Ximath
تسجيل الدخول
سلاسل هذا المستوى

الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

السلسلة 02

سلسلة تمارين: الاشتقاق ودراسة الدوال

قابلية الاشتقاق، المشتقات، التركيب، الدالة العكسية، الفروع اللانهائية، ودراسات دوال كاملة — تطبيقات وتمارين.

الدرس 02 — الاشتقاق — دراسة الدوال

جزء التطبيقات

تطبيق ①

  1. نعتبر f(x)=x2−2xf(x)=x^{2}-2x على R.\mathbb{R}. ادرس قابلية اشتقاق ff في −1-1 ثم فسّر مبيانياً.
  1. نعتبر g(x)=∣x−1∣.g(x)=\lvert x-1\rvert. أ) ادرس الاشتقاق يميناً ويساراً في 11 وفسّر. ب) هل gg قابلة للاشتقاق في 1؟1؟

تطبيق ②

ادرس قابلية اشتقاق ff في aa وفسّر مبيانياً: أ. f(x)=x3−xf(x)=x^{3}-x، a=2a=2 ؛ ب. f(x)=x+1xf(x)=\frac{x+1}{x}، a=1a=1 ؛ ج. f(x)=2x+1f(x)=\sqrt{2x+1}، a=−12a=-\frac{1}{2} يميناً.

تطبيق ③

f(x)={x2+1−1x; x≠00; sinon.f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x}&;\,x\neq 0\\0&;\,\text{sinon}\end{cases}.
  1. ادرس الاتصال في 0.0. 2) ادرس الاشتقاق في 00 وفسّر.

تطبيق ④

f(x)={x−1; 0≤x<1x2−14; x≥1.f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}-1&;\,0\le x<1\frac{x^{2}-1}{4}&;\,x\ge 1\end{cases}.

ادرس الاتصال ثم الاشتقاق في 1.1.

تطبيق ⑤

  1. احسب مشتقات f(x)=2x1+x2f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}} ؛ h(x)=xsin⁡(x)+cos⁡(x)h(x)=\sqrt{x}\sin(x)+\cos(x) ؛ g(x)=(x2+1)5.g(x)=(x^{2}+1)^{5}.
  1. أ) ادرس رتابة f.f. ب) جدول التغيرات. ج) استنتج −1≤f(x)≤1.-1\le f(x)\le 1.

تطبيق ⑥

Ⅰ. g(x)=xx−1g(x)=x\sqrt{x}-1 على [0;+∞[.[0{;}+\infty[. 1) اشتقاق يميناً في 0.0. 2) مشتقة على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[. 3) جدول التغيرات. 4) g(1)g(1) وإشارة g.g.

Ⅱ. f(x)=2x−3+4xf(x)=2x-3+\frac{4}{\sqrt{x}} على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[. 1) بيّن f′(x)=2g(x)xx.f'(x)=\frac{2g(x)}{x\sqrt{x}}. 2–4) تغيرات، جدول، و f(x)≥3.f(x)\ge 3.

تطبيق ⑦

f=cos⁡f=\cos، g(x)=x2−2x.g(x)=x^{2}-2x. 1) f′f' و g′.g'. 2) f′(x)×g′(f(x)).f'(x)\times g'(f(x)). 3) h=g∘fh=g\circ f ثم h′.h'. 4) قارن h′h' و f′×g′∘f.f'\times g'\circ f.

احسب مشتقتي sin⁡(x2−23x+4)\sin(x^{2}-\tfrac{2}{3}x+4) و cos⁡(4x2+4).\cos(\tfrac{4}{x^{2}+4}).

تطبيق ⑧

f(x)=x3+x.f(x)=x^{3}+x. 1) بيّن وجود f−1f^{-1} على R.\mathbb{R}. 2) احسب f(1)f(1) ثم (f−1)′(2).(f^{-1})'(2).

