Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

الدرس 06

الدوال الأسية

الدالة الأسية النيبيرية x↦exx\mapsto e^{x}، النهايات والاشتقاق والدوال الأصلية، والدالة الأسية ذات الأساس aa.

سلسلة التمارين 06 — سلسلة تمارين: الدوال الأسية

  1. تعريف وخصائص

تعريف

نسمي الدالة الأسية النيبيرية، المرموز لها بـ exp⁡\exp، الدالة العكسية لدالة اللوغاريتم النيبيري ln⁡\ln، ولدينا:

(∀x∈R)(∀y∈]0;+∞[) ; exp⁡(x)=y⇔x=ln⁡(y).(\forall x\in\mathbb{R})(\forall y\in]0{;}+\infty[)\,;\,\exp(x)=y\Leftrightarrow x=\ln(y).
تناظر $\ln$ و $\exp$
ln⁡:]0;+∞[→R\ln:]0{;}+\infty[\to\mathbb{R} و exp⁡:R→]0;+∞[\exp:\mathbb{R}\to]0{;}+\infty[

الرمز exe^{x}

ليكن rr عدداً جذرياً. لدينا ln⁡(exp⁡(r))=r\ln(\exp(r))=r ونعلم أن ln⁡(er)=rln⁡(e)=r.\ln(e^{r})=r\ln(e)=r. إذن (∀r∈Q):ln⁡(exp⁡(r))=ln⁡(er).(\forall r\in\mathbb{Q}):\ln(\exp(r))=\ln(e^{r}). نمدّد هذه العلاقة من Q\mathbb{Q} إلى R\mathbb{R}، فنحصل على: (∀x∈R):exp⁡(x)=ex.(\forall x\in\mathbb{R}):\exp(x)=e^{x}.

خصائص

  • الدالة exp⁡\exp متصلة وتزايدية قطعاً على R.\mathbb{R}.
  • (∀x∈R):ex>0.(\forall x\in\mathbb{R}):e^{x}>0.
(∀x∈]0;+∞[)(∀y∈R):ey=x⇔ln⁡(x)=y.(\forall x\in]0{;}+\infty[)(\forall y\in\mathbb{R}):e^{y}=x\Leftrightarrow\ln(x)=y.
  • (∀x∈R):ln⁡(ex)=x(\forall x\in\mathbb{R}):\ln(e^{x})=x و (∀x∈]0;+∞[):eln⁡(x)=x.(\forall x\in]0{;}+\infty[):e^{\ln(x)}=x.
(∀a∈R)(∀b∈R):ea>eb⇒a>b.(\forall a\in\mathbb{R})(\forall b\in\mathbb{R}):e^{a}>e^{b}\Rightarrow a>b.
(∀a∈R)(∀b∈R):ea=eb⇒a=b.(\forall a\in\mathbb{R})(\forall b\in\mathbb{R}):e^{a}=e^{b}\Rightarrow a=b.

تطبيق ①

نعتبر الدالة ff المعرّفة بـ f(x)=3ex2ex+4.f(x)=\frac{3e^{x}}{2e^{x}+4}.

  1. حدّد DfD_{f} ثم بيّن أن ff متصلة على Df.D_{f}.
  1. احسب f(0)f(0) و f(ln⁡(2)).f(\ln(2)).

تطبيق ②

حل في R\mathbb{R}:

أ. e1−x=ex−x2e^{1-x}=e^{x-x^{2}}

ب. ex2−x=1e^{x^{2}-x}=1

ج. (ex)2−3ex+2=0(e^{x})^{2}-3e^{x}+2=0

د. (ex)2−3ex+2<0(e^{x})^{2}-3e^{x}+2<0

هـ. (ex+2)(e−x+1−4)≥0(e^{x}+2)(e^{-x+1}-4)\ge 0

و. ex+1e−x−e≤0\frac{e^{x}+1}{e^{-x}-e}\le 0

خصائص

ليكن aa و bb عددين حقيقيين و r∈Q.r\in\mathbb{Q}. لدينا:

  • ex+y=exeye^{x+y}=e^{x}e^{y}
  • ex−y=exeye^{x-y}=\frac{e^{x}}{e^{y}}
  • e−x=1exe^{-x}=\frac{1}{e^{x}}
  • (ex)r=erx.(e^{x})^{r}=e^{rx}.

