Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

الدرس 01

اتصال دالة عددية

الاتصال في نقطة، يميناً ويساراً، على مجال، صورة مجال، مبرهنة القيم الوسطية، الدالة العكسية، والجذور من الرتبة n.

سلسلة التمارين 01 — سلسلة تمارين: اتصال دالة

  1. اتصال دالة في نقطة

منحنى دالة ذات انقطاع عند $x=1$
المنحنى (Cf)(C_{f})

تعريف

لتكن ff دالة معرّفة على مجال مفتوح II و aa نقطة من I.I. نقول إن ff متصلة في aa إذا وفقط إذا كان lim⁡x→af(x)=f(a).\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

مقارنة بين الاتصال والانقطاع في نقطة
يسار: ff متصلة في aa. يمين: ff غير متصلة في aa.

مثال

الدالة المعرّفة بـ

{f(x)=x2−9x−3; x≠3f(3)=6\begin{cases}f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}&;\,x\neq 3\\f(3)=6\end{cases}

متصلة في 3.3.

بالفعل:

lim⁡x→3f(x)=lim⁡x→3x2−9x−3=lim⁡x→3(x−3)(x+3)x−3=lim⁡x→3(x+3)=6=f(3).\lim_{x\to 3}f(x)=\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6=f(3).

مثال

الدالة المعرّفة بـ

{f(x)=sin⁡(3x)x; x≠0f(0)=1\begin{cases}f(x)=\frac{\sin(3x)}{x}&;\,x\neq 0\\f(0)=1\end{cases}

غير متصلة في 0.0.

بالفعل:

lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0sin⁡(3x)x=lim⁡x→03⋅sin⁡(3x)3x=3≠f(0).\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=\lim_{x\to 0}3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}=3\neq f(0).

تطبيق ①

ادرس اتصال الدوال التالية عند النقطة a.a.

{f(x)=x3−2x+1x−1; x≠1f(1)=1\begin{cases}f(x)=\frac{x^{3}-2x+1}{x-1}&;\,x\neq 1\\f(1)=1\end{cases}

و a=1.a=1.

{g(x)=xx+2−4x−2; x∈[−2;2[∪]2;+∞[g(2)=52\begin{cases}g(x)=\frac{x\sqrt{x+2}-4}{x-2}&;\,x\in[-2{;}2[\cup]2{;}+\infty[\\g(2)=\frac{5}{2}\end{cases}

و a=2.a=2.

تمرين ①

ادرس اتصال الدوال التالية عند النقطة a.a.

{f(x)=x3+2x2+3x+2x2+4x+3; x≠−1f(−1)=1\begin{cases}f(x)=\frac{x^{3}+2x^{2}+3x+2}{x^{2}+4x+3}&;\,x\neq-1\\f(-1)=1\end{cases}

و a=−1.a=-1.

{g(x)=sin⁡(x−2)x2−2x; x>2g(2)=12\begin{cases}g(x)=\frac{\sin(x-2)}{x^{2}-2x}&;\,x>2\\g(2)=\frac{1}{2}\end{cases}

و a=2.a=2.

  1. الاتصال يميناً — الاتصال يساراً

تعريف

  • لتكن ff دالة معرّفة على مجال ]a−r;a]]a-r{;}a] حيث r>0.r>0. نقول إن ff متصلة يساراً في aa إذا وفقط إذا كان lim⁡x→a−f(x)=f(a).\lim_{x\to a^{-}}f(x)=f(a).
  • لتكن ff دالة معرّفة على مجال [a;a+r[[a{;}a+r[ حيث r>0.r>0. نقول إن ff متصلة يميناً في aa إذا وفقط إذا كان lim⁡x→a+f(x)=f(a).\lim_{x\to a^{+}}f(x)=f(a).

مثال

الدالة المعرّفة بـ

{f(x)=x2−1∣x−1∣; x≠1f(1)=2\begin{cases}f(x)=\frac{x^{2}-1}{\lvert x-1\rvert}&;\,x\neq 1\\f(1)=2\end{cases}

متصلة يميناً في 11 وغير متصلة يساراً في 1.1.

بالفعل:

lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+x2−1x−1=lim⁡x→1+(x+1)=2=f(1).\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}(x+1)=2=f(1).

إذن ff متصلة يميناً في 1.1.