  1. مشتقات x3\sqrt[3]{x}، x34\sqrt[4]{x^{3}}، 1+cos⁡2(x)4\sqrt[4]{1+\cos^{2}(x)}، x2+2x3.\sqrt[3]{x^{2}+2x}. 2) نهايات بمساعدة العدد المشتق: lim⁡x→0x+13−1x\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x} و
lim⁡x→1(x8+1)(x3+14)−4x−1.\lim_{x\to 1}\frac{(x^{8}+1)(\sqrt[4]{x^{3}+1})-4}{x-1}.

تطبيق ⑨

f(x)=x3−3x−3.f(x)=x^{3}-3x-3. 1) تغيرات f.f. 2) g=f∣[1;+∞[؛g=f|_{[1{;}+\infty[}؛ عكسية؛ حل وحيد α∈]2;3[؛\alpha\in]2{;}3[؛ (g−1)′(0)=13(α2−1).(g^{-1})'(0)=\frac{1}{3(\alpha^{2}-1)}.

تطبيق ⑩

f(x)=x2+x−1x+2.f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{x+2}. 1) Df.D_{f}. 2) نهايات عند −2.-2. 3) تحقق f(x)=x−1+1x+2؛f(x)=x-1+\frac{1}{x+2}؛ مقارب مائل y=x−1؛y=x-1؛ الوضع النسبي.

ادرس التقعر ونقاط الانعطاف لنفس f.f. بيّن أن x=1x=1 محور تماثل لـ x2−2x+3.\sqrt{x^{2}-2x+3}. بيّن أن Ω(−2;−3)\Omega(-2{;}-3) مركز تماثل لـ ff واستنتج مجال الدراسة.

لنفس ff: تقاطع مع المحاور؛ تغيرات؛ عكسية لقصر على [−1;+∞[؛[-1{;}+\infty[؛ إنشاء (D)(D) و (Cf)(C_{f}) و (Cg−1).(C_{g^{-1}}).

جزء التمارين

تمرين ① — قراءة مبيانية

يُعطى أسفله منحنى دالة معرّفة على R.\mathbb{R}.

منحنى دالة للقراءة المبيانية
(Cf)(C_{f})
  1. أعط f′(1)f'(1) و f′(0).f'(0). 2) هل ff قابلة للاشتقاق في 2؟2؟ 3) حدد fg′(2)f'_{g}(2) و fd′(2).f'_{d}(2). 4) جدول تغيرات ff مع إشارة f′.f'. 5) جدول إشارة f.f. 6) حل مبيانياً f(x)≤3.f(x)\le 3.

تمرين ②

f(x)=x3−2x.f(x)=x\sqrt{3-2x}. 1) Df.D_{f}. 2) lim⁡x→−∞f(x).\lim_{x\to-\infty}f(x). 3) اشتقاق يساراً في 32.\tfrac{3}{2}. 4) بيّن f′(x)=3(1−x)3−2x؛f'(x)=\frac{3(1-x)}{\sqrt{3-2x}}؛ تغيرات؛ جدول. 5) g=f∣]−∞;1]؛g=f|_{]-\infty{;}1]}؛ عكسية؛ اشتقاق g−1؛g^{-1}؛ (g−1)′(0).(g^{-1})'(0).

تمرين ③

f(x)=x+12+1x2+1.f(x)=x+\frac{1}{2}+\frac{1}{x^{2}+1}. 1) نهايات؛ مقارب مائل (Δ).(\Delta). 2) f′؛f'؛ تزايد قطعي؛ مماس في −1.-1. 3) تقاطع مع المحاور. 4) نقطتا انعطاف. 5) إنشاء (Δ)(\Delta) و (T)(T) و (Cf).(C_{f}). 6) حل مبياني f(x)>0.f(x)>0. 7) بيّن 1x+2+x+1≥32\frac{1}{x+2}+\sqrt{x+1}\ge\tfrac{3}{2} لـ x≥0.x\ge 0. 8) عكسية؛ (f−1)′(0)؛(f^{-1})'(0)؛ رسم (Cf−1).(C_{f^{-1}}).

