Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

الدرس 02

الاشتقاق — دراسة الدوال

العدد المشتق، العمليات على الدوال القابلة للاشتقاق، مشتقة التركيب والعكسية، الفروع اللانهائية، التقعر وعناصر التماثل.

سلسلة التمارين 02 — سلسلة تمارين: الاشتقاق ودراسة الدوال

Ⅰ. العدد المشتق — الدالة المشتقة (تذكير)

تعريف

لتكن ff دالة معرّفة على مجال مفتوح II و aa نقطة من I.I.

  • نقول إن ff قابلة للاشتقاق في aa إذا وُجد عدد حقيقي ℓ\ell بحيث lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=ℓ.\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell.
  • العدد ℓ\ell، المرموز بـ f′(a)f'(a) أو dfdx(a)\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)، يُسمى العدد المشتق للدالة ff في a.a.
  • في هذه الحالة يقبل منحنى ff مماساً بجوار aa معادلته y=f′(a)(x−a)+f(a).y=f'(a)(x-a)+f(a).
  • الدالة x↦f′(a)(x−a)+f(a)x\mapsto f'(a)(x-a)+f(a) تُسمى التقريب التآلفي لـ ff بجوار a.a. نكتب إذن f(x)≈f′(a)(x−a)+f(a)f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a) بجوار a.a.
  • نقول إن ff قابلة للاشتقاق يميناً في aa إذا وُجد عدد حقيقي ℓ′\ell' بحيث
lim⁡x→ax>af(x)−f(a)x−a=ℓ′.\lim_{\substack{x\to a\\x>a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell'.
  • العدد ℓ′\ell'، المرموز بـ fd′(a)f'_{d}(a)، يُسمى العدد المشتق للدالة ff يميناً في a.a.
  • في هذه الحالة يقبل منحنى ff نصف مماس بجوار aa معادلته
{y=fd′(a)(x−a)+f(a)x>a.\begin{cases}y=f'_{d}(a)(x-a)+f(a)\\x>a\end{cases}.

(نعرّف بنفس الطريقة قابلية الاشتقاق يساراً في aa).

مثال

الدالة المعرّفة على ]−∞;1]]-\infty{;}1] بـ f:x↦x+1+21−xf:x\mapsto x+1+2\sqrt{1-x} قابلة للاشتقاق في −3.-3. بالفعل:

lim⁡x→−3f(x)−f(−3)x+3=lim⁡x→−3x−1+21−xx+3=lim⁡x→−3(x−1+21−x)(x−1−21−x)(x+3)(x−1−21−x)=lim⁡x→−3(x−1)2−4(1−x)(x+3)(x−1−21−x)=lim⁡x→−3x2+2x−3(x+3)(x−1−21−x)=lim⁡x→−3(x+3)(x−1)(x+3)(x−1−21−x)=lim⁡x→−3x−1x−1−21−x=12.\lim_{x\to-3}\frac{f(x)-f(-3)}{x+3}=\lim_{x\to-3}\frac{x-1+2\sqrt{1-x}}{x+3}=\lim_{x\to-3}\frac{(x-1+2\sqrt{1-x})(x-1-2\sqrt{1-x})}{(x+3)(x-1-2\sqrt{1-x})}=\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)^{2}-4(1-x)}{(x+3)(x-1-2\sqrt{1-x})}=\lim_{x\to-3}\frac{x^{2}+2x-3}{(x+3)(x-1-2\sqrt{1-x})}=\lim_{x\to-3}\frac{(x+3)(x-1)}{(x+3)(x-1-2\sqrt{1-x})}=\lim_{x\to-3}\frac{x-1}{x-1-2\sqrt{1-x}}=\frac{1}{2}.

إذن ff قابلة للاشتقاق في −3-3 و (Cf)(C_{f}) يقبل بجوار −3-3 مماساً معادلته:

y=f′(−3)(x+3)+f(−3)=12x+72.y=f'(-3)(x+3)+f(-3)=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}.

نعطي قيمة مقربة لـ f(−2,999)f(-2{,}999): الدالة التآلفية المماسية لـ (Cf)(C_{f}) بجوار −3-3 هي g:x↦12x+72.g:x\mapsto\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}. إذن f(−2,999)≈g(−2,999).f(-2{,}999)\approx g(-2{,}999). و

g(−2,999)=12(−2,999)+72=2,0005.g(-2{,}999)=\frac{1}{2}(-2{,}999)+\frac{7}{2}=2{,}0005.