و:

lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−x2−1−(x−1)=lim⁡x→1−−(x+1)=−2≠f(1).\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}-1}{-(x-1)}=\lim_{x\to 1^{-}}-(x+1)=-2\neq f(1).

إذن ff غير متصلة يساراً في 1.1.

خاصية

ff متصلة في aa إذا وفقط إذا كانت ff متصلة يساراً ويميناً في a.a. بعبارة أخرى: ff متصلة في

a  ⟺  lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a−f(x)=f(a).a\iff\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}f(x)=f(a).

تطبيق ②

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ

{f(x)=xx+1−1; x>0f(x)=sin⁡(2x)x; x<0f(0)=2.\begin{cases}f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}&;\,x>0\\f(x)=\frac{\sin(2x)}{x}&;\,x<0\\f(0)=2\end{cases}.
  1. ادرس اتصال ff يميناً ويساراً في 0.0.
  1. هل ff متصلة في 0؟0؟

تمرين ②

  1. لتكن ff الدالة المعرّفة بـ
{f(x)=x+2−2x−2; x>2f(x)=x2−4x+3x−3; x≤2.\begin{cases}f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}&;\,x>2\\f(x)=\frac{x^{2}-4x+3}{x-3}&;\,x\le 2\end{cases}.

ادرس اتصال ff يميناً ويساراً في 0.0.

  1. لتكن gg الدالة المعرّفة بـ
{g(x)=x3+ax; x>−1g(x)=−x+1; x≤−1.\begin{cases}g(x)=x^{3}+ax&;\,x>-1\\g(x)=-x+1&;\,x\le-1\end{cases}.

حدد قيمة aa حتى تكون gg متصلة في −1.-1.

  1. اتصال دالة على مجال

تعريف

  • نقول إن ff متصلة على المجال المفتوح ]a;b[]a{;}b[ إذا كانت ff متصلة في كل نقطة من ]a;b[.]a{;}b[.
  • نقول إن ff متصلة على المجال [a,b][a{,}b] إذا كانت ff متصلة في كل نقطة من ]a;b[]a{;}b[ ومتصلة يميناً في aa ومتصلة يساراً في b.b.

ملاحظة

نعرّف بنفس الطريقة الاتصال على المجالات [a,b[[a{,}b[ و ]a,b]]a{,}b] و [a,+∞[[a{,}+\infty[ و ]−∞,b].]-\infty{,}b].

مثال — دالة الجزء الصحيح

دالة الجزء الصحيح هي الدالة التي تربط بكل عدد حقيقي xx العدد الصحيح النسبي الوحيد nn بحيث n≤x<n+1.n\le x<n+1. نرمز لجزء xx الصحيح بـ E(x)E(x) أو [x].[x].

أمثلة: E(3,2)=3E(3{,}2)=3 لأن 3≤3,2<43\le 3{,}2<4 و E(−1,2)=−2E(-1{,}2)=-2 لأن −2≤−1,2<−1.-2\le-1{,}2<-1.

منحنى الدالة x↦E(x)x\mapsto E(x) على المجال [−1;3[[-1{;}3[:

منحنى دالة الجزء الصحيح
(CE)(C_{E}) على [−1;3[[-1{;}3[
  • الدالة x↦E(x)x\mapsto E(x) متصلة على المجال [−1;0[[-1{;}0[ لأنها متصلة في كل نقطة من ]−1;0[]-1{;}0[ ومتصلة يميناً في −1-1 إذ lim⁡x→−1+E(x)=−1=E(−1)\lim_{x\to-1^{+}}E(x)=-1=E(-1).
  • الدالة x↦E(x)x\mapsto E(x) غير متصلة على المجال ]1;3[]1{;}3[ لأنها غير متصلة في 11 إذ lim⁡x→1+E(x)=1=E(1)\lim_{x\to 1^{+}}E(x)=1=E(1) و lim⁡x→1−E(x)=0≠E(1)\lim_{x\to 1^{-}}E(x)=0\neq E(1).

خاصية

  • كل دالة حدودية متصلة على R.\mathbb{R}.
  • كل دالة جذرية متصلة على كل مجال ضمن مجموعة تعريفها.
  • الدالتان x↦sin⁡(x)x\mapsto\sin(x) و x↦cos⁡(x)x\mapsto\cos(x) متصلتان على R.\mathbb{R}.
  • الدالة x↦tan⁡(x)x\mapsto\tan(x) متصلة على
R∖{π2+kπ∣k∈Z}.\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}.
  • الدالة x↦xx\mapsto\sqrt{x} متصلة على R+.\mathbb{R}^{+}.
  • الدالة x↦∣x∣x\mapsto\lvert x\rvert متصلة على R.\mathbb{R}.