تمرين ④

Ⅰ. g(x)=1+xx2+1.g(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}. نهايات؛ g′=1(x2+1)x2+1؛g'=\frac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}؛ جدول؛ g>0.g>0.

Ⅱ. f(x)=x−1+x2+1.f(x)=x-1+\sqrt{x^{2}+1}. نهايات؛ مقارب y=2x−1؛y=2x-1؛ f′=g؛f'=g؛ جدول؛ رسم؛ عكسية و (f−1)′(2).(f^{-1})'(\sqrt{2}).

تمرين ⑤

f(x)=1−x2+2x.f(x)=1-\sqrt{x^{2}+2x}. 1) Df.D_{f}. 2) محور تماثل x=−1x=-1 ومجال الدراسة. 3) lim⁡+∞f.\lim_{+\infty}f. 4) اشتقاق يميناً في 0.0. 5) مقارب y=−xy=-x عند +∞.+\infty. 6) تغيرات وجدول. 7) حل وحيد α∈[0;+∞[\alpha\in[0{;}+\infty[ لـ f(x)=0f(x)=0 مع 0<α<1.0<\alpha<1. 8) رسم. 9) عكسية لقصر على [0;+∞[؛[0{;}+\infty[؛ (g−1)′(1−3).(g^{-1})'(1-\sqrt{3}).

تمرين ⑥

f(x)=x3−3x2+1.f(x)=x^{3}-3x^{2}+1. 1) نهايات وفروع لانهائية. 2) مركز تماثل Ω(1;−1).\Omega(1{;}-1). 3) f′f' وإشارتها وجدول التغيرات. 4) Ω\Omega نقطة انعطاف. 5) مماس في Ω؛\Omega؛ رسم. 6) عكسية لقصر على [2;+∞[؛[2{;}+\infty[؛ (g−1)′(1).(g^{-1})'(1).

تمرين ⑦

f(x)=x−2x−1.f(x)=x-\sqrt{2x-1}. 1) Df.D_{f}. 2) lim⁡+∞\lim_{+\infty} وطبيعة الفرع اللانهائي. 3) اشتقاق يميناً في 12.\tfrac{1}{2}. 4) اشتقاق على ]12;+∞[؛]\tfrac{1}{2}{;}+\infty[؛ إشارة f′f' هي إشارة x−1؛x-1؛ جدول؛ مماس في 5.5. 5) رسم. 6) عكسية لقصر على [1;+∞[؛[1{;}+\infty[؛ (g−1)′(2).(g^{-1})'(2). 7) تحقق g(x)=12(2x−1−1)2g(x)=\frac{1}{2}(\sqrt{2x-1}-1)^{2} واحسب g−1(x).g^{-1}(x).

تمرين ⑧

f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x) في معلم ∥ı⃗∥=π4\|\vec{\imath}\|=\tfrac{\pi}{4}، ∥ȷ⃗∥=1.\|\vec{\jmath}\|=1. 1) دورية π.\pi. 2) الزوجية. 3) محور تماثل x=π4.x=\tfrac{\pi}{4}. 4) لماذا يكفي الدراسة على [0;π4]؟[0{;}\tfrac{\pi}{4}]؟ 5) f′f' وجدول على I.I. 6) أنشئ (Cf)(C_{f}) على [−3π2;5π2].[-\tfrac{3\pi}{2}{;}\tfrac{5\pi}{2}].

تمرين ⑨

f(x)={x2+3x+1; x≤0−x+1x; x>0.f(x)=\begin{cases}\frac{x^{2}+3}{x+1}&;\,x\le 0\\-\frac{\sqrt{x+1}}{x}&;\,x>0\end{cases}.
  1. DfD_{f} ونهايات عند الحدود؛ فروع لانهائية. 2) هل ff متصلة في 0؟0؟ 3) اشتقاق في 0.0. 4) f′f' على ]−∞;0[]-\infty{;}0[ و ]0;+∞[؛]0{;}+\infty[؛ إشارة وجدول. 5) أنشئ (Cf).(C_{f}).

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