سلسلة تمارين: المعادلات التفاضلية

1. حل المعادلة التفاضلية $(E''):y''+4y=0.$

2. حدّد الحل $g$ للمعادلة $(E'')$ الذي يحقّق الشرطين البدئيين: $g\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ و $g'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2.$

1. حل في مجموعة الأعداد العقدية $\mathbb{C}$ المعادلة: $z^{2}-2z+2=0.$

2. نضع $a=1-i$ و $b=2+\sqrt{3}+i.$

أ) اكتب $a$ على الشكل المثلثي.

ب) تحقّق من أن

ثم اكتب $b$ على الشكل المثلثي.

ج) استنتج أن $b^{6}$ عدد تخيلي صرف.

3. في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر $(O{;}\vec{u}{;}\vec{v})$، نعتبر النقط $A$ و $B$ و $C$ لواحقها على التوالي $a$ و $b$ و $c=-1+i\sqrt{3}.$

ليكن $z$ لحق نقطة $M$ من المستوى و $z'$ لحق النقطة $M'$ صورة $M$ بالدوران $R$ الذي مركزه $A$ وقياس زاويته $\frac{\pi}{2}.$

أ) عبّر عن $z'$ بدلالة $z.$

ب) تحقّق من أن النقطة $C$ هي صورة النقطة $B$ بالدوران $R$ واستنتج طبيعة المثلث $ABC.$

4. ليكن $(E)$ مجموعة النقط $M$ ذات اللحق $z$ بحيث:

أ) حدّد المجموعة $(E).$

ب) استنتج أن منتصف القطعة $[BC]$ ينتمي إلى المجموعة $(E).$

نعتبر الدالة العددية $f$ المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x\left(e^{\frac{x}{2}}-1\right)^{2}$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد منظم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath})$ (الوحدة: $1\mathrm{cm}$).

يُعطى جانباً التمثيل المبياني $(C_{g})$ للدالة $g.$

1. احسب $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ و $\lim_{x\to-\infty}f(x).$

2. احسب $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ وفسّر النتيجة هندسياً.

3. أ. بيّن أن المستقيم $(\Delta)$ الذي معادلته $y=x$ مقارب للمنحنى بجوار $-\infty.$

ب. ادرس إشارة $(f(x)-x)$ لكل $x$ من $\mathbb{R}$ واستنتج الوضع النسبي للمنحنى $(C)$ والمستقيم $(\Delta).$

4. أ. بيّن أن

لكل $x$ من $\mathbb{R}.$

ب. تحقّق من أن $x\left(e^{\frac{x}{2}}-1\right)\ge 0$ لكل $x$ من $\mathbb{R}$ ثم استنتج إشارة المشتقة $f'$ على $\mathbb{R}.$

ج. أنشئ جدول تغيرات $f$ على $\mathbb{R}.$

5. أ. بيّن أن $f''(x)=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}g(x)$ حيث $g(x)=(2x+4)e^{\frac{x}{2}}-x-4$ لكل $x$ من $\mathbb{R}.$

ب. انطلاقاً من منحنى الدالة $g$، حدّد إشارة $g(x)$ على $\mathbb{R}$ (ملاحظة: $g(\alpha)=0$).

ج. ادرس تقعّر المنحنى $(C)$ وحدّد أفصولي نقطتي الانعطاف.

6. أنشئ المنحنى $(C)$ في المعلم $(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).$ (نأخذ: $\ln(4)\approx 1{,}4$، $\alpha\approx -4{,}5$ و $f(\alpha)=-3{,}5$).

أ. بيّن أن الدالة $f$ تقبل دالة عكسية $f^{-1}$ معرّفة على $\mathbb{R}.$

ب. احسب $\bigl(f^{-1}\bigr)'(\ln 4).$

7. لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرّفة بـ $u_{0}=1$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل $n\in\mathbb{N}.$

أ. بيّن بالترجع أن $0<u_{n}<\ln 4$ لكل $n\in\mathbb{N}.$

ب. بيّن أن المتتالية $(u_{n})$ تناقصية.

ج. استنتج أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة.

د. احسب نهاية المتتالية $(u_{n}).$