سلسلة تمارين: الدوال الأسية

1. حل في $\mathbb{R}$:

أ. $e^{x}+6e^{-x}-5=0$

ب.

ج. $\frac{e^{2x}+1}{e^{x}-3}>e^{-x+2}$

2. حل في $\mathbb{R}^{2}$ النظمة

1. حل في $\mathbb{R}$:

أ.

ب. $3^{x}>9^{x}$

ج. $10^{2x}+2\times 10^{x}-3>0$

2. احسب مشتقة الدالتين $f$ و $g$ حيث $f(x)=2^{x^{2}+2x+2}$ و $g(x)=x^{x}.$

3. احسب النهايات التالية:

أ. $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$

ب. $\lim_{x\to+\infty}\frac{4^{x}-2^{x}}{3^{x}}$

ج. $\lim_{x\to 0}\frac{4^{x}-2^{x}}{x}$

د.

Ⅰ. نعتبر الدالة $g$ المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $g(x)=e^{2x}-2x.$

1. حدّد $g'(x)$ لكل $x$ من $\mathbb{R}$ ثم ضع جدول تغيرات $g.$

2. استنتج أن لكل $x$ من $\mathbb{R}$، $g(x)>0.$

Ⅱ. لتكن الدالة $f$ المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\ln(e^{2x}-2x)$ وليكن $(C_{f})$ تمثيلها المبياني في المعلم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).$

1. أ. بيّن أن $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.$

ب. تحقّق من أن

ج. بيّن أن $\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=0$ ثم فسّر النتيجة هندسياً.

2. أ. تحقّق من أن $(\forall x\ge 0):1-\frac{2x}{e^{2x}}>0$ وأن $2x+\ln\!\left(1-\frac{2x}{e^{2x}}\right)=f(x).$

ب. استنتج أن $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$

ج. بيّن أن المستقيم الذي معادلته $(D):y=2x$ مقارب مائل لـ $(C_{f})$ بجوار $+\infty.$

د. بيّن أن $(\forall x\ge 0):f(x)-2x\le 0$ ثم استنتج الوضع النسبي لـ $(C_{f})$ و $(D)$ على $[0{;}+\infty[.$

3. أ. بيّن أن

ب. ضع جدول تغيرات $f.$

4. أنشئ $(C_{f})$ و $(D)$ في المعلم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).$

نعتبر الدالة العددية $f$ المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x\left(e^{\frac{x}{2}}-1\right)^{2}$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ (الوحدة: $1\mathrm{cm}$).

يُعطى جانباً التمثيل المبياني $(C_{g})$ للدالة $g.$

1. احسب $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ و $\lim_{x\to-\infty}f(x).$

2. احسب $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ وفسّر النتيجة هندسياً.

3. أ. بيّن أن المستقيم $(\Delta)$ الذي معادلته $y=x$ مقارب للمنحنى بجوار $-\infty.$

ب. ادرس إشارة $(f(x)-x)$ لكل $x$ من $\mathbb{R}$ واستنتج الوضع النسبي للمنحنى $(C)$ والمستقيم $(\Delta).$

4. أ. بيّن أن

لكل $x$ من $\mathbb{R}.$

ب. تحقّق من أن $x\left(e^{\frac{x}{2}}-1\right)\ge 0$ لكل $x$ من $\mathbb{R}$ ثم استنتج إشارة المشتقة $f'$ على $\mathbb{R}.$

ج. أنشئ جدول تغيرات $f$ على $\mathbb{R}.$

5. أ. بيّن أن $f''(x)=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}g(x)$ حيث $g(x)=(2x+4)e^{\frac{x}{2}}-x-4$ لكل $x$ من $\mathbb{R}.$

ب. انطلاقاً من منحنى الدالة $g$، حدّد إشارة $g(x)$ على $\mathbb{R}$ (ملاحظة: $g(\alpha)=0$).

ج. ادرس تقعّر المنحنى $(C)$ وحدّد أفصولي نقطتي الانعطاف.

6. أنشئ المنحنى $(C)$ في المعلم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).$ (نأخذ: $\ln(4)\approx 1{,}4$، $\alpha\approx -4{,}5$ و $f(\alpha)=-3{,}5$).

أ. بيّن أن الدالة $f$ تقبل دالة عكسية $f^{-1}$ معرّفة على $\mathbb{R}.$

ب. احسب $\bigl(f^{-1}\bigr)'(\ln 4).$

7. لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرّفة بـ $u_{0}=1$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل $n\in\mathbb{N}.$

أ. بيّن بالترجع أن $0<u_{n}<\ln 4$ لكل $n\in\mathbb{N}.$

ب. بيّن أن المتتالية $(u_{n})$ تناقصية.

ج. استنتج أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة.