أمثلة

الدالة f:x↦x3+2x2−x+1f:x\mapsto x^{3}+2x^{2}-x+1 متصلة على R\mathbb{R} لأنها دالة حدودية.

الدالة g:x↦5x3+2x−1x2−1g:x\mapsto\frac{5x^{3}+2x-1}{x^{2}-1} متصلة على ]1;+∞[]1{;}+\infty[ لأنها دالة جذرية و

]1;+∞[⊂R∖{−1,1}.]1{;}+\infty[\subset\mathbb{R}\setminus\{-1{,}1\}.

تطبيق ③

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ

{f(x)=−x+4; x<3f(x)=6−xx; x≥3.\begin{cases}f(x)=-x+4&;\,x<3\\f(x)=\frac{6-x}{x}&;\,x\ge 3\end{cases}.

بيّن أن الدالة ff متصلة على R.\mathbb{R}.

Ⅱ. صورة مجال بدالة متصلة

  1. صورة قطعة — صورة مجال

خاصية

  • صورة قطعة بدالة متصلة هي قطعة.
  • صورة مجال بدالة متصلة هي مجال.

ملاحظة

إذا كانت ff متصلة على قطعة [a,b][a{,}b] و MM و mm هما على الترتيب القيمة القصوى والدنيا لـ ff على [a,b][a{,}b]، فإن f([a,b])=[m,M].f([a{,}b])=[m{,}M].

تطبيق ④

يُعطى جانباً منحنى دالة ff معرّفة على [−2;4].[-2{;}4]. حدد صورة المجالات التالية [−2,3][−2{,}3] و [0,1][0{,}1] و [1,3][1{,}3] و ]−1,1]]−1{,}1] بالدالة f.f.

منحنى دالة على $[-2{;}4]$
(Cf)(C_{f})

  1. صورة مجال بدالة متصلة ورتيبة قطعاً

لتكن ff دالة متصلة ورتيبة قطعاً على مجال I.I. في الجدول التالي aa و bb عددان حقيقيان أو +∞+\infty أو −∞.-\infty.

صورة المجال II بالدالة ff

المجال IIff تزايدية قطعاً على IIff تناقصية قطعاً على II
[a,b][a{,}b][f(a),f(b)][f(a){,}f(b)][f(b),f(a)][f(b){,}f(a)]
[a,b[[a{,}b[[f(a),lim⁡x→b−f(x)[[f(a){,}\lim_{x\to b^{-}}f(x)[]lim⁡x→b−f(x),f(a)]]\lim_{x\to b^{-}}f(x){,}f(a)]
]a,b]]a{,}b]]lim⁡x→a+f(x),f(b)]]\lim_{x\to a^{+}}f(x){,}f(b)][f(b),lim⁡x→a+f(x)[[f(b){,}\lim_{x\to a^{+}}f(x)[
]a,b[]a{,}b[]lim⁡x→a+f(x),lim⁡x→b−f(x)[]\lim_{x\to a^{+}}f(x){,}\lim_{x\to b^{-}}f(x)[]lim⁡x→b−f(x),lim⁡x→a+f(x)[]\lim_{x\to b^{-}}f(x){,}\lim_{x\to a^{+}}f(x)[

مثال

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ f(x)=x2−4x−1.f(x)=x^{2}-4x-1. الدالة ff تناقصية قطعاً على ]−∞;2]]-\infty{;}2] وتزايدية قطعاً على [2;+∞[.[2{;}+\infty[. لدينا:

f([2;4])=[f(2);f(4)]=[−5;−1]f([2{;}4])=[f(2){;}f(4)]=[-5{;}-1] و f([−1;1])=[f(1);f(−1)]=[−4;4].f([-1{;}1])=[f(1){;}f(-1)]=[-4{;}4].

f([2;+∞[)=[f(2),lim⁡x→+∞f(x)[=[−5;+∞[f([2{;}+\infty[)=[f(2){,}\lim_{x\to+\infty}f(x)[=[-5{;}+\infty[

و

f(]−∞;2])=[f(2),lim⁡x→−∞f(x)[=[−5;+∞[.f(]-\infty{;}2])=[f(2){,}\lim_{x\to-\infty}f(x)[=[-5{;}+\infty[.