وبالتالي f(−2,999)≈2,0005.f(-2{,}999)\approx 2{,}0005.

ملاحظات

  • إذا كان lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=0\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=0 فإن (Cf)(C_{f}) يقبل مماساً أفقياً في النقطة A(a,f(a)).A(a{,}f(a)).
  • إذا كانت ff متصلة في aa و
lim⁡x→ax>af(x)−f(a)x−a=±∞\lim_{\substack{x\to a\\x>a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm\infty

أو

lim⁡x→ax<af(x)−f(a)x−a=±∞\lim_{\substack{x\to a\\x<a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm\infty

فإن (Cf)(C_{f}) يقبل نصف مماس عمودي في النقطة A(a,f(a)).A(a{,}f(a)).

مثال

الدالة المعرّفة على ]−∞;1]]-\infty{;}1] بـ f:x↦x+1+21−xf:x\mapsto x+1+2\sqrt{1-x} غير قابلة للاشتقاق يساراً في 1.1. بالفعل:

lim⁡x→1−f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1−x−1+21−xx−1=lim⁡x→1−(x−1+21−x)(x−1−21−x)(x−1)(x−1−21−x)=lim⁡x→1−(x+3)(x−1)(x−1)(x−1−21−x)=lim⁡x→1−x+3x−1−21−x=+∞.\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x-1+2\sqrt{1-x}}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{(x-1+2\sqrt{1-x})(x-1-2\sqrt{1-x})}{(x-1)(x-1-2\sqrt{1-x})}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-1-2\sqrt{1-x})}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x+3}{x-1-2\sqrt{1-x}}=+\infty.

لأن lim⁡x→1−(x+3)=4\lim_{x\to 1^{-}}(x+3)=4 و lim⁡x→1−(x−1−21−x)=0−\lim_{x\to 1^{-}}(x-1-2\sqrt{1-x})=0^{-} من كون x−1<0x-1<0 و −21−x<0-2\sqrt{1-x}<0 لكل x<1.x<1. إذن ff غير قابلة للاشتقاق يساراً في 1.1.

بما أن ff متصلة يساراً في 11 و lim⁡x→1−f(x)−f(1)x−1=+∞\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty فإن (Cf)(C_{f}) يقبل نصف مماس عمودي في النقطة A(1,2)A(1{,}2) موجّهاً نحو الأعلى.

تطبيق ①

ادرس قابلية اشتقاق الدالة ff في aa ثم فسّر النتائج مبيانياً في الحالات التالية:

أ. f(x)=x3−xf(x)=x^{3}-x و a=2a=2

ب. f(x)=x+1xf(x)=\frac{x+1}{x} و a=1a=1

ج. f(x)=2x+1f(x)=\sqrt{2x+1} و a=−12a=-\frac{1}{2} يميناً.

تمرين ①

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ

f(x)={x2+1−1x; si x≠00; sinon.f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x}&;\,\text{si }x\neq 0\\0&;\,\text{sinon}\end{cases}.
  1. ادرس اتصال ff في x0=0.x_{0}=0.
  1. ادرس قابلية اشتقاق ff في x0=0.x_{0}=0. فسّر النتيجة مبيانياً.

خاصية

ff قابلة للاشتقاق في aa إذا وفقط إذا كانت قابلة للاشتقاق يميناً ويساراً في aa و fg′(a)=fd′(a).f'_{g}(a)=f'_{d}(a).

مبيانياً

إذا كان fg′(a)≠fd′(a)f'_{g}(a)\neq f'_{d}(a) فإن (Cf)(C_{f}) يقبل نصفَي مماس غير متوازيين في النقطة A(a,f(a)).A(a{,}f(a)). تُسمى هذه النقطة نقطة زاوية.

نقطة زاوية
نقطة زاوية عند A(a,f(a))A(a{,}f(a))

تطبيق ②

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ

{f(x)=x−1; 0≤x<1f(x)=x2−14; x≥1.\begin{cases}f(x)=\sqrt{x}-1&;\,0\le x<1\\f(x)=\frac{x^{2}-1}{4}&;\,x\ge 1\end{cases}.
  1. بيّن أن ff متصلة في 1.1.
  1. ادرس قابلية اشتقاق ff في 1.1.