د. احسب نهاية المتتالية $(u_{n}).$

نعتبر الدالة العددية $f$ المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ

و $(C)$ منحناها في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ (الوحدة: $2\mathrm{cm}$).

1. بيّن أن $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ و $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.$

2. أ. بيّن أن المستقيم $(\Delta)$ الذي معادلته $y=-x+\frac{5}{2}$ مقارب للمنحنى $(C)$ بجوار $-\infty.$

ب. حل المعادلة $e^{x-2}-4=0$ ثم بيّن أن المنحنى $(C)$ يوجد فوق $(\Delta)$ على المجال $]-\infty{;}2+\ln 4[$ وتحته على المجال $]2+\ln 4{;}+\infty[.$

3. بيّن أن $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty$ ثم فسّر النتيجة هندسياً.

4. أ. بيّن أن $(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=-(e^{x-2}-1)^{2}.$

ب. ضع جدول تغيرات الدالة $f.$

5. احسب $f''(x)$ لكل $x$ من $\mathbb{R}$ ثم بيّن أن $A(2{;}2)$ نقطة انعطاف لـ $(C).$

6. بيّن أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha$ بحيث $2+\ln 3<\alpha<2+\ln 4.$

7. أنشئ $(\Delta)$ و $(C)$ (نأخذ $\ln 2\approx 0{,}7$ و $\ln 3\approx 1{,}1$).

8. أ. بيّن أن الدالة $f$ تقبل دالة عكسية $f^{-1}$ معرّفة على $\mathbb{R}.$

ب. أنشئ في نفس المعلم منحنى $f^{-1}$ (ملاحظة: المستقيم $(\Delta)$ عمودي على المنصف الأول للمعلم).

ج. احسب $\bigl(f^{-1}\bigr)'(2-\ln 3)$ (ملاحظة: $f^{-1}(2-\ln 3)=2+\ln 3$).

Ⅰ. لتكن $g$ الدالة العددية المعرّفة على $]0{;}+\infty[$ بـ $g(x)=e^{1-x}+\frac{1}{x}-2.$

1. بيّن أن $g'(x)<0$ لكل $x$ من $]0{;}+\infty[.$

2. استنتج جدول إشارة $g(x)$ على $]0{;}+\infty[$ (ملاحظة: $g(1)=0$).

Ⅱ. نعتبر الدالة العددية $f$ المعرّفة على $]0{;}+\infty[$ بـ $f(x)=(1-x)e^{1-x}-x^{2}+5x-3-2\ln x$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ (الوحدة: $2\mathrm{cm}$).

1. بيّن أن $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$ ثم فسّر النتيجة هندسياً.

2. أ. بيّن أن $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.$

ب. بيّن أن $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty$ ثم فسّر النتيجة هندسياً.

3. أ. بيّن أن لكل $x$ من $]0{;}+\infty[$: $f'(x)=(x-2)g(x).$

ب. بيّن أن $f$ تناقصية على $]0{;}1]$ وعلى $[2{;}+\infty[$ وتزايدية على $[1{;}2].$

ج. ضع جدول تغيرات $f$ على $]0{;}+\infty[$ (نأخذ $f(2)\approx 1{,}25$).

4. علماً أن $f(3)\approx 0{,}5$ و $f(4)\approx -1{,}9$، بيّن أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلاً وحيداً في $]3{;}4[.$

5. أنشئ $(C)$ في المعلم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).$

نضع $h(x)=f(x)-x$ لكل $x$ من المجال $[1{;}2].$ يُعطى جانباً جدول تغيرات الدالة $h.$

1. أ. انطلاقاً من جدول تغيرات $h$، بيّن أن $f(x)\le x$ لكل $x$ من $[1{;}2].$

ب. بيّن أن $1$ هو الحل الوحيد للمعادلة $f(x)=x$ على $[1{;}2].$

2. لتكن $(u_{n})$ المتتالية المعرّفة بـ $u_{0}=2$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل $n\in\mathbb{N}.$

أ. بيّن بالترجع أن $1\le u_{n}\le 2$ لكل $n\in\mathbb{N}.$

ب. بيّن أن المتتالية $(u_{n})$ تناقصية.

ج. استنتج أن $(u_{n})$ متقاربة واحسب $\lim_{n\to+\infty}u_{n}.$

الجزء الأول: لتكن $f$ الدالة المعرّفة على $\mathbb{R}^{*}$ بـ $f(x)=2+8\left(\frac{x-2}{x}\right)^{2}e^{x-4}$ و $(C_{f})$ منحناها في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ (الوحدة: $1\mathrm{cm}$).

1. أ. تحقّق من أن $\lim_{x\to-\infty}f(x)=2$ وفسّر مبيانياً.

