Ximath
تسجيل الدخول
سلاسل هذا المستوى

الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

السلسلة 01

سلسلة تمارين: اتصال دالة

نهايات، اتصال في نقطة ويميناً ويساراً، صورة مجال، مبرهنة القيم الوسطية، دالة عكسية، جذور من الرتبة n وقوى جذرية.

الدرس 01 — اتصال دالة عددية

نشاط — دعم المكتسبات القبلية

احسب النهايات التالية:

أ. lim⁡x→+∞2x2+x+3x−1\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}+x+3}{x-1} ؛ ب.

lim⁡x→−∞x∣x∣−4x+3x5−7x+2\lim_{x\to-\infty}\frac{x\lvert x\rvert-4x+3}{x^{5}-7x+2}

؛ ج. lim⁡x→−2x2+5x+6x+2.\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}+5x+6}{x+2}.

د. lim⁡x→−32x2+3x−9x2+x−6\lim_{x\to-3}\frac{2x^{2}+3x-9}{x^{2}+x-6} ؛ هـ. lim⁡x→12x+7−3x−1\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{2x+7}-3}{x-1} ؛ و.

lim⁡x→−22x2+1−3x+3x+2.\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt{2x^{2}+1}-3\sqrt{x+3}}{x+2}.

ز. lim⁡x→2−x2+5x+62−x\lim_{x\to 2^{-}}\frac{x^{2}+5x+6}{2-x} ؛ ح. lim⁡x→−3+2x2+x−2−x2−x+6\lim_{x\to-3^{+}}\frac{2x^{2}+x-2}{-x^{2}-x+6} ؛ ط. lim⁡x→1sin⁡(πx)x−1.\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi x)}{x-1}.

نشاط ①

يُعطى أسفله التمثيل المبياني لدالة f.f.

منحنى دالة ذات انقطاع عند $x=1$
(Cf)(C_{f})
  1. حدد مبيانياً f(−1)f(-1) و lim⁡x→−1f(x).\lim_{x\to-1}f(x). ماذا يمكن استنتاجه؟
  1. حدد مبيانياً f(1)f(1) و lim⁡x→1+f(x)\lim_{x\to 1^{+}}f(x) و lim⁡x→1−f(x).\lim_{x\to 1^{-}}f(x). ماذا يمكن القول عن (Cf)(C_{f}) عند النقطة x0=1؟x_{0}=1؟

تطبيق ①

ادرس اتصال الدوال التالية عند النقطة a.a.

{f(x)=x3−2x+1x−1; x≠1f(1)=1\begin{cases}f(x)=\frac{x^{3}-2x+1}{x-1}&;\,x\neq 1\\f(1)=1\end{cases}

و a=1.a=1.

{g(x)=xx+2−4x−2; x∈[−2;2[∪]2;+∞[g(2)=52\begin{cases}g(x)=\frac{x\sqrt{x+2}-4}{x-2}&;\,x\in[-2{;}2[\cup]2{;}+\infty[\\g(2)=\frac{5}{2}\end{cases}

و a=2.a=2.

تمرين ①

ادرس اتصال الدوال التالية عند النقطة a.a.

{f(x)=x3+2x2+3x+2x2+4x+3; x≠−1f(−1)=1\begin{cases}f(x)=\frac{x^{3}+2x^{2}+3x+2}{x^{2}+4x+3}&;\,x\neq-1\\f(-1)=1\end{cases}

و a=−1.a=-1.

{g(x)=sin⁡(x−2)x2−2x; x>2g(2)=12\begin{cases}g(x)=\frac{\sin(x-2)}{x^{2}-2x}&;\,x>2\\g(2)=\frac{1}{2}\end{cases}

و a=2.a=2.

تطبيق ②

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ

{f(x)=xx+1−1; x>0f(x)=sin⁡(2x)x; x<0f(0)=2.\begin{cases}f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}&;\,x>0\\f(x)=\frac{\sin(2x)}{x}&;\,x<0\\f(0)=2\end{cases}.
  1. ادرس اتصال ff يميناً ويساراً في 0.0.
  1. هل ff متصلة في 0؟0؟

تمرين ②

  1. لتكن ff الدالة المعرّفة بـ
{f(x)=x+2−2x−2; x>2f(x)=x2−4x+3x−3; x≤2.\begin{cases}f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}&;\,x>2\\f(x)=\frac{x^{2}-4x+3}{x-3}&;\,x\le 2\end{cases}.

ادرس اتصال ff يميناً ويساراً في 0.0.

