الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

الدرس 10

الأعداد العقدية

الشكل الجبري، التمثيل الهندسي، المرافق، المعيار، الشكل المثلثي والأسّي، التحويلات والمعادلات من الدرجة الثانية في $\mathbb{C}$ .

سلسلة التمارين 10 — سلسلة تمارين: الأعداد العقدية

Ⅰ. مجموعة الأعداد العقدية

المجموعة $\mathbb{C}$ — الكتابة الجبرية

مبرهنة

توجد مجموعة مرموز لها بـ $\mathbb{C}$ تُسمى مجموعة الأعداد العقدية، تحتوي على المجموعة $\mathbb{R}$ وتحقّق ما يلي:

المجموعة $\mathbb{C}$ تحتوي على عنصر غير حقيقي $i$ يحقّق $i^{2}=-1.$
كل عنصر $z$ من $\mathbb{C}$ يُكتب بطريقة وحيدة على الشكل $z=a+ib$ حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان.

مفردات

الكتابة $z=a+ib$ تُسمى الكتابة الجبرية للعدد العقدي $z.$
العدد $a$ يُسمى الجزء الحقيقي للعدد $z$ ويُرمز له بـ $\mathrm{Re}(z).$
العدد $b$ يُسمى الجزء التخيلي للعدد $z$ ويُرمز له بـ $\mathrm{Im}(z).$
كل عدد يُكتب على الشكل $ib$ يُقال عنه عدد تخيلي صرف، ومجموعة الأعداد التخيلية الصرفة يُرمز لها بـ $i\mathbb{R}.$

أمثلة

$z_{1}=5+7i$ ، إذن $\mathrm{Re}(z_{1})=5$ و $\mathrm{Im}(z_{1})=7.$

$z_{2}=1-i$ ، إذن $\mathrm{Re}(z_{2})=1$ و $\mathrm{Im}(z_{2})=-1.$

$z_{3}=5$ ، إذن $\mathrm{Re}(z_{3})=5$ و $\mathrm{Im}(z_{3})=0.$

$z_{4}=3i$ ، إذن $\mathrm{Re}(z_{4})=0$ و $\mathrm{Im}(z_{4})=3$ ( $z_{4}$ عدد تخيلي صرف).

$z_{5}=1-\sqrt{5}+\sqrt{2}-\frac{\pi}{2}+4i$ ، إذن

\mathrm{Re}(z_{5})=1-\sqrt{5}+\sqrt{2}-\frac{\pi}{2}

و $\mathrm{Im}(z_{5})=4.$

تطبيق ①

اكتب على الشكل الجبري العددين التاليين: $z_{1}=4i-(2+5i)$ و $z_{2}=3(1+i)+i(i+1).$

خاصية — تساوي عددين عقديين

ليكن $z=a+ib$ و $z'=a'+ib'$ عددين عقديين، لدينا:

$z=z'\Leftrightarrow a=a'$ و $b=b'.$
$z=0\Leftrightarrow a=0$ و $b=0.$

تطبيق ②

حدّد قيمة العددين الحقيقيين $a$ و $b$ في الحالات التالية:

▪ $(1+2i)a+b=5-4i.$

▪ $(2+i)a+(3-2i)b=1+4i.$

العمليات في $\mathbb{C}$

عمليات الجمع والضرب على $\mathbb{R}$ تمتد إلى $\mathbb{C}$ ولها نفس الخصائص.

خاصية

ليكن $z=a+ib$ و $z'=a'+ib'.$ لدينا:

$z+z'=(a+ib)+(a'+ib')=a+a'+i(b+b').$

z\times z'=(a+ib)\times(a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b).

\frac{1}{z}=\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}=\frac{a-ib}{a^{2}+b^{2}}

( $z\neq 0$ ).

تطبيق ③

اكتب على الشكل الجبري الأعداد التالية:

$z_{1}=(2+3i)(-1+i)$
$z_{2}=(1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)$
$z_{3}=\frac{1}{2+3i}+(2+i)^{2}.$

$z_{4}=-\frac{1}{4i}$
$z_{5}=\frac{1+i}{1-i}$
$z_{6}=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{14}.$

ملاحظة

لكل عدد عقدي $z$ ، لدينا: $z\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\mathrm{Im}(z)=0$ و $z\in i\mathbb{R}\Leftrightarrow\mathrm{Re}(z)=0.$

تمرين ①

ليكن $z=(x+i)[(x+5)-i(x-7)]$ حيث $x$ حقيقي. حدّد الحقيقي $x$ في كل حالة: أ. $z\in\mathbb{R}.$ ب. $z\in i\mathbb{R}.$ ج. $\mathrm{Im}(z)=2\mathrm{Re}(z).$