ملاحظة

إذا كانت ff قابلة للاشتقاق في aa فإنها متصلة في a.a. العكس ليس دائماً صحيحاً.

مثال

الدالة x↦∣x∣x\mapsto\lvert x\rvert متصلة في 00 لكنها غير قابلة للاشتقاق في هذه النقطة.

Ⅱ. عمليات على الدوال القابلة للاشتقاق — رتابة دالة

خاصية

الدوال الحدودية والدالتان x↦cos⁡(x)x\mapsto\cos(x) و x↦sin⁡(x)x\mapsto\sin(x) قابلة للاشتقاق على R.\mathbb{R}. كل دالة جذرية قابلة للاشتقاق على كل مجال ضمن مجموعة تعريفها.

جدول الدوال المشتقة الاعتيادية

الدالة ffالدالة المشتقة f′f'مجال اشتقاق ff
x↦ax\mapsto a (a∈Ra\in\mathbb{R})x↦0x\mapsto 0R\mathbb{R}
x↦ax+bx\mapsto ax+b (a∈Ra\in\mathbb{R} و b∈Rb\in\mathbb{R})x↦ax\mapsto aR\mathbb{R}
x↦xnx\mapsto x^{n} (n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*})x↦nxn−1x\mapsto nx^{n-1}R\mathbb{R}
x↦1xx\mapsto\frac{1}{x}x↦−1x2x\mapsto-\frac{1}{x^{2}}R∗\mathbb{R}^{*}
x↦xx\mapsto\sqrt{x}x↦12xx\mapsto\frac{1}{2\sqrt{x}}R+∗\mathbb{R}_{+}^{*}
x↦cos⁡(x)x\mapsto\cos(x)x↦−sin⁡(x)x\mapsto-\sin(x)R\mathbb{R}
x↦sin⁡(x)x\mapsto\sin(x)x↦cos⁡(x)x\mapsto\cos(x)R\mathbb{R}
x↦tan⁡(x)x\mapsto\tan(x)x↦1+tan⁡2(x)=1cos⁡2(x)x\mapsto 1+\tan^{2}(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}R∖{π2+kπ∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}

خاصية

لتكن ff و gg دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال II و kk عدداً حقيقياً، لدينا:

  • الدالة f+gf+g قابلة للاشتقاق على II و (f+g)′=f′+g′.(f+g)'=f'+g'.
  • الدالة λf\lambda f قابلة للاشتقاق على II و (λf)′=λf′.(\lambda f)'=\lambda f'.
  • الدالة f×gf\times g قابلة للاشتقاق على II و (f×g)′=f′×g+f×g′.(f\times g)'=f'\times g+f\times g'.
  • الدالة fnf^{n} (n∈Nn\in\mathbb{N}) قابلة للاشتقاق على II و (fn)′=nf′×fn−1.(f^{n})'=nf'\times f^{n-1}.
  • إذا كان (∀x∈I):g(x)≠0(\forall x\in I):g(x)\neq 0 فإن الدالة fg\frac{f}{g} قابلة للاشتقاق على II و
(fg)′=f′×g−f×g′g2.\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\times g-f\times g'}{g^{2}}.
  • إذا كان (∀x∈I):f(x)≠0(\forall x\in I):f(x)\neq 0 فإن الدالة 1f\frac{1}{f} قابلة للاشتقاق على II و
(1f)′=−f′f2.\left(\frac{1}{f}\right)'=-\frac{f'}{f^{2}}.
  • إذا كان (∀x∈I):f(x)>0(\forall x\in I):f(x)>0 فإن الدالة f\sqrt{f} قابلة للاشتقاق على II و (f)′=f′2f.(\sqrt{f})'=\frac{f'}{2\sqrt{f}}.

تطبيق ①

  1. احسب مشتقة الدوال التالية: f(x)=2x1+x2f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}} ؛ h(x)=xsin⁡(x)+cos⁡(x)h(x)=\sqrt{x}\sin(x)+\cos(x) ؛ g(x)=(x2+1)5.g(x)=(x^{2}+1)^{5}.
  1. أ) ادرس رتابة الدالة ff أعلاه. ب) ضع جدول تغيرات f.f. ج) استنتج أن (∀x∈R):−1≤f(x)≤1.(\forall x\in\mathbb{R}):-1\le f(x)\le 1.