ب. تحقّق من أن $\lim_{x\to 0}f(x)=+\infty$ وفسّر مبيانياً.

2. أ. احسب $\lim_{x\to+\infty}f(x).$

ب. بيّن أن محور الأراتيب اتجاه مقارب لـ $(C_{f})$ بجوار $+\infty.$

3. أ. بيّن أن لكل $x$ من $\mathbb{R}^{*}$: $f'(x)=\frac{8(x-2)(x^{2}-2x+4)e^{x-4}}{x^{3}}.$

ب. تحقّق من أن $(\forall x\in\mathbb{R}):x^{2}-2x+4>0.$

ج. بيّن أن $f$ تناقصية قطعاً على $]0{;}2]$ وتزايدية قطعاً على $]-\infty{;}0[$ وعلى $[2{;}+\infty[.$

د. ضع جدول تغيرات $f$ على $\mathbb{R}^{*}.$

4. أنشئ $(C_{f})$ في المعلم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).$

5. أ. تحقّق من أن الدالة $H:x\mapsto\frac{1}{x}e^{x-4}$ دالة أصلية للدالة $h:x\mapsto\frac{x-1}{x^{2}}e^{x-4}$ على $[2{;}4].$

ب. تحقّق من أن

الجزء الثاني: 1. لتكن $g$ المعرّفة على $[2{;}4]$ بـ $g(x)=8(x-2)e^{x-4}-x^{2}.$

أ. احسب $g(4).$

ب. تحقّق من أن لكل $x$ من $[2{;}4]$: $g(x)=-(x-4)^{2}e^{x-4}+x^{2}(e^{x-4}-1).$

ج. تحقّق من أن لكل $x$ من $[2{;}4]$: $e^{x-4}-1\le 0$ ثم استنتج أن $g(x)\le 0.$

2. أ. تحقّق من أن لكل $x$ من $[2{;}4]$: $f(x)-x=\left(\frac{x-2}{x^{2}}\right)g(x).$

ب. استنتج أن لكل $x$ من $[2{;}4]$: $f(x)\le x.$

3. نعتبر المتتالية $(u_{n})$ المعرّفة بـ $u_{0}=3$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل $n\in\mathbb{N}.$

أ. بيّن أن $(\forall n\in\mathbb{N}):2\le u_{n}\le 4.$

ب. حدّد رتابة $(u_{n})$ ثم استنتج أنها متقاربة.

ج. احسب نهاية $(u_{n}).$

نعتبر الدالة العددية $f$ المعرّفة بـ $f(x)=2\ln(e^{x}-2\sqrt{e^{x}}+2)$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).$

Ⅰ. 1. تحقّق من أن $e^{x}-2\sqrt{e^{x}}+2=(\sqrt{e^{x}}-1)^{2}+1$ لكل $x$ من $\mathbb{R}$ واستنتج مجموعة تعريف $f$ وأن

2. احسب $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ ثم بيّن أن $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ln 4$ وفسّر النتيجة مبيانياً.

3. أ. بيّن أن

لكل $x$ من $\mathbb{R}$ وتحقّق من أن $f'(0)=0.$

ب. ادرس إشارة $\sqrt{e^{x}}-1$ على $\mathbb{R}$ واستنتج أن $f$ تزايدية على $[0{;}+\infty[$ وتناقصية على $]-\infty{;}0].$

4. أ. تحقّق من أن

ب. بيّن أن المستقيم $(D)$ الذي معادلته $y=2x$ مقارب لـ $(C)$ بجوار $+\infty.$

5. أ. تحقّق من أن

لكل $x$ من $\mathbb{R}.$

ب. ادرس إشارة $\sqrt{e^{x}}-2$ و $(\sqrt{e^{x}}-1)(\sqrt{e^{x}}-2)$ على $\mathbb{R}.$

ج. استنتج أن $e^{x}-2\sqrt{e^{x}}+2\le\sqrt{e^{x}}$ لكل $x$ من $[0{;}\ln 4].$

د. بيّن أن $f(x)\le x$ لكل $x$ من $[0{;}\ln 4].$

6. أنشئ المنحنى $(C)$ (نقبل أن $(C)$ يقبل نقطتي انعطاف أفصول الأولى أصغر من $-1$ وأفصول الثانية أكبر من $2$، وتحديدهما غير مطلوب، ونأخذ $\ln 4\approx 1{,}4$).

Ⅱ. لتكن $(u_{n})$ المتتالية المعرّفة بـ $u_{0}=1$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل $n\in\mathbb{N}.$

أ. بيّن بالترجع أن $0<u_{n}<\ln 4$ لكل $n\in\mathbb{N}.$

ب. بيّن أن المتتالية $(u_{n})$ تناقصية.

ج. استنتج أن $(u_{n})$ متقاربة واحسب نهايتها.