلاثي الوجوه $([OI){;}[OJ){;}[OK))$ مباشر. لتكن $\vec{i}$ و $\vec{j}$ و $\vec{k}$ المتجهات المعرّفة بـ $\vec{i}=\overrightarrow{OI}$ و $\vec{j}=\overrightarrow{OJ}$ و $\vec{k}=\overrightarrow{OK}.$ إذا كان ثلاثي الوجوه $([OI){;}[OJ){;}[OK))$ مباشراً يُقال إن المعلم $(O{;}\vec{i}{;}\vec{j}{;}\vec{k})$ مباشر. الأساس $(\vec{i}{;}\vec{j}{;}\vec{k})$ مباشر إذا كان المعلم $(O{;}\vec{i}{;}\vec{j}{;}\vec{k})$ مباشراً.

معلم غير مباشر ومعلم مباشر — على اليسار معلم غير مباشر، وعلى اليمين معلم مباشر

تعريف

الجداء المتجهي لمتجهتين غير منعدمتين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ هو المتجهة المرموز لها بـ $\vec{u}\wedge\vec{v}$ بحيث:

إذا كانت $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مستقيميتين، فإن $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}.$
إذا كانت $\vec{u}$ و $\vec{v}$ غير مستقيميتين فإن $\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v}$ تحقق:
$\vec{w}\perp\vec{u}$ و $\vec{w}\perp\vec{v}$ ؛
الأساس $(\vec{u}{;}\vec{v}{;}\vec{w})$ مباشر ؛

\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\lvert\sin(\widehat{\vec{u},\vec{v}})\rvert.

الجداء المتجهي $\vec{u}\wedge\vec{v}$ — $\vec{u}\wedge\vec{v}$ عمودية على المستوى الذي يحتوي $\vec{u}$ و $\vec{v}$

خاصية

$\vec{u}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{u}.$
$\vec{u}\wedge\vec{0}=\vec{0}\wedge\vec{u}=\vec{0}.$

\vec{u}\wedge(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\wedge\vec{v}+\vec{u}\wedge\vec{w}.

$(\alpha\in\mathbb{R})$ $(\alpha\vec{u})\wedge\vec{v}=\alpha(\vec{u}\wedge\vec{v}).$

الصيغة التحليلية للجداء المتجهي

خاصية

ليكن $\vec{u}(a{;}b{;}c)$ و $\vec{v}(a'{;}b'{;}c')$ متجهتين من الفضاء. لدينا:

\vec{u}\wedge\vec{v}=\begin{vmatrix}b&b'\\c&c'\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}a&a'\\c&c'\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}\vec{k}.

مثال

لنحسب الجداء المتجهي للمتجهتين $\vec{u}(0{;}1{;}-2)$ و $\vec{v}(-3{;}1{;}2).$ لدينا

\vec{u}\wedge\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}1&1\\-2&2\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}0&-3\\-2&2\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}0&-3\\1&1\end{vmatrix}\vec{k}=4\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}.

تطبيق ⑫

احسب الجداء المتجهي للمتجهتين $\vec{u}(-1{;}3{;}0)$ و $\vec{v}(2{;}-6{;}1).$

تطبيقات الجداء المتجهي

أ. معادلة مستوى معرّف بثلاث نقط غير مستقيمية

خاصية

إذا كان $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\neq\vec{0}$ ، فإن النقط $A$ و $B$ و $C$ غير مستقيمية، وبالتالي المتجهة $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ منظمة للمستوى $(ABC).$

تطبيق ⑬

نعتبر النقط $A(2{;}4{;}-5)$ و $B(1{;}0{;}4)$ و $C(0{;}3{;}1).$

تحقّق من أن النقط $A$ و $B$ و $C$ غير مستقيمية.

أعطِ معادلة للمستوى $(ABC).$

ب. مساحة مثلث

خاصية

ليكن $ABC$ مثلثاً. مساحة $ABC$ هي $S_{ABC}=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|.$
ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع. مساحة $ABCD$ هي $S_{ABCD}=\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\|.$

تطبيق ⑭

نعتبر النقط $A(-1{;}2{;}0)$ و $B(3{;}0{;}4)$ و $C(-2{;}1{;}2).$

تحقّق من أن النقط $A$ و $B$ و $C$ غير مستقيمية.

حدّد مساحة المثلث $ABC.$

ج. مسافة نقطة إلى مستقيم

ليكن $(D)$ مستقيماً يمر من $A$ وموجّهاً بمتجهة $\vec{u}.$ مسافة نقطة $M$ عن المستقيم $(D)$ هي المسافة $MH$ حيث $H$ المسقط العمودي لـ $M$ على $(D).$ يُرمز لهذه المسافة بـ $d(M,D(A,\vec{u})).$ لتحديد إحداثيات $H$ نستعمل: $H\in(D)$ و $\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=0.$

خاصية

d(M,D(A,\vec{u}))=\frac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}.

تطبيق ⑮

احسب مسافة النقطة $M(3{;}2{;}1)$ عن المستقيم

(D):\begin{cases}x=1+t\\y=1\\z=-t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

أ. احسب مسافة النقطة $N(-1{;}2{;}0)$ عن المستقيم

(\Delta):\begin{cases}x-y=1\\y+z=2\end{cases}.

