المعادلات التفاضلية

ليكن $a$ عدداً حقيقياً غير منعدم. حلول المعادلة التفاضلية $y'=ay$ على $\mathbb{R}$ هي مجموعة الدوال المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=ke^{ax}$ حيث $k$ عدد حقيقي كيفي.

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين بحيث $a\neq 0.$ مجموعة حلول المعادلة التفاضلية $y'=ay+b$ هي مجموعة الدوال $f$ المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=ke^{ax}-\frac{b}{a}.$

نعتبر $(E)$ المعادلة التفاضلية $(E):y''+ay'+by=0$ وليكن $\Delta$ مميّز معادلتها المميّزة $(E'):r^{2}+ar+b=0.$

• إذا كان $\Delta>0$، فإن حلول $(E)$ هي الدوال $x\mapsto\alpha e^{r_{1}x}+\beta e^{r_{2}x}$ حيث $(\alpha{,}\beta)\in\mathbb{R}^{2}$ و $r_{1}$ و $r_{2}$ حلا $(E').$
• إذا كان $\Delta=0$، فإن حلول $(E)$ هي الدوال $x\mapsto(\alpha+\beta x)e^{r_{0}x}$ حيث $(\alpha{,}\beta)\in\mathbb{R}^{2}$ و $r_{0}$ حل $(E').$
• إذا كان $\Delta<0$، فإن حلول $(E)$ هي الدوال $x\mapsto\bigl(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx)\bigr)e^{px}$ حيث $(\alpha{,}\beta)\in\mathbb{R}^{2}$ و $r_{1}=p+iq$ و $r_{2}=\overline{r_{1}}$ حلا $(E').$