تطبيق ⑤

لتكن ff دالة معرّفة بـ f(x)=3x+2x−4.f(x)=\frac{3x+2}{x-4}.

  1. حدد Df.D_{f}.
  1. ادرس رتابة f.f.
  1. حدد f([0,1])f([0{,}1]) و f(]4;+∞[)f(]4{;}+\infty[) و f(]−∞,4[).f(]-\infty{,}4[).

تمرين ③

نعتبر ff دالة معرّفة بـ f(x)=2x3−3x2.f(x)=2x^{3}-3x^{2}.

  1. ضع جدول تغيرات الدالة.
  1. حدد صور المجالات التالية ]−1;0]]-1{;}0] و [1;2][1{;}2] و [−1;2[[-1{;}2[ و [1;+∞[[1{;}+\infty[ بالدالة f.f.

Ⅲ. عمليات على الدوال المتصلة

خاصية

لتكن ff و gg دالتين متصلتين على مجال II و λ∈R.\lambda\in\mathbb{R}. لدينا:

  • الدوال f+gf+g و f×gf\times g و λf\lambda f و ∣f∣\lvert f\rvert متصلة على I.I.
  • لكل n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*} الدالة fnf^{n} متصلة على I.I.
  • إذا كان (∀x∈I):g(x)≠0(\forall x\in I):g(x)\neq 0 فإن 1g\frac{1}{g} و fg\frac{f}{g} متصلتان على I.I.
  • إذا كان (∀x∈I):f(x)≥0(\forall x\in I):f(x)\ge 0 فإن f\sqrt{f} متصلة على I.I.

أمثلة

الدالة f:x↦2x2−x+xf:x\mapsto 2x^{2}-x+\sqrt{x} متصلة على [0;+∞[[0{;}+\infty[ لأنها مجموع دالتين متصلتين على [0;+∞[[0{;}+\infty[ هما x↦2x2−xx\mapsto 2x^{2}-x و x↦x.x\mapsto\sqrt{x}.

نعتبر g:x↦x2+1x+1.g:x\mapsto\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}. الدالة x↦x2+1x\mapsto x^{2}+1 متصلة على ]−∞;1[]-\infty{;}1[ وهي موجبة، إذن x↦x2+1x\mapsto\sqrt{x^{2}+1} متصلة على ]−∞;1[.]-\infty{;}1[. والدالة x↦x+1x\mapsto x+1 متصلة ولا تنعدم على ]−∞;1[.]-\infty{;}1[. ينتج أن gg متصلة على ]−∞;1[.]-\infty{;}1[.

تطبيق ⑥

بيّن أن ff متصلة على II في الحالات التالية:

  1. f(x)=x2+1+sin⁡(x)f(x)=x^{2}+1+\sin(x) و I=R.I=\mathbb{R}.
  1. f(x)=cos⁡(x)×4x2+5f(x)=\cos(x)\times\sqrt{4x^{2}+5} و I=R.I=\mathbb{R}.
  1. f(x)=4xx2+x−2f(x)=\frac{4\sqrt{x}}{x^{2}+x-2} و I=]2;+∞[.I=]2{;}+\infty[.

خاصية — تركيب دالتين

لتكن ff و gg دالتين. إذا كانت ff متصلة على مجال II و gg متصلة على مجال JJ بحيث f(I)⊂Jf(I)\subset J فإن الدالة g∘fg\circ f متصلة على المجال I.I.

مثال

نعتبر الدالة h:x↦xx+1.h:x\mapsto\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}. لدينا h=g∘fh=g\circ f مع f:x↦xf:x\mapsto\sqrt{x} و g:x↦xx+1.g:x\mapsto\frac{x}{x+1}.

بما أن ff متصلة على [0;+∞[[0{;}+\infty[ و gg متصلة على ]−1;+∞[]-1{;}+\infty[ و f([0;+∞[)⊂[0;+∞[f([0{;}+\infty[)\subset[0{;}+\infty[، فإن hh متصلة على [0;+∞[.[0{;}+\infty[.

تطبيق ⑦

نعتبر الدالة h:x↦sin⁡(x2−4x+1).h:x\mapsto\sin(x^{2}-4x+1). بيّن أن hh متصلة على R.\mathbb{R}.