  1. لتكن gg الدالة المعرّفة بـ
{g(x)=x3+ax; x>−1g(x)=−x+1; x≤−1.\begin{cases}g(x)=x^{3}+ax&;\,x>-1\\g(x)=-x+1&;\,x\le-1\end{cases}.

حدد قيمة aa حتى تكون gg متصلة في −1.-1.

تطبيق ③

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ

{f(x)=−x+4; x<3f(x)=6−xx; x≥3.\begin{cases}f(x)=-x+4&;\,x<3\\f(x)=\frac{6-x}{x}&;\,x\ge 3\end{cases}.

بيّن أن الدالة ff متصلة على R.\mathbb{R}.

تطبيق ④

يُعطى أسفله منحنى دالة ff معرّفة على [−2;4].[-2{;}4]. حدد صورة المجالات التالية [−2,3][−2{,}3] و [0,1][0{,}1] و [1,3][1{,}3] و ]−1,1]]−1{,}1] بالدالة f.f.

منحنى دالة على $[-2{;}4]$
(Cf)(C_{f})

تطبيق ⑤

لتكن ff دالة معرّفة بـ f(x)=3x+2x−4.f(x)=\frac{3x+2}{x-4}.

  1. حدد Df.D_{f}.
  1. ادرس رتابة f.f.
  1. حدد f([0,1])f([0{,}1]) و f(]4;+∞[)f(]4{;}+\infty[) و f(]−∞,4[).f(]-\infty{,}4[).

تمرين ③

نعتبر ff دالة معرّفة بـ f(x)=2x3−3x2.f(x)=2x^{3}-3x^{2}.

  1. ضع جدول تغيرات الدالة.
  1. حدد صور المجالات التالية ]−1;0]]-1{;}0] و [1;2][1{;}2] و [−1;2[[-1{;}2[ و [1;+∞[[1{;}+\infty[ بالدالة f.f.

تطبيق ⑥

بيّن أن ff متصلة على II في الحالات التالية:

  1. f(x)=x2+1+sin⁡(x)f(x)=x^{2}+1+\sin(x) و I=R.I=\mathbb{R}.
  1. f(x)=cos⁡(x)×4x2+5f(x)=\cos(x)\times\sqrt{4x^{2}+5} و I=R.I=\mathbb{R}.
  1. f(x)=4xx2+x−2f(x)=\frac{4\sqrt{x}}{x^{2}+x-2} و I=]2;+∞[.I=]2{;}+\infty[.

تطبيق ⑦

نعتبر الدالة h:x↦sin⁡(x2−4x+1).h:x\mapsto\sin(x^{2}-4x+1). بيّن أن hh متصلة على R.\mathbb{R}.

تطبيق ⑧

  1. بيّن أن المعادلة x5−x3+5x−4=0x^{5}-x^{3}+5x-4=0 تقبل على الأقل حلاً على المجال [0,1].[0{,}1].
  1. بيّن أن المعادلة sin⁡(x)+12=−x\sin(x)+\frac{1}{2}=-x تقبل حلاً وحيداً في المجال [−π6;0].[-\tfrac{\pi}{6}{;}0].

تمرين ④

لتكن ff الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=2x3−3x2−1.f(x)=2x^{3}-3x^{2}-1.

  1. بيّن أن المعادلة f(x)=0f(x)=0 تقبل حلاً وحيداً α\alpha على [1;+∞[[1{;}+\infty[ ثم تحقق أن 1<α<2.1<\alpha<2.
  1. أعط تأطيراً لـ α\alpha سعته 0,25.0{,}25.
  1. أعط إشارة ff على [1;+∞[.[1{;}+\infty[.

نشاط — الدالة العكسية

لتكن الدالة المعرّفة على I=[1;4]I=[1{;}4] بـ f(x)=x2−2x.f(x)=x^{2}-2x.

  1. بيّن أن ff متصلة وتزايدية قطعاً على I.I.
  1. حدد المجال JJ صورة II بالدالة f.f.
  1. ليكن x∈Jx\in J و y∈Iy\in I، بيّن أن f(y)=x  ⟺  y=1+x+1.f(y)=x\iff y=1+\sqrt{x+1}.
  1. نعتبر gg الدالة المعرّفة على JJ بـ g(x)=1+1+x.g(x)=1+\sqrt{1+x}. أ) املأ: g(−1)=g(-1)= ، g(0)=g(0)= ، g(8)=g(8)= ، f(1)=f(1)= ، f(2)=f(2)= ، f(4)=f(4)= . ب) ماذا تلاحظ؟ ج) بيّن أن (∀x∈I):(g∘f)(x)=x(\forall x\in I):(g\circ f)(x)=x و (∀x∈J):(f∘g)(x)=x.(\forall x\in J):(f\circ g)(x)=x.

