سلسلة تمارين: الهندسة في الفضاء

نشاط ①

نعتبر في الفضاء النقط $A(2{;}1{;}3)$ و $B(1{;}1{;}-2)$ و $C(2{;}-1{;}0).$

أ. حدّد إحداثيات المتجهتين $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}.$

ب. ادرس استقامية النقط $A$ و $B$ و $C.$

أ. أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(AB).$

ب. هل النقطة $D(4{;}-3{;}2)$ تنتمي إلى $(AB)؟$

ج. أعطِ معادلتين ديكارتيتين للمستقيم $(AB).$

أعطِ معادلة ديكارتية للمستوى $(ABC).$

تطبيق ①

لتكن $A(2{;}-1{;}1)$ و $B(5{;}3{;}1)$ و $C(6{;}-4{;}1)$ ثلاث نقط من الفضاء. احسب $AB$ و $AC$ و $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ ثم استنتج طبيعة المثلث $ABC.$

تطبيق ②

بيّن أن $(D_{1})\perp(D_{2})$ في الحالتين التاليتين:

أ. $(D_{1})$ موجّه بـ $\vec{u}(1{;}2{;}3)$ و

(D_{2}):\begin{cases}x=1+4t\\y=2-2t\\z=5\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

ب. $(D_{1})$ معرّف بالمعادلات $x-2=\frac{y+1}{2}=\frac{5-z}{2}$ و

(D_{2}):\begin{cases}x=3+2t\\y=5-3t\\z=-2-2t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

تطبيق ③

حدّد معادلة ديكارتية للمستوى $(\mathcal{P})$ المار من $A$ وذي المتجهة المنظمة $\vec{n}$ في الحالتين التاليتين:

أ. $A(1{;}0{;}5)$ و $\vec{n}(-1{;}1{;}0).$

ب. $A(\sqrt{2}{;}-2{;}5)$ و $\vec{n}(-1{;}1{;}0).$

حدّد معادلة ديكارتية للمستوى $(\mathcal{P})$ المار من $A$ والعمودي على المستقيم

(D):\begin{cases}x=2-3t\\y=-3+t\\z=4-2t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

أعطِ معادلة ديكارتية للمستوى المحوري $(\mathcal{P})$ للقطعة $[MN]$ حيث $M(0{;}5{;}-1)$ و $N(2{;}1{;}1).$

تمرين ①

نعتبر في الفضاء النقط $A(1{;}1{;}2)$ و $B(0{;}1{;}1)$ والمتجهة $\vec{n}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.$

تحقّق من أن النقط $O$ و $A$ و $B$ غير مستقيمية.

بيّن أن المتجهة $\vec{n}$ عمودية على المتجهتين $\overrightarrow{OA}$ و $\overrightarrow{OB}.$

استنتج معادلة ديكارتية للمستوى $(OAB).$

أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم المار من $A$ والعمودي على المستوى $(OAB).$

تطبيق ④

ادرس تعامد المستويين $(P)$ و $(Q).$

$(P):2x+z-1=0$ و $(Q):x-2y-2z+1=0.$

$(P):x-y-4z+1=0$ و $(Q):4x-y-2z-3=0.$

تطبيق ⑤

نعتبر $(\mathcal{P})$ المستوى ذا المعادلة $x+y+z+1=0$ و $A(1{;}2{;}0)$ نقطة من الفضاء.

احسب $d(A,(P)).$

حدّد تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(D)$ المار من $A$ والعمودي على $(\mathcal{P}).$

حدّد إحداثيات النقطة $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(\mathcal{P}).$

تمرين ②

نعتبر النقط $A(-1{;}0{;}1)$ و $B(1{;}2{;}-1)$ و $C(1{;}-1{;}2)$ وليكن $(P)$ المستوى ذا المعادلة $x+y-z=0.$

أ. أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(AB).$

ب. تحقّق من أن المستقيم $(AB)$ عمودي على $(P).$

ج. حدّد إحداثيات نقطة تقاطع $(AB)$ و $(P).$

بيّن أن المستقيم $(AC)$ يوازي $(P).$

أعطِ معادلة ديكارتية للمستوى $(Q)$ المار من $B$ والموازي لـ $(P).$

تطبيق ⑥

أعطِ معادلة ديكارتية للفلكة $(S_{1})$ التي مركزها $\Omega(2{;}0{;}1)$ وشعاعها $R=\sqrt{2}.$