ب. حدّد إحداثيات $H$ المسقط العمودي لـ $N$ على $(\Delta).$

تمرين ④

لتكن $(S)$ الفلكة التي مركزها $\Omega(1{;}-1{;}0)$ وشعاعها $R=\sqrt{3}.$

أعطِ المعادلة الديكارتية لـ $(S).$

نعتبر المستقيمات

(D_{1}):\begin{cases}x=2\\y=2+4t\\z=5+4t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ ، و

(D_{2}):\begin{cases}x=2-t\\y=-2+t\\z=1-t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ و

(D_{3}):\begin{cases}x=-2+6t\\y=4t\\z=t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$ احسب المسافات $d(\Omega,(D_{1}))$ و $d(\Omega,(D_{2}))$ و $d(\Omega,(D_{3}))$ ثم ادرس الوضع النسبي لـ $(S)$ والمستقيمات $(D_{1})$ و $(D_{2})$ و $(D_{3}).$

د. تقاطع مستويين

خاصية

ليكن $(P)$ و $(Q)$ مستويين في الفضاء و $\vec{n}_{(P)}$ و $\vec{n}_{(Q)}$ متجهتين منظمتين لـ $(P)$ و $(Q)$ على التوالي. إذا كان $\vec{n}_{(P)}\wedge\vec{n}_{(Q)}\neq\vec{0}$ ، فإن $(P)$ و $(Q)$ متقاطعان وفق مستقيم $(D)$ موجّه بالمتجهة $\vec{n}_{(P)}\wedge\vec{n}_{(Q)}.$

تطبيق ⑯

نعتبر المستويين $(P):2x+z-1=0$ و $(Q):x-2y-2z+1=0.$

تحقّق من أن $(P)$ و $(Q)$ متقاطعان وفق مستقيم $(D)$ محدّداً متجهة موجّهة.

أعطِ تمثيلاً بارامترياً لـ $(D).$

تمرين ⑤

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر $(O{;}\vec{i}{;}\vec{j}{;}\vec{k}).$ نعتبر النقط $A(0{;}-2{;}-2)$ و $B(1{;}-2{;}-4)$ و $C(-3{;}-1{;}2).$

أ. بيّن أن

\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}.

ب. استنتج أن $2x+2y+z+6=0$ معادلة ديكارتية للمستوى $(ABC).$

لتكن $(S)$ الفلكة ذات المعادلة الديكارتية $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2z-23=0.$ بيّن أن مركز الفلكة $(S)$ هو النقطة $\Omega(1{;}0{;}1)$ وأن شعاعها $R=5.$

أ. تحقّق من أن

\begin{cases}x=1+2t\\y=2t\\z=1+t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ تمثيل بارامتري للمستقيم $(\Delta)$ المار من $\Omega$ والعمودي على المستوى $(ABC).$

ب. حدّد إحداثيات النقطة $H$ تقاطع المستقيم $(\Delta)$ والمستوى $(ABC).$

تحقّق من أن $d(\Omega,(ABC))=3$ ثم بيّن أن المستوى $(ABC)$ يقطع الفلكة $(S)$ وفق دائرة شعاعها $4$ وحدّد مركزها.

تمرين ⑥ — الاستدراك 2017

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر $(O{;}\vec{i}{;}\vec{j}{;}\vec{k}).$ نعتبر الفلكة $(S)$ ذات المعادلة الديكارتية $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2y-2z-1=0$ والمستوى $(P)$ ذا المعادلة $y-z=0.$

أ. بيّن أن مركز $(S)$ هو $\Omega(1{;}1{;}1)$ وأن شعاعها $R=2.$

ب. احسب $d(\Omega,(P))$ واستنتج أن المستوى $(P)$ يقطع الفلكة $(S)$ وفق دائرة $(C).$

ج. حدّد مركز وشعاع الدائرة $(C).$

ليكن $(\Delta)$ المستقيم المار من النقطة $A(1{;}-2{;}2)$ والعمودي على المستوى $(P).$

أ. بيّن أن $\vec{u}(0{;}1{;}-1)$ متجهة موجّهة للمستقيم $(\Delta).$

ب. بيّن أن $\|\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec{u}\|=\sqrt{2}\|\vec{u}\|$ واستنتج أن المستقيم $(\Delta)$ يقطع الفلكة $(S)$ في نقطتين.

ج. حدّد ثلاثيات إحداثيات كل من نقطتي تقاطع المستقيم $(\Delta)$ والفلكة $(S).$

الهندسة في الفضاء

Ⅰ. الجداء السلمي في الفضاء وتطبيقاته

تعريف

؛

التعبير التحليلي للجداء السلمي في الفضاء

تطبيقات الجداء السلمي

أ. تعامد مستقيمين في الفضاء

ب. معادلة ديكارتية لمستوى معرّف بنقطة ومتجهة منظمة

ج. تعامد مستويين في الفضاء

د. مسافة نقطة من الفضاء إلى مستوى

Ⅱ. الدراسة التحليلية لفلكة

المعادلة الديكارتية لفلكة

دراسة مجموعة النقط M(x;y;z)M(x{;}y{;}z)M(x;y;z) التي تحقق x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0

التمثيل البارامتري لفلكة

الوضع النسبي لفلكة ومستوى ولفلكة ومستقيم

أ. الوضع النسبي لفلكة ومستوى

ب. الوضع النسبي لفلكة ومستقيم

Ⅲ. الجداء المتجهي

تعريف

الصيغة التحليلية للجداء المتجهي

تطبيقات الجداء المتجهي

أ. معادلة مستوى معرّف بثلاث نقط غير مستقيمية

ب. مساحة مثلث

ج. مسافة نقطة إلى مستقيم

د. تقاطع مستويين

دراسة مجموعة النقط $M(x{;}y{;}z)$ التي تحقق $x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0$