حل في $\mathbb{C}$ المعادلتين $(E_{1}):iZ-1=Z+3i$ و $(E_{2}):\frac{Z+i}{Z-i}=i.$

ليكن $M$ نقطة من المستوى العقدي لحقها $z=x+iy$ ، و $M'$ النقطة لحقها $z'=\frac{z+1}{z-1}.$ 1) اكتب $z'$ على الشكل الجبري. 2) حدّد مجموعة النقط $M$ بحيث يكون $z'$ حقيقياً. 3) حدّد مجموعة النقط $M$ بحيث يكون $z'$ تخيلياً صرفاً.

Ⅱ. التمثيل الهندسي لعدد عقدي

تعاريف

المستوى $(\mathcal{P})$ منسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر $(O{;}\vec{e}_{1}{;}\vec{e}_{2}).$

تعريف

كل عدد عقدي $z=x+iy$ حيث $x$ و $y$ حقيقيان يرتبط بنقطة وحيدة $M$ ، تُسمى صورة $z$ ، ذات الإحداثيتين $(x{,}y)$ ونكتب $M(z).$
لكل نقطة $M(x{;}y)$ ، العدد العقدي $z=x+iy$ يُسمى لحق $M$ ونكتب $z=\mathrm{aff}(M).$
المتجهة $\vec{u}(x{;}y)$ تُسمى الصورة المتجهية للعدد $z=x+iy$ والعدد $z$ يُسمى لحق المتجهة $\vec{u}$ ونكتب $z=\mathrm{aff}(\vec{u}).$

تطبيق

أنشئ في المستوى العقدي المنسوب إلى المعلم المتعامد المنظم $(O{;}\vec{e}_{1}{;}\vec{e}_{2})$ النقط $A(-1+i)$ ؛ $B(2-2i)$ ؛ $C\left(\frac{1}{2}i\right)$ و $D(2+2i).$

خاصية

ليكن $A(z_{A})$ و $B(z_{B})$ نقطتين من المستوى العقدي. لدينا:

$z_{\overrightarrow{AB}}=z_{B}-z_{A}.$
لحق النقطة $I$ منتصف القطعة $[AB]$ هو $\frac{z_{A}+z_{B}}{2}.$

نعلم أن $\overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A}{;}y_{B}-y_{A})$ ، إذن

\mathrm{aff}(\overrightarrow{AB})=(x_{B}-x_{A})+i(y_{B}-y_{A})=x_{B}+iy_{B}-(x_{A}+iy_{A})=z_{B}-z_{A}.

تمرين ②

نعتبر في المستوى العقدي النقط: $A(2i)$ ؛ $B(1-i)$ و $C(3).$

حدّد لحق المتجهات $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ و $3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}.$

حدّد لحق النقطة $D$ علماً أن $ABCD$ متوازي أضلاع.

حدّد لحق النقطة $I$ مركز متوازي الأضلاع $ABCD.$

استقامية نقطتين — ثلاث نقط

خاصية

ليكن $A(z_{A})$ و $B(z_{B})$ و $C(z_{C})$ ثلاث نقط من المستوى العقدي. النقط $A$ و $B$ و $C$ مستقيمية إذا وفقط إذا كان $\frac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}}\in\mathbb{R}.$

النقط $A$ و $B$ و $C$ مستقيمية إذا وفقط إذا وُجد حقيقي $k$ بحيث $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}.$ ولدينا:

\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow z_{B}-z_{A}=k(z_{C}-z_{A})\Leftrightarrow\frac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}}=k\in\mathbb{R}.

تطبيق ④

نعتبر في المستوى العقدي النقط $A(4{;}-6)$ و $B(-2{;}3)$ و $C\left(-1{;}\frac{3}{2}\right).$ بيّن أن النقط $A$ و $B$ و $C$ مستقيمية.

نقط متدايرة

خاصية

ليكن $A(z_{A})$ و $B(z_{B})$ و $C(z_{C})$ و $D(z_{D})$ أربع نقط غير مستقيمية ومتميزة مثنى مثنى من المستوى العقدي. النقط $A$ و $B$ و $C$ و $D$ متدايرة (تنتمي لنفس الدائرة) إذا وفقط إذا كان:

\frac{z_{A}-z_{B}}{z_{C}-z_{B}}\times\frac{z_{C}-z_{D}}{z_{A}-z_{D}}\in\mathbb{R}.