Ⅳ. مبرهنة القيم الوسطية

مبرهنة

لتكن ff دالة متصلة على مجال [a;b].[a{;}b]. لكل عدد حقيقي kk محصور بين f(a)f(a) و f(b)f(b) يوجد على الأقل عدد حقيقي cc من المجال [a,b][a{,}b] بحيث f(c)=k.f(c)=k. بعبارة أخرى: المعادلة f(x)=kf(x)=k ذات المجهول xx تقبل على الأقل حلاً في [a,b][a{,}b] لكل kk محصور بين f(a)f(a) و f(b).f(b).

مثال

نبيّن أن المعادلة (E):x2−x+2=2(E):x^{2}-\sqrt{x+2}=2 تقبل على الأقل حلاً على [−2;0].[-2{;}0].

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ f(x)=x2−x+2.f(x)=x^{2}-\sqrt{x+2}. المعادلة (E)(E) مكافئة لـ f(x)=2.f(x)=2.

الدالة ff متصلة على [−2;0][-2{;}0] كمجموع دالتين متصلتين ولدينا f(−2)=4f(-2)=4 و f(0)=−2.f(0)=-\sqrt{2}. بما أن f(0)≤2≤f(−2)f(0)\le 2\le f(-2)، فحسب مبرهنة القيم الوسطية المعادلة (E)(E) تقبل على الأقل حلاً على [−2;0].[-2{;}0].

نتيجة

إذا كانت الدالة ff متصلة على [a,b][a{,}b] بحيث f(a)×f(b)<0f(a)\times f(b)<0، فإن المعادلة f(x)=0f(x)=0 تقبل على الأقل حلاً في المجال [a,b].[a{,}b]. وإذا كانت إضافةً إلى ذلك رتيبة قطعاً، فإن هذا الحل وحيد.

مثال — طريقة التفرع الثنائي

نبيّن أن المعادلة (E):x3+x2+1=0(E):x^{3}+x^{2}+1=0 تقبل حلاً وحيداً α\alpha بحيث −1<α<0.-1<\alpha<0.

نعتبر f(x)=x3+x2+1.f(x)=x^{3}+x^{2}+1. الدالة ff متصلة وتزايدية قطعاً على [−1;0][-1{;}0] ولدينا f(−1)×f(0)<0.f(-1)\times f(0)<0. إذن حسب م.ق.و. المعادلة (E)(E) تقبل حلاً وحيداً α\alpha بحيث −1<α<0.-1<\alpha<0.

بما أن −1<α<0-1<\alpha<0 فإن α=−12\alpha=-\tfrac{1}{2} أو α∈]−1,−12[\alpha\in]-1{,}-\tfrac{1}{2}[ أو α∈]−12,0[.\alpha\in]-\tfrac{1}{2}{,}0[. و f(−12)=32≠0f(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{2}\neq 0 و f(−1)×f(−12)<0f(-1)\times f(-\tfrac{1}{2})<0، إذن α∈]−1,−12[\alpha\in]-1{,}-\tfrac{1}{2}[ وسعة هذا التأطير 12>0,25.\tfrac{1}{2}>0{,}25. نعيد العملية فنحصل على α∈]−34,−12[\alpha\in]-\tfrac{3}{4}{,}-\tfrac{1}{2}[ بسعة 0,25.0{,}25. تُسمى هذه الطريقة التفرع الثنائي (dichotomie).

تطبيق ⑧

  1. بيّن أن المعادلة x5−x3+5x−4=0x^{5}-x^{3}+5x-4=0 تقبل على الأقل حلاً على المجال [0,1].[0{,}1].
  1. بيّن أن المعادلة sin⁡(x)+12=−x\sin(x)+\frac{1}{2}=-x تقبل حلاً وحيداً في المجال [−π6;0].[-\tfrac{\pi}{6}{;}0].

تمرين ④

لتكن ff الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=2x3−3x2−1.f(x)=2x^{3}-3x^{2}-1.

  1. بيّن أن المعادلة f(x)=0f(x)=0 تقبل حلاً وحيداً α\alpha على [1;+∞[[1{;}+\infty[ ثم تحقق أن 1<α<2.1<\alpha<2.
  1. أعط تأطيراً لـ α\alpha سعته 0,25.0{,}25.
  1. أعط إشارة ff على [1;+∞[.[1{;}+\infty[.