تمرين ②

Ⅰ. نعتبر gg الدالة المعرّفة على [0;+∞[[0{;}+\infty[ بـ g(x)=xx−1.g(x)=x\sqrt{x}-1.

  1. ادرس قابلية اشتقاق gg يميناً في 0.0. فسّر النتيجة مبيانياً.
  1. بيّن أن gg قابلة للاشتقاق على ]0;+∞[]0{;}+\infty[ ثم احسب مشتقتها.
  1. ضع جدول تغيرات g.g.
  1. احسب g(1)g(1) ثم استنتج إشارة gg على [0;+∞[.[0{;}+\infty[.

Ⅱ. لتكن ff الدالة المعرّفة على ]0;+∞[]0{;}+\infty[ بـ f(x)=2x−3+4x.f(x)=2x-3+\frac{4}{\sqrt{x}}.

  1. بيّن أن
(∀x∈]0;+∞[):f′(x)=2g(x)xx.(\forall x\in]0{;}+\infty[):f'(x)=\frac{2g(x)}{x\sqrt{x}}.
  1. ادرس تغيرات f.f.
  1. ضع جدول تغيرات f.f.
  1. استنتج أن (∀x∈]0;+∞[):f(x)≥3.(\forall x\in]0{;}+\infty[):f(x)\ge 3.

Ⅲ. مشتقة الدالة المركّبة

خاصية

  • إذا كانت ff قابلة للاشتقاق في عدد حقيقي aa و gg قابلة للاشتقاق في f(a)f(a) فإن الدالة المركّبة g∘fg\circ f قابلة للاشتقاق في aa و (g∘f)′(a)=g′(f(a))×f′(a).(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\times f'(a).
  • إذا كانت ff قابلة للاشتقاق على مجال II و gg قابلة للاشتقاق على مجال JJ بحيث f(I)⊂Jf(I)\subset J فإن الدالة المركّبة g∘fg\circ f قابلة للاشتقاق على II، وعلاوة على ذلك لكل x∈Ix\in I: (g∘f)′(x)=g′(f(x))×f′(x).(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\times f'(x).

مثال

نحدد مشتقة الدالة h:x↦cos⁡(x)h:x\mapsto\cos(\sqrt{x}) على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[. لكل xx من ]0;+∞[]0{;}+\infty[ لدينا h(x)=(g∘f)(x)h(x)=(g\circ f)(x) حيث g(x)=cos⁡(x)g(x)=\cos(x) و f(x)=x.f(x)=\sqrt{x}. بما أن gg قابلة للاشتقاق على R\mathbb{R} و ff قابلة للاشتقاق على ]0;+∞[]0{;}+\infty[ و f(]0;+∞[)⊂Rf(]0{;}+\infty[)\subset\mathbb{R} فإن الدالة hh قابلة للاشتقاق على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[. و

h′(x)=g′(f(x))×f′(x)=−sin⁡(x)2xh'(x)=g'(f(x))\times f'(x)=\frac{-\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}

لكل xx من ]0;+∞[.]0{;}+\infty[.

تطبيق ④

احسب مشتقة الدالتين

f:x↦sin⁡ ⁣(x2−23x+4)f:x\mapsto\sin\!\left(x^{2}-\frac{2}{3}x+4\right)

و g:x↦cos⁡ ⁣(4x2+4).g:x\mapsto\cos\!\left(\frac{4}{x^{2}+4}\right).

Ⅳ. مشتقة الدالة العكسية

خاصية

لتكن ff دالة متصلة ورتيبة قطعاً على مجال II من R\mathbb{R}، و a∈I.a\in I. إذا كانت ff قابلة للاشتقاق في aa و f′(a)≠0f'(a)\neq 0 فإن الدالة f−1f^{-1} قابلة للاشتقاق في f(a)f(a) و (f−1)′(f(a))=1f′(a).(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}.

تطبيق ⑤

لتكن ff الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=x3+x.f(x)=x^{3}+x.

  1. بيّن أن ff تقبل دالة عكسية معرّفة على R.\mathbb{R}.
  1. أ) احسب f(1).f(1). ب) بيّن أن f−1f^{-1} قابلة للاشتقاق في 22 ثم حدد (f−1)′(2).(f^{-1})'(2).