تطبيق ③

  1. بسّط التعابير التالية:
  • A=e2x×e3x(ex)4A=\frac{e^{2x}\times e^{3x}}{(e^{x})^{4}}
  • B=(e2−x)2×e3x−4B=(e^{2-x})^{2}\times e^{3x-4}
C=e2x((ex+e−x)2+(ex−e−x)2)C=e^{2x}\bigl((e^{x}+e^{-x})^{2}+(e^{x}-e^{-x})^{2}\bigr)
  1. بيّن أن:
(∀x∈R):ex−1ex+1=1−e−x1+e−x.(\forall x\in\mathbb{R}):\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}.

تمرين ①

  1. حل في R\mathbb{R}:

أ. ex+6e−x−5=0e^{x}+6e^{-x}-5=0

ب.

(ex)15×ex2+5=e5xe4(e^{x})^{15}\times e^{x^{2}+5}=\frac{e^{5x}}{e^{4}}

ج. e2x+1ex−3>e−x+2\frac{e^{2x}+1}{e^{x}-3}>e^{-x+2}

  1. حل في R2\mathbb{R}^{2} النظمة
{5e2x+1+3e−y=37e2x+1−4e−y=2.\begin{cases}5e^{2x+1}+3e^{-y}=3\\7e^{2x+1}-4e^{-y}=2\end{cases}.

  1. النهايات الاعتيادية

خصائص

  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0
  • lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1
  • lim⁡x→+∞exx=+∞\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty
  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty (n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*})
  • lim⁡x→−∞xex=0\lim_{x\to-\infty}xe^{x}=0
  • lim⁡x→−∞xnex=0\lim_{x\to-\infty}x^{n}e^{x}=0 (n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}).

مثال

لنحسب lim⁡x→+∞(ex−x).\lim_{x\to+\infty}(e^{x}-x). لدينا

lim⁡x→+∞(ex−x)=lim⁡x→+∞x(exx−1)=+∞\lim_{x\to+\infty}(e^{x}-x)=\lim_{x\to+\infty}x\left(\frac{e^{x}}{x}-1\right)=+\infty

لأن lim⁡x→+∞exx=+∞.\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty.

تطبيق ④

احسب النهايات التالية:

① lim⁡x→+∞(ex−x)\lim_{x\to+\infty}(e^{x}-\sqrt{x})

② lim⁡x→+∞(2x−1)e−x\lim_{x\to+\infty}(2x-1)e^{-x}

③ lim⁡x→+∞x e−x\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}\,e^{-x}

④ lim⁡x→+∞ex+4x\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{x+4}{x}}

⑤ lim⁡x→+∞ex2x3+x+1\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^{2}}}{x^{3}+x+1}

⑥ lim⁡x→0e2x−1x\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}

⑦ lim⁡x→0e2x−1e3x−1\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1}

⑧ lim⁡x→+∞ex−1ex+1\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}

⑨ lim⁡x→−∞2xe3x\lim_{x\to-\infty}2xe^{3x}

⑩ lim⁡x→+∞ex3+3xx3−1\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^{3}+3x}}{x^{3}-1}

  1. مشتقة الدالة الأسية النيبيرية

نضع (∀x∈]0;+∞[) f(x)=ln⁡(x)(\forall x\in]0{;}+\infty[)\,f(x)=\ln(x)، إذن (∀x∈R) f−1(x)=ex.(\forall x\in\mathbb{R})\,f^{-1}(x)=e^{x}. ونعلم أن

(∀x∈R):(f−1)′(x)=1f′(f−1(x))(\forall x\in\mathbb{R}):(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

، ومنه

(∀x∈R):(ex)′=11ex=ex.(\forall x\in\mathbb{R}):(e^{x})'=\frac{1}{\frac{1}{e^{x}}}=e^{x}.

خاصية

الدالة x⟼exx\longmapsto e^{x} قابلة للاشتقاق على R\mathbb{R} ولدينا: (∀x∈R):(ex)′=ex.(\forall x\in\mathbb{R}):(e^{x})'=e^{x}.