أ. أعطِ معادلة ديكارتية للفلكة $(S_{2})$ التي مركزها $\Omega(1{;}-1{;}2)$ وتمر من النقطة $A(-1{;}4{;}5).$

ب. هل النقطة $B(1{;}2{;}-2)$ تنتمي إلى $(S_{2})؟$

تطبيق ⑦

أعطِ، بطريقتين، معادلة ديكارتية للفلكة التي قطرها $[AB]$ حيث $A(-1{;}3{;}2)$ و $B(-3{;}1{;}0).$

تطبيق ⑧

حدّد $(S)$ مجموعة النقط $M(x{;}y{;}z)$ في الحالات التالية:

أ. $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x-6y=0.$

ب. $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2y+2z+19=0.$

ج. $x^{2}+y^{2}+z^{2}+4y-2z+5=0.$

تطبيق ⑨

حدّد تمثيلاً بارامترياً للفلكة $(S)$ ذات المعادلة $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$

تطبيق ⑩

نعتبر المجموعة $(S)$ للنقط $M(x{;}y{;}z)$ من الفضاء التي تحقق $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-2y+2z-1=0.$

بيّن أن $(S)$ فلكة محدّداً مركزها وشعاعها $R.$

ادرس الوضع النسبي لـ $(S)$ والمستويات التالية:

أ. $(P_{1}):2x+y+2z-3=0.$

ب. $(P_{2}):x-2y+2z+3=0.$

ج. $(P_{3}):x+2y-z+9=0.$

تطبيق ⑪

حدّد الوضع النسبي للمستقيم $(D)$ ذي التمثيل البارامتري

\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ مع الفلكتين $(S_{1}):x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x=0$ و

(S_{2}):x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2y-6z+\frac{31}{3}=0.

تمرين ③

ليكن $(P)$ المستوى ذا المعادلة $2x-2y-5=0$ ولتكن $(S)$ مجموعة النقط $M(x{;}y{;}z)$ التي تحقق $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+6z+11=0.$

بيّن أن $(S)$ فلكة محدّداً مركزها $\Omega$ وشعاعها $R.$

بيّن أن المستوى $(P)$ يقطع الفلكة $(S)$ وفق دائرة $(C)$ محدّداً مركزها $H$ وشعاعها $r.$

حدّد معادلة ديكارتية لكل من المستويين المماسين لـ $(S)$ والموازيين لـ $(P).$

أ. ليكن $(Q)$ المستوى ذا المعادلة $x+y+z+1=0.$

ب. تحقّق من أن المستوى $(Q)$ مماس للفلكة $(S)$ ثم حدّد نقطة التماس.

أ. تحقّق من أن $(P)\perp(Q).$

ب. أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(\Delta)$ تقاطع $(P)$ و $(Q).$

أ. تحقّق من أن النقطة $A(2{;}-1{;}-2)$ نقطة من الفلكة $(S).$

ب. حدّد معادلة ديكارتية للمستوى $(Q')$ المماس للفلكة $(S)$ في النقطة $A.$

تطبيق ⑫

احسب الجداء المتجهي للمتجهتين $\vec{u}(-1{;}3{;}0)$ و $\vec{v}(2{;}-6{;}1).$

تطبيق ⑬

نعتبر النقط $A(2{;}4{;}-5)$ و $B(1{;}0{;}4)$ و $C(0{;}3{;}1).$

تحقّق من أن النقط $A$ و $B$ و $C$ غير مستقيمية.

أعطِ معادلة للمستوى $(ABC).$

تطبيق ⑭

نعتبر النقط $A(-1{;}2{;}0)$ و $B(3{;}0{;}4)$ و $C(-2{;}1{;}2).$

تحقّق من أن النقط $A$ و $B$ و $C$ غير مستقيمية.