خاصية

لتكن ff دالة متصلة ورتيبة قطعاً على مجال II من R.\mathbb{R}. إذا كانت ff قابلة للاشتقاق على II بحيث (∀x∈I):f′(x)≠0(\forall x\in I):f'(x)\neq 0 فإن الدالة f−1f^{-1} قابلة للاشتقاق على J=f(I).J=f(I). وعلاوة على ذلك لكل x∈Jx\in J: (f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}.

نتائج

  • ليكن nn عدداً صحيحاً طبيعياً أكبر من أو يساوي 2.2. الدالة x↦xnx\mapsto\sqrt[n]{x} قابلة للاشتقاق على ]0;+∞[]0{;}+\infty[ ولكل x∈]0;+∞[x\in]0{;}+\infty[: (xn)′=1nxn−1n.\left(\sqrt[n]{x}\right)'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}.
  • إذا كانت ff دالة قابلة للاشتقاق على مجال II من R\mathbb{R} و (∀x∈I):f(x)>0(\forall x\in I):f(x)>0 فإن الدالة x↦f(x)nx\mapsto\sqrt[n]{f(x)} قابلة للاشتقاق على II ودالتها المشتقة معطاة بـ:
(f(x)n)′=f′(x)n(f(x)n)n−1.\left(\sqrt[n]{f(x)}\right)'=\frac{f'(x)}{n\left(\sqrt[n]{f(x)}\right)^{n-1}}.

تطبيق ⑥

  1. احسب مشتقة كل من الدوال التالية:

أ. f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x} ؛ ب. f(x)=x34f(x)=\sqrt[4]{x^{3}} ؛ ج. f(x)=1+cos⁡2(x)4f(x)=\sqrt[4]{1+\cos^{2}(x)} ؛ د. f(x)=x2+2x3.f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2x}.

  1. بمساعدة العدد المشتق، احسب النهايات التالية:

أ. lim⁡x→0x+13−1x\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x} ؛ ب.

lim⁡x→1(x8+1)(x3+14)−4x−1.\lim_{x\to 1}\frac{(x^{8}+1)(\sqrt[4]{x^{3}+1})-4}{x-1}.

تمرين ③

لتكن ff الدالة العددية المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=x3−3x−3.f(x)=x^{3}-3x-3.

  1. ادرس تغيرات الدالة f.f.
  1. لتكن gg قصر ff على [1;+∞[.[1{;}+\infty[.

أ) بيّن أن gg تقبل دالة عكسية معرّفة على مجال JJ يُحدد.

ب) بيّن أن المعادلة g(x)=0g(x)=0 تقبل حلاً وحيداً α\alpha وأن 2<α<3.2<\alpha<3.

ج) بيّن أن: (g−1)′(0)=13(α2−1).(g^{-1})'(0)=\frac{1}{3(\alpha^{2}-1)}.

Ⅴ. الفروع اللانهائية (تذكير)

مخطط تذكيري لدراسة الفروع اللانهائية:

  • إذا كان lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x\to a}f(x)=\infty فإن (Cf)(C_{f}) يقبل مقارباً عمودياً معادلته x=ax=a.
  • إذا كان lim⁡x→∞f(x)=ℓ\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell فإن (Cf)(C_{f}) يقبل مقارباً أفقياً معادلته y=ℓy=\ell بجوار ∞\infty.
  • إذا كان lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty: نحسب lim⁡x→∞f(x)x\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}. إن كانت النتيجة 00 ففرع مكافئ باتجاه محور الأفاصيل؛ إن كانت ∞\infty ففرع مكافئ باتجاه محور الأراتيب؛ إن كانت aa نحسب lim⁡x→∞(f(x)−ax)\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax): إن كانت ∞\infty ففرع مكافئ باتجاه المستقيم y=axy=ax؛ إن كانت bb فمقارب مائل y=ax+by=ax+b.
  • إذا كان lim⁡x→∞(f(x)−(ax+b))=0\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-(ax+b)\bigr)=0 فإن y=ax+by=ax+b مقارب مائل لـ (Cf)(C_{f}) بجوار ∞\infty.