تطبيق — دالة عكسية

نعتبر الدالة ff المعرّفة على [1;+∞[[1{;}+\infty[ بـ f(x)=2x−4.f(x)=\sqrt{2x-4}.

  1. بيّن أن ff تقبل دالة عكسية f−1f^{-1} معرّفة على مجال JJ يُحدد.
  1. حدد عبارة f−1(x)f^{-1}(x) لكل xx من J.J.

تطبيق — دالة عكسية

نعتبر الدالة ff المعرّفة على ]−∞,−1[]-\infty{,}-1[ بـ f(x)=2x+3x+1.f(x)=\frac{2x+3}{x+1}.

  1. بيّن أن ff تقبل دالة عكسية f−1f^{-1} معرّفة على مجال JJ يُحدد.
  1. حدد عبارة f−1(x)f^{-1}(x) لكل xx من J.J.

تمرين — منحنى ودالة عكسية

يُعطى جانباً التمثيل المبياني لدالة ff معرّفة على [−1;+∞[.[-1{;}+\infty[.

منحنى دالة تقبل دالة عكسية
(Cf)(C_{f})
  1. بيّن أن ff تقبل دالة عكسية f−1f^{-1} معرّفة على مجال JJ يُحدد.
  1. ضع جدول تغيرات f−1.f^{-1}.
  1. أنشئ التمثيل المبياني لـ f−1.f^{-1}.

تمرين — جذور من الرتبة nn

حل في R\mathbb{R} المعادلات والمتراجحة التالية:

  1. x7=5x^{7}=5 ؛ 2) x6=−2x^{6}=-2 ؛ 3) x4=81x^{4}=81 ؛ 4) x5=−32x^{5}=-32 ؛ 5) 3x−13=2\sqrt[3]{3x-1}=2 ؛ 6) 2x−35<2.\sqrt[5]{2x-3}<2.

تطبيق — تبسيط

  1. بسّط A=5123643A=\frac{\sqrt[3]{512}}{\sqrt[3]{64}} ؛ B=7293B=\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt{729}}}} و
C=3515×93×(95)35.C=\frac{\sqrt[15]{35}\times\sqrt[3]{9}\times(\sqrt[5]{9})}{\sqrt[5]{3}}.
  1. رتّب تصاعدياً الأعداد 34\sqrt[4]{3} و 2\sqrt{2} و 53.\sqrt[3]{5}.

تمرين — تبسيط

بسّط العددين التاليين:

A=256×6443243000005×10243A=\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{256}}\times\sqrt[4]{64}}}{\sqrt[5]{24300000}\times\sqrt[3]{1024}}

و

B=33×93×947295×3.B=\frac{\sqrt{\sqrt[3]{3}\times\sqrt[3]{9}\times\sqrt[4]{9}}}{\sqrt[5]{729}\times\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}}}}.

تطبيق — نهايات وجذور

  1. نعتبر ff الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=3x2+43.f(x)=\sqrt[3]{3x^{2}+4}. أ) ادرس اتصال ff على R.\mathbb{R}. ب) احسب lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x) و lim⁡x→−∞f(x).\lim_{x\to-\infty}f(x).
  1. احسب النهايات التالية: أ. lim⁡x→0x+13−1x\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x} ؛ ب. lim⁡x→+∞(x3+13−2x)\lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x^{3}+1}-2x) ؛ ج. lim⁡x→+∞(x3+x+13−x).\lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x^{3}+x+1}-x).

تمرين — نهايات

احسب النهايات التالية:

  1. lim⁡x→2x3+245\lim_{x\to 2}\sqrt[5]{x^{3}+24} ؛ 2) lim⁡x→+∞x5−3x2+44\lim_{x\to+\infty}\sqrt[4]{x^{5}-3x^{2}+4} ؛ 3) lim⁡x→+∞(x3+x2+23−2x).\lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}+2}-2x).
  1. lim⁡x→0x+83−2x\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x} ؛ 5) lim⁡x→1x3−xx−1\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}{x-1} ؛ 6)
lim⁡x→2x+253−3x2−3x+2.\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{x+25}-3}{x^{2}-3x+2}.

تطبيق — قوة جذرية

اكتب على شكل قوة جذرية العددين

A=43×82×2523×46A=\frac{\sqrt[3]{4}\times 8^{2}\times\sqrt[5]{2}}{\sqrt[3]{2}\times\sqrt[6]{4}}

و B=(27)2/7×(81)1/4317.B=\frac{(27)^{2/7}\times(81)^{1/4}}{3^{17}}.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