Ⅴ. الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة قطعاً

تعريف

تُسمى الدالة gg الدالة العكسية لـ ff ونرمز لها بـ f−1.f^{-1}.

خاصية

إذا كانت ff متصلة ورتيبة قطعاً على مجال II، فإن ff تقبل دالة عكسية f−1f^{-1} معرّفة من J=f(I)J=f(I) نحو II بحيث:

{f−1(x)=yx∈J  ⟺  {f(y)=xy∈I.\begin{cases}f^{-1}(x)=y\\x\in J\end{cases}\iff\begin{cases}f(y)=x\\y\in I\end{cases}.
  • (∀x∈I):(f−1∘f)(x)=x(\forall x\in I):(f^{-1}\circ f)(x)=x.
  • (∀x∈J):(f∘f−1)(x)=x(\forall x\in J):(f\circ f^{-1})(x)=x.

مثال

الدالة f:x↦x+2f:x\mapsto\sqrt{x}+2 متصلة وتزايدية قطعاً على [0;+∞[[0{;}+\infty[، إذن ff تقبل دالة عكسية f−1f^{-1} متصلة وتزايدية قطعاً على f([0;+∞[)=[2;+∞[.f([0{;}+\infty[)=[2{;}+\infty[.

تحديد عبارة f−1f^{-1}: ليكن y∈[0;+∞[y\in[0{;}+\infty[ و x∈[2;+∞[x\in[2{;}+\infty[، لدينا

f−1(x)=y  ⟺  f(y)=x  ⟺  y+2=x  ⟺  y=x−2  ⟺  y=(x−2)2.f^{-1}(x)=y\iff f(y)=x\iff\sqrt{y}+2=x\iff\sqrt{y}=x-2\iff y=(x-2)^{2}.

ينتج:

(∀x∈[2;+∞[) f−1(x)=(x−2)2.(\forall x\in[2{;}+\infty[)\,f^{-1}(x)=(x-2)^{2}.

تطبيق

نعتبر الدالة ff المعرّفة على [1;+∞[[1{;}+\infty[ بـ f(x)=2x−4.f(x)=\sqrt{2x-4}.

  1. بيّن أن ff تقبل دالة عكسية f−1f^{-1} معرّفة على مجال JJ يُحدد.
  1. حدد عبارة f−1(x)f^{-1}(x) لكل xx من J.J.

تمرين ⑤

نعتبر الدالة ff المعرّفة على ]−∞,−1[]-\infty{,}-1[ بـ f(x)=2x+3x+1.f(x)=\frac{2x+3}{x+1}.

  1. بيّن أن ff تقبل دالة عكسية f−1f^{-1} معرّفة على مجال JJ يُحدد.
  1. حدد عبارة f−1(x)f^{-1}(x) لكل xx من J.J.

خاصية

إذا كانت ff دالة متصلة ورتيبة قطعاً على مجال II، فإن:

  • الدالة العكسية f−1f^{-1} متصلة على f(I)f(I) ولها نفس منحى تغيرات f.f.
  • المنحنيان التمثيليان لـ ff و f−1f^{-1} في معلم متعامد منظم متماثلان بالنسبة للمستقيم ذي المعادلة y=x.y=x.

تمرين

يُعطى جانباً التمثيل المبياني لدالة ff معرّفة على [−1;+∞[.[-1{;}+\infty[.

منحنى دالة تقبل دالة عكسية
(Cf)(C_{f}) على [−1;+∞[[-1{;}+\infty[
  1. بيّن أن ff تقبل دالة عكسية f−1f^{-1} معرّفة على مجال JJ يُحدد.
  1. ضع جدول تغيرات f−1.f^{-1}.
  1. أنشئ التمثيل المبياني لـ f−1.f^{-1}.

Ⅵ. الجذر من الرتبة nn

تعريف

ليكن nn عدداً صحيحاً طبيعياً بحيث n≥1n\ge 1 ولتكن ff الدالة المعرّفة على R+\mathbb{R}^{+} بـ f(x)=xn.f(x)=x^{n}. الدالة ff حدودية إذن متصلة على R+\mathbb{R}^{+}، وتزايدية قطعاً على R+\mathbb{R}^{+} لأن

(∀x∈R+):f′(x)=nxn−1≥0.(\forall x\in\mathbb{R}^{+}):f'(x)=nx^{n-1}\ge 0.