تطبيق ⑤

نعتبر الدالة ff المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=x−ex−1ex+1f(x)=x-\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}، وليكن (Cf)(C_{f}) تمثيلها المبياني في المعلم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

  1. بيّن أن
(∀x∈R):f(x)=x+1−2exex+1(\forall x\in\mathbb{R}):f(x)=x+1-\frac{2e^{x}}{e^{x}+1}

واستنتج lim⁡x→−∞f(x).\lim_{x\to-\infty}f(x).

  1. بيّن أن
(∀x∈R):f(x)=x−1−2ex+1(\forall x\in\mathbb{R}):f(x)=x-1-\frac{2}{e^{x}+1}

واستنتج lim⁡x→+∞f(x).\lim_{x\to+\infty}f(x).

  1. ادرس الفروع اللانهائية لـ (Cf)(C_{f}) بجوار +∞+\infty و −∞.-\infty.
  1. بيّن أن ff فردية.
  1. بيّن أن ff قابلة للاشتقاق على R\mathbb{R} وحدّد مشتقتها.
  1. ضع جدول تغيرات f.f.
  1. أنشئ (Cf).(C_{f}).

خاصية

إذا كانت uu قابلة للاشتقاق على II، فإن الدالة x⟼eu(x)x\longmapsto e^{u(x)} قابلة للاشتقاق على II ولدينا: (∀x∈I):(eu(x))′=u′(x)eu(x).(\forall x\in I):(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}.

تطبيق ⑥

حدّد f′f' في الحالات التالية:

① f(x)=ex2+3xf(x)=e^{x^{2}+3x}

② f(x)=ex−2ln⁡(x+1)f(x)=e^{x-2\ln(x+1)}

③ f(x)=(e2x−e−x)2f(x)=(e^{2x}-e^{-x})^{2}

④ f(x)=ex3f(x)=e^{\sqrt[3]{x}}

نتيجة

لتكن uu دالة قابلة للاشتقاق على I.I. الدوال الأصلية للدالة x⟼u′(x)eu(x)x\longmapsto u'(x)e^{u(x)} على II هي الدوال x⟼eu(x)+cx\longmapsto e^{u(x)}+c حيث c∈R.c\in\mathbb{R}.

تطبيق ⑦

حدّد مجموعة الدوال الأصلية لـ ff في الحالات التالية:

① f(x)=2e2x−e−xf(x)=2e^{2x}-e^{-x}

② f(x)=e5x+4f(x)=e^{5x+4}

③ f(x)=(x2+1)ex3+3xf(x)=(x^{2}+1)e^{x^{3}+3x}

④ f(x)=2x+1ex2+x+1f(x)=\frac{2x+1}{e^{x^{2}+x+1}}

Ⅱ. الدالة الأسية ذات الأساس aa (a≠1a\neq 1؛ a>0a>0)

تعريف

ليكن aa عدداً حقيقياً موجباً قطعاً ومختلفاً عن 1.1. الدالة العكسية لـ x⟼log⁡a(x)x\longmapsto\log_{a}(x) تُسمى الدالة الأسية ذات الأساس aa، وهي معرّفة على R\mathbb{R} ويُرمز لها بـ exp⁡a(x)\exp_{a}(x) أو ax.a^{x}.

تناظر $\log_{a}$ و $a^{x}$
log⁡a:]0;+∞[→R\log_{a}:]0{;}+\infty[\to\mathbb{R} و ax:R→]0;+∞[a^{x}:\mathbb{R}\to]0{;}+\infty[

ليكن x∈Rx\in\mathbb{R} و y∈R+∗.y\in\mathbb{R}_{+}^{*}. لدينا

ax=y⇔x=log⁡a(y)⇔x=ln⁡(y)ln⁡(a)⇔xln⁡(a)=ln⁡(y)⇔exln⁡(a)=y.a^{x}=y\Leftrightarrow x=\log_{a}(y)\Leftrightarrow x=\frac{\ln(y)}{\ln(a)}\Leftrightarrow x\ln(a)=\ln(y)\Leftrightarrow e^{x\ln(a)}=y.

ومنه: ax=exln⁡(a).a^{x}=e^{x\ln(a)}.