مثال ①

نعتبر ff الدالة المعرّفة على R∖{−1}\mathbb{R}\setminus\{-1\} بـ: f(x)=3−2x2(1+x)2.f(x)=\frac{3-2x^{2}}{(1+x)^{2}}.

لدينا

lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→+∞3−2x2(1+x)2=−2\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{3-2x^{2}}{(1+x)^{2}}=-2

و

lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞3−2x2(1+x)2=−2.\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{3-2x^{2}}{(1+x)^{2}}=-2.

إذن المستقيم ذو المعادلة y=−2y=-2 مقارب أفقي للمنحنى (Cf)(C_{f}) بجوار +∞+\infty و −∞.-\infty.

ولدينا:

lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+3−2x2(1+x)2=+∞\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{3-2x^{2}}{(1+x)^{2}}=+\infty

و

lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−3−2x2(1+x)2=+∞.\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{3-2x^{2}}{(1+x)^{2}}=+\infty.

إذن المستقيم ذو المعادلة x=2x=2 مقارب عمودي للمنحنى (Cf).(C_{f}).

مثال ②

نعتبر gg الدالة المعرّفة على [0;+∞[[0{;}+\infty[ بـ: g(x)=2x−x.g(x)=2x-\sqrt{x}.

لدينا:

lim⁡x→+∞g(x)=lim⁡x→+∞(2x−x)=lim⁡x→+∞x(2x−1)=+∞.\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}(2x-\sqrt{x})=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}(2\sqrt{x}-1)=+\infty.

نحسب إذن lim⁡x→+∞g(x)x.\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}.

lim⁡x→+∞g(x)x=lim⁡x→+∞2x−xx=lim⁡x→+∞(2−1x)=2.\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-\sqrt{x}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(2-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=2.

وبالتالي:

lim⁡x→+∞(g(x)−2x)=lim⁡x→+∞(2x−x−2x)=lim⁡x→+∞(−x)=−∞.\lim_{x\to+\infty}\bigl(g(x)-2x\bigr)=\lim_{x\to+\infty}(2x-\sqrt{x}-2x)=\lim_{x\to+\infty}(-\sqrt{x})=-\infty.

ومن ثم يقبل المنحنى (Cg)(C_{g}) فرعاً مكافئاً باتجاه المستقيم ذي المعادلة y=2xy=2x بجوار +∞.+\infty.

تطبيق ⑦

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ f(x)=x2+x−1x+2.f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{x+2}.

  1. أعط DfD_{f} مجموعة تعريف f.f.
  1. احسب lim⁡x→−2x<−2f(x)\lim_{\substack{x\to-2\\x<-2}}f(x) و lim⁡x→−2x>−2f(x).\lim_{\substack{x\to-2\\x>-2}}f(x). فسّر النتائج.
  1. أ) تحقق، لكل xx من DfD_{f}، أن f(x)=x−1+1x+2.f(x)=x-1+\frac{1}{x+2}.

ب) بيّن أن المستقيم ذا المعادلة (D):y=x−1(D):y=x-1 مقارب مائل لـ (Cf)(C_{f}) بجوار +∞+\infty و −∞.-\infty.

ج) ادرس الأوضاع النسبية بين المنحنى (Cf)(C_{f}) والمستقيم (D).(D).

Ⅵ. تقعّر منحنى — نقاط الانعطاف

خاصية

لتكن ff دالة قابلة للاشتقاق مرتين على مجال II و (Cf)(C_{f}) منحناها التمثيلي و a∈I.a\in I.

  • إذا كانت f′′f'' موجبة على المجال II فإن (Cf)(C_{f}) محدّب.
  • إذا كانت f′′f'' سالبة على المجال II فإن (Cf)(C_{f}) مقعر.
  • إذا انعدمت f′′f'' في aa مغيّرة الإشارة فإن النقطة A(a;f(a))A(a{;}f(a)) نقطة انعطاف لـ (Cf).(C_{f}).

تطبيق ⑧

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ f(x)=x2+x−1x+2.f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{x+2}. ادرس تقعّر (Cf)(C_{f}) مع تحديد نقاط الانعطاف إن وُجدت.