إذن ff تقبل دالة عكسية تُسمى الجذر من الرتبة nn، معرّفة على f(R+)=R+.f(\mathbb{R}^{+})=\mathbb{R}^{+}. صورة العدد xx من R+\mathbb{R}^{+} بالدالة f−1f^{-1} تُرمز بـ xn\sqrt[n]{x} ولدينا:

(∀x∈R+)(∀y∈R+):xn=y  ⟺  x=yn.(\forall x\in\mathbb{R}^{+})(\forall y\in\mathbb{R}^{+}):x^{n}=y\iff x=\sqrt[n]{y}.
  • لكل x∈R+x\in\mathbb{R}^{+}: x1=x\sqrt[1]{x}=x.
  • x2=x\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}.
  • x3\sqrt[3]{x} يُسمى الجذر التكعيبي لـ xx.

خاصية

(∀x∈R+)(∀y∈R+):xn=y  ⟺  x=yn.(\forall x\in\mathbb{R}^{+})(\forall y\in\mathbb{R}^{+}):x^{n}=y\iff x=\sqrt[n]{y}.
(∀x∈R+):xnn=(xn)n=x.(\forall x\in\mathbb{R}^{+}):\sqrt[n]{x^{n}}=(\sqrt[n]{x})^{n}=x.
(∀x∈R+)(∀y∈R+):xn=yn  ⟺  x=y.(\forall x\in\mathbb{R}^{+})(\forall y\in\mathbb{R}^{+}):\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{y}\iff x=y.
(∀x∈R+)(∀y∈R+):xn<yn  ⟺  x<y.(\forall x\in\mathbb{R}^{+})(\forall y\in\mathbb{R}^{+}):\sqrt[n]{x}<\sqrt[n]{y}\iff x<y.
  • الدالة x↦xnx\mapsto\sqrt[n]{x} متصلة وتزايدية قطعاً على R+.\mathbb{R}^{+}.
  • lim⁡x→+∞xn=+∞.\lim_{x\to+\infty}\sqrt[n]{x}=+\infty.

أمثلة

164=244=2\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^{4}}=2 ؛ 55>35\sqrt[5]{5}>\sqrt[5]{3} لأن 5>35>3 ؛ lim⁡x→+∞x5=+∞\lim_{x\to+\infty}\sqrt[5]{x}=+\infty ؛

(∀x∈R+):x5=32  ⟺  x=325=2.(\forall x\in\mathbb{R}^{+}):x^{5}=32\iff x=\sqrt[5]{32}=2.

تطبيق

حل في R\mathbb{R} المعادلات والمتراجحة التالية:

  1. x7=5x^{7}=5 ؛ 2) x6=−2x^{6}=-2 ؛ 3) x4=81x^{4}=81 ؛ 4) x5=−32x^{5}=-32 ؛ 5) 3x−13=2\sqrt[3]{3x-1}=2 ؛ 6) 2x−35<2.\sqrt[5]{2x-3}<2.

خاصية

ليكن aa و bb عددين حقيقيين موجبين، و nn و pp عددين صحيحين طبيعيين غير معدومين.

  • an×bn=abn.\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}.
  • إذا كان b≠0b\neq 0 فإن
anbn=abn.\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}.
  • apnp=an.\sqrt[np]{a^{p}}=\sqrt[n]{a}.
  • (an)p=apn.(\sqrt[n]{a})^{p}=\sqrt[n]{a^{p}}.
  • apn=anp.\sqrt[n]{\sqrt[p]{a}}=\sqrt[np]{a}.

مثال

نبسّط العدد:

A=324×276×10841444.A=\frac{\sqrt[4]{32}\times\sqrt[6]{27}\times\sqrt[4]{108}}{\sqrt{\sqrt[4]{144}}}.

تطبيق

  1. بسّط A=5123643A=\frac{\sqrt[3]{512}}{\sqrt[3]{64}} ؛ B=7293B=\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt{729}}}} و
C=3515×93×(95)35.C=\frac{\sqrt[15]{35}\times\sqrt[3]{9}\times(\sqrt[5]{9})}{\sqrt[5]{3}}.
  1. رتّب تصاعدياً الأعداد 34\sqrt[4]{3} و 2\sqrt{2} و 53.\sqrt[3]{5}.