أمثلة

  • 2x=exln⁡(2)2^{x}=e^{x\ln(2)}
  • 42=e2ln⁡(4)=e22ln⁡(2)4^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\ln(4)}=e^{2\sqrt{2}\ln(2)}
  • 3x=exln⁡(3)=ex2ln⁡(3)\sqrt{3}^{x}=e^{x\ln(\sqrt{3})}=e^{\frac{x}{2}\ln(3)}

ملاحظة

(∀x∈R):1x=1.(\forall x\in\mathbb{R}):1^{x}=1.

خصائص

ليكن xx و yy عددين حقيقيين و r∈Q.r\in\mathbb{Q}. لدينا:

  • ax+y=axaya^{x+y}=a^{x}a^{y}
  • a−x=1axa^{-x}=\frac{1}{a^{x}}
  • ax−y=axaya^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}
  • arx=(ax)r.a^{rx}=(a^{x})^{r}.

تطبيق ⑧

بيّن أن:

92ln⁡3×83ln⁡4254ln⁡5=e.\frac{9^{\frac{2}{\ln 3}}\times 8^{\frac{3}{\ln 4}}}{25^{\frac{4}{\ln 5}}}=\sqrt{e}.

تمرين ②

  1. حل في R\mathbb{R}:

أ.

(12)x≤14\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\le\frac{1}{4}

ب. 3x>9x3^{x}>9^{x}

ج. 102x+2×10x−3>010^{2x}+2\times 10^{x}-3>0

  1. احسب مشتقة الدالتين ff و gg حيث f(x)=2x2+2x+2f(x)=2^{x^{2}+2x+2} و g(x)=xx.g(x)=x^{x}.
  1. احسب النهايات التالية:

أ. lim⁡x→+∞(13)x\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}

ب. lim⁡x→+∞4x−2x3x\lim_{x\to+\infty}\frac{4^{x}-2^{x}}{3^{x}}

ج. lim⁡x→04x−2xx\lim_{x\to 0}\frac{4^{x}-2^{x}}{x}

د.

lim⁡x→+∞(1+1x)x\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

تمرين ③

Ⅰ. نعتبر الدالة gg المعرّفة على R\mathbb{R} بـ g(x)=e2x−2x.g(x)=e^{2x}-2x.

  1. حدّد g′(x)g'(x) لكل xx من R\mathbb{R} ثم ضع جدول تغيرات g.g.
  1. استنتج أن لكل xx من R\mathbb{R}، g(x)>0.g(x)>0.

Ⅱ. لتكن الدالة ff المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=ln⁡(e2x−2x)f(x)=\ln(e^{2x}-2x) وليكن (Cf)(C_{f}) تمثيلها المبياني في المعلم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

  1. أ. بيّن أن lim⁡x→−∞f(x)=+∞.\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.

ب. تحقّق من أن

f(x)x=(e2xx−2)ln⁡(e2x−2x)e2x−2x.\frac{f(x)}{x}=\left(\frac{e^{2x}}{x}-2\right)\frac{\ln(e^{2x}-2x)}{e^{2x}-2x}.

ج. بيّن أن lim⁡x→−∞f(x)x=0\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=0 ثم فسّر النتيجة هندسياً.

  1. أ. تحقّق من أن (∀x≥0):1−2xe2x>0(\forall x\ge 0):1-\frac{2x}{e^{2x}}>0 وأن 2x+ln⁡ ⁣(1−2xe2x)=f(x).2x+\ln\!\left(1-\frac{2x}{e^{2x}}\right)=f(x).

ب. استنتج أن lim⁡x→+∞f(x)=+∞.\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

ج. بيّن أن المستقيم الذي معادلته (D):y=2x(D):y=2x مقارب مائل لـ (Cf)(C_{f}) بجوار +∞.+\infty.

د. بيّن أن (∀x≥0):f(x)−2x≤0(\forall x\ge 0):f(x)-2x\le 0 ثم استنتج الوضع النسبي لـ (Cf)(C_{f}) و (D)(D) على [0;+∞[.[0{;}+\infty[.

  1. أ. بيّن أن
(∀x∈R):f′(x)=2(e2x−1)g(x).(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=\frac{2(e^{2x}-1)}{g(x)}.

ب. ضع جدول تغيرات f.f.

  1. أنشئ (Cf)(C_{f}) و (D)(D) في المعلم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