Ⅲ. عناصر تماثل منحنى

  1. محور تماثل

خاصية

لتكن ff دالة معرّفة على مجموعة DD و (Cf)(C_{f}) منحناها التمثيلي في معلم متعامد منظم. المستقيم (Δ)(\Delta) ذو المعادلة x=ax=a (a∈Ra\in\mathbb{R}) محور تماثل للمنحنى (Cf)(C_{f}) إذا وفقط إذا كان:

{(∀x∈D); (2a−x)∈D(∀x∈D); f(2a−x)=f(x).\begin{cases}(\forall x\in D);\,(2a-x)\in D\\(\forall x\in D);\,f(2a-x)=f(x)\end{cases}.

تطبيق ⑨

بيّن أن المستقيم (Δ):x=1(\Delta):x=1 محور تماثل لمنحنى الدالة ff المعرّفة بـ f(x)=x2−2x+3.f(x)=\sqrt{x^{2}-2x+3}.

  1. مركز تماثل

خاصية

لتكن ff دالة معرّفة على مجموعة DD و (Cf)(C_{f}) منحناها التمثيلي في معلم متعامد منظم. النقطة Ω(a;b)\Omega(a{;}b) حيث (a;b)∈R2(a{;}b)\in\mathbb{R}^{2} مركز تماثل للمنحنى (Cf)(C_{f}) إذا وفقط إذا كان:

{(∀x∈D); (2a−x)∈D(∀x∈D); f(2a−x)+f(x)=2b.\begin{cases}(\forall x\in D);\,(2a-x)\in D\\(\forall x\in D);\,f(2a-x)+f(x)=2b\end{cases}.

تطبيق ⑩

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ f(x)=x2+x−1x+2.f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{x+2}.

  1. بيّن أن النقطة Ω(−2;−3)\Omega(-2{;}-3) مركز تماثل لمنحنى الدالة ff المعرّفة بـ f(x)=x2+x−1x+2.f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{x+2}.
  1. استنتج أنه يكفي دراسة ff على ]−2;+∞[.]-2{;}+\infty[.

تمرين ⑧

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ f(x)=x2+x−1x+2.f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{x+2}.

  1. أعط إحداثيات نقاط تقاطع (Cf)(C_{f}) مع محاور المعلم.
  1. ادرس تغيرات f.f.
  1. لتكن gg قصر ff على [−1;+∞[.[-1{;}+\infty[. بيّن أن gg تقبل دالة عكسية g−1g^{-1} معرّفة على مجال JJ يُحدد.
  1. أنشئ (D):y=x−1(D):y=x-1 و (Cf)(C_{f}) و (Cg−1)(C_{g^{-1}}) في معلم متعامد منظم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

تمرين تركيبي

Ⅰ. نعتبر gg الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ g(x)=1+xx2+1.g(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

  1. احسب lim⁡x→+∞g(x)\lim_{x\to+\infty}g(x) و lim⁡x→−∞g(x).\lim_{x\to-\infty}g(x).
  1. أ) بيّن، لكل عدد حقيقي xx، أن g′(x)=1(x2+1)x2+1.g'(x)=\frac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}.

ب) أعط جدول تغيرات g.g.

ج) استنتج، لكل عدد حقيقي xx، أن g(x)>0.g(x)>0.

Ⅱ. لتكن ff الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=x−1+x2+1f(x)=x-1+\sqrt{x^{2}+1}، وليكن (Cf)(C_{f}) منحناها التمثيلي في المستوى المزوّد بمعلم متعامد منظم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

  1. احسب lim⁡x→+∞f(x).\lim_{x\to+\infty}f(x).
  1. بيّن أن lim⁡x→−∞f(x)=−1.\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1. فسّر النتيجة هندسياً.
  1. بيّن أن المستقيم (D):y=2x−1(D):y=2x-1 مقارب مائل لـ (Cf)(C_{f}) بجوار +∞.+\infty.
  1. أ) بيّن، لكل عدد حقيقي xx، أن f′(x)=g(x).f'(x)=g(x). ب) ضع جدول تغيرات f.f.
  1. احسب f(1)f(1) ثم ارسم (Cf).(C_{f}).
  1. أ) بيّن أن ff تقبل دالة عكسية f−1f^{-1} معرّفة على مجال JJ يُحدد. ب) بيّن أن f−1f^{-1} قابلة للاشتقاق في 2\sqrt{2} ثم احسب (f−1)′(2).(f^{-1})'(\sqrt{2}). ج) ارسم (Cf−1)(C_{f^{-1}}) في نفس المعلم.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