حدّد مساحة المثلث $ABC.$

تطبيق ⑮

احسب مسافة النقطة $M(3{;}2{;}1)$ عن المستقيم

(D):\begin{cases}x=1+t\\y=1\\z=-t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

أ. احسب مسافة النقطة $N(-1{;}2{;}0)$ عن المستقيم

(\Delta):\begin{cases}x-y=1\\y+z=2\end{cases}.

ب. حدّد إحداثيات $H$ المسقط العمودي لـ $N$ على $(\Delta).$

تمرين ④

لتكن $(S)$ الفلكة التي مركزها $\Omega(1{;}-1{;}0)$ وشعاعها $R=\sqrt{3}.$

أعطِ المعادلة الديكارتية لـ $(S).$

نعتبر المستقيمات

(D_{1}):\begin{cases}x=2\\y=2+4t\\z=5+4t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ ، و

(D_{2}):\begin{cases}x=2-t\\y=-2+t\\z=1-t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ و

(D_{3}):\begin{cases}x=-2+6t\\y=4t\\z=t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$ احسب المسافات $d(\Omega,(D_{1}))$ و $d(\Omega,(D_{2}))$ و $d(\Omega,(D_{3}))$ ثم ادرس الوضع النسبي لـ $(S)$ والمستقيمات $(D_{1})$ و $(D_{2})$ و $(D_{3}).$

تطبيق ⑯

نعتبر المستويين $(P):2x+z-1=0$ و $(Q):x-2y-2z+1=0.$

تحقّق من أن $(P)$ و $(Q)$ متقاطعان وفق مستقيم $(D)$ محدّداً متجهة موجّهة.

أعطِ تمثيلاً بارامترياً لـ $(D).$

تمرين ⑤

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر $(O{;}\vec{i}{;}\vec{j}{;}\vec{k}).$ نعتبر النقط $A(0{;}-2{;}-2)$ و $B(1{;}-2{;}-4)$ و $C(-3{;}-1{;}2).$

أ. بيّن أن

\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}.

ب. استنتج أن $2x+2y+z+6=0$ معادلة ديكارتية للمستوى $(ABC).$

لتكن $(S)$ الفلكة ذات المعادلة الديكارتية $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2z-23=0.$ بيّن أن مركز الفلكة $(S)$ هو النقطة $\Omega(1{;}0{;}1)$ وأن شعاعها $R=5.$

أ. تحقّق من أن

\begin{cases}x=1+2t\\y=2t\\z=1+t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ تمثيل بارامتري للمستقيم $(\Delta)$ المار من $\Omega$ والعمودي على المستوى $(ABC).$

ب. حدّد إحداثيات النقطة $H$ تقاطع المستقيم $(\Delta)$ والمستوى $(ABC).$

تحقّق من أن $d(\Omega,(ABC))=3$ ثم بيّن أن المستوى $(ABC)$ يقطع الفلكة $(S)$ وفق دائرة شعاعها $4$ وحدّد مركزها.

تمرين ⑥ — الاستدراك 2017

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر $(O{;}\vec{i}{;}\vec{j}{;}\vec{k}).$ نعتبر الفلكة $(S)$ ذات المعادلة الديكارتية $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2y-2z-1=0$ والمستوى $(P)$ ذا المعادلة $y-z=0.$

أ. بيّن أن مركز $(S)$ هو $\Omega(1{;}1{;}1)$ وأن شعاعها $R=2.$

ب. احسب $d(\Omega,(P))$ واستنتج أن المستوى $(P)$ يقطع الفلكة $(S)$ وفق دائرة $(C).$

ج. حدّد مركز وشعاع الدائرة $(C).$

ليكن $(\Delta)$ المستقيم المار من النقطة $A(1{;}-2{;}2)$ والعمودي على المستوى $(P).$

أ. بيّن أن $\vec{u}(0{;}1{;}-1)$ متجهة موجّهة للمستقيم $(\Delta).$

ب. بيّن أن $\|\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec{u}\|=\sqrt{2}\|\vec{u}\|$ واستنتج أن المستقيم $(\Delta)$ يقطع الفلكة $(S)$ في نقطتين.

ج. حدّد ثلاثيات إحداثيات كل من نقطتي تقاطع المستقيم $(\Delta)$ والفلكة $(S).$

سلسلة تمارين: الهندسة في الفضاء

جزء التطبيقات