تمرين

بسّط العددين التاليين:

A=256×6443243000005×10243A=\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{256}}\times\sqrt[4]{64}}}{\sqrt[5]{24300000}\times\sqrt[3]{1024}}

و

B=33×93×947295×3.B=\frac{\sqrt{\sqrt[3]{3}\times\sqrt[3]{9}\times\sqrt[4]{9}}}{\sqrt[5]{729}\times\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}}}}.

خاصية

لتكن ff دالة موجبة على المجال II و x0∈I.x_{0}\in I.

  • إذا كانت ff متصلة على II فإن x↦f(x)nx\mapsto\sqrt[n]{f(x)} متصلة على I.I.
  • إذا كان lim⁡x→x0f(x)=ℓ≥0\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\ell\ge 0 فإن lim⁡x→x0f(x)n=ℓn.\lim_{x\to x_{0}}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\ell}.
  • إذا كان lim⁡x→x0f(x)=+∞\lim_{x\to x_{0}}f(x)=+\infty فإن lim⁡x→x0f(x)n=+∞.\lim_{x\to x_{0}}\sqrt[n]{f(x)}=+\infty. (الخاصيتان الأخيرتان تبقيان صحيحتين بجوار +∞+\infty و −∞-\infty).

تطبيق

  1. نعتبر ff الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=3x2+43.f(x)=\sqrt[3]{3x^{2}+4}. أ) ادرس اتصال ff على R.\mathbb{R}. ب) احسب lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x) و lim⁡x→−∞f(x).\lim_{x\to-\infty}f(x).
  1. احسب النهايات التالية: أ. lim⁡x→0x+13−1x\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x} ؛ ب. lim⁡x→+∞(x3+13−2x)\lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x^{3}+1}-2x) ؛ ج. lim⁡x→+∞(x3+x+13−x).\lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x^{3}+x+1}-x).

تمرين

احسب النهايات التالية:

  1. lim⁡x→2x3+245\lim_{x\to 2}\sqrt[5]{x^{3}+24} ؛ 2) lim⁡x→+∞x5−3x2+44\lim_{x\to+\infty}\sqrt[4]{x^{5}-3x^{2}+4} ؛ 3) lim⁡x→+∞(x3+x2+23−2x).\lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}+2}-2x).
  1. lim⁡x→0x+83−2x\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x} ؛ 5) lim⁡x→1x3−xx−1\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}{x-1} ؛ 6)
lim⁡x→2x+253−3x2−3x+2.\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{x+25}-3}{x^{2}-3x+2}.

Ⅶ. القوة الجذرية

تعريف

ليكن x∈R+x\in\mathbb{R}^{+} و rr عدداً جذرياً بحيث r=pqr=\frac{p}{q} (p∈Zp\in\mathbb{Z}، q∈N∗q\in\mathbb{N}^{*}). العدد xrx^{r}، المسمى القوة الجذرية ذات الأساس xx والأس rr، هو العدد xpq.\sqrt[q]{x^{p}}. بعبارة أخرى: xp/q=xpq.x^{p/q}=\sqrt[q]{x^{p}}.

أمثلة

32/7=3273^{2/7}=\sqrt[7]{3^{2}} ؛ 35/2=353^{5/2}=\sqrt{3^{5}} ؛ 65=61/5\sqrt[5]{6}=6^{1/5} ؛

2−5/3=2−53=1253.2^{-5/3}=\sqrt[3]{2^{-5}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2^{5}}}.

خاصية

ليكن aa و bb عددين حقيقيين موجبين قطعاً و rr و r′r' عددين جذريين.

  • ar×ar′=ar+r′.a^{r}\times a^{r'}=a^{r+r'}.
  • (ar)r′=arr′.(a^{r})^{r'}=a^{rr'}.
  • 1ar=a−r.\frac{1}{a^{r}}=a^{-r}.
  • arar′=ar−r′.\frac{a^{r}}{a^{r'}}=a^{r-r'}.
  • (ab)r=ar×br.(ab)^{r}=a^{r}\times b^{r}.
(ab)r=arbr.\left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}.

تطبيق

اكتب على شكل قوة جذرية العددين

A=43×82×2523×46A=\frac{\sqrt[3]{4}\times 8^{2}\times\sqrt[5]{2}}{\sqrt[3]{2}\times\sqrt[6]{4}}

و B=(27)2/7×(81)1/4317.B=\frac{(27)^{2/7}\times(81)^{1/4}}{3^{17}}.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