تطبيق ⑤

نعتبر في المستوى العقدي النقط $A(1+i)$ و $B(3+i)$ و $C(2+2i)$ و $D(2).$ بيّن أن النقط $A$ و $B$ و $C$ و $D$ متدايرة.

Ⅲ. مرافق عدد عقدي

تعريف

ليكن $z=a+ib$ حيث $a$ و $b$ حقيقيان. العدد $a-ib$ يُسمى مرافق العدد العقدي $z$ ، ويُرمز له بـ $\overline{z}.$

أمثلة

$z_{1}=5+6i$ ، إذن $\overline{z_{1}}=5-6i.$

$z_{2}=-1-i$ ، إذن $\overline{z_{2}}=-1+i.$

$z_{3}=i$ ، إذن $\overline{z_{3}}=-i.$ $z_{4}=6$ ، إذن $\overline{z_{4}}=6.$

تفسير هندسي

ليكن $z$ عدداً عقدياً. في المستوى العقدي، النقطة $M(\overline{z})$ تماثل النقطة $M(z)$ بالنسبة للمحور الحقيقي.

خاصية

ليكن $z$ و $z'$ عددين عقديين و $n$ عدداً نسبياً.

$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ ؛

\overline{z\times z'}=\overline{z}\times\overline{z'}

؛

\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}

( $z'\neq 0$ ) ؛

$\overline{(z^{n})}=(\overline{z})^{n}.$

أمثلة

\overline{(2-i)(1+i)^{2}}=\overline{(1+i)(-2i)}=2-2i.

\overline{\frac{1}{\sqrt{2}i-\sqrt{2}}}=\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{4}.

تطبيق ⑥

ليكن $z$ عدداً عقدياً مختلفاً عن $-2i.$ بسّط العبارة $\frac{iz}{z+2i}+i\frac{3+z}{z-2i}.$

تمرين ③

نضع $z=x+iy$ حيث $x$ و $y$ حقيقيان.

أ) حدّد الشكل الجبري للعدد العقدي $3iz-z.$ ب) حل في $\mathbb{C}$ المعادلة $3iz-z=8i.$ ج) حدّد الأعداد العقدية $z$ بحيث يكون $3iz-z$ تخيلياً صرفاً.

حل المعادلة $\frac{4z-2}{z+1}=-3+i.$

خاصية

لكل عدد عقدي $z$ ، لدينا:

$z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)$ و $z-\overline{z}=2i,\mathrm{Im}(z).$
$z\in\mathbb{R}\Leftrightarrow z=\overline{z}.$
$z\in i\mathbb{R}\Leftrightarrow z=-\overline{z}.$

تطبيق ⑦

نضع: $u=\frac{2+3i}{3+2i}$ و $v=\frac{2-3i}{3-2i}.$ دون حساب $u+v$ و $u-v$ ، بيّن أن $u+v$ حقيقي وأن $u-v$ تخيلي صرف.

Ⅳ. معيار عدد عقدي

تعريف

ليكن $z=x+iy$ حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، عدداً عقدياً. معيار العدد العقدي $z$ هو العدد الحقيقي الموجب المرموز له بـ $|z|$ والمعرّف بـ: $|z|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$

أمثلة

$|3-4i|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$ ؛ $|1-i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.$

$|i|=\sqrt{1^{2}}=1$ ؛ $|-i|=\sqrt{(-1)^{2}}=1$ ؛

\left|\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right|=1.

خاصية

ليكن $z$ و $z'$ عددين عقديين و $n$ عدداً نسبياً.

$|z|=|-z|=|\overline{z}|.$
$|z\times z'|=|z|\times|z'|.$
$|z+z'|le|z|+|z'|.$

\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}

( $z'\neq 0$ ).

$|z^{n}|=|z|^{n}$ ( $z\neq 0$ ).

تطبيق ⑧

نضع: $z_{1}=1+i$ و $z_{2}=1-i\sqrt{3}.$ 1) احسب $|z_{1}|$ و $|z_{2}|.$ 2) استنتج معيار الأعداد التالية: $z_{1}\times z_{2}$ و $z_{1}^{6}$ و $\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{2}.$

تفسير هندسي

ليكن $M(z)$ نقطة من المستوى العقدي بحيث $z=x+iy.$ نعلم أن $OM=|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$ ولدينا $|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$ إذن $OM=|z|.$ ليكن $A(z_{A})$ و $B(z_{B})$ نقطتين من المستوى العقدي. لدينا: $AB=|z_{B}-z_{A}|.$

تطبيق ⑨

في المستوى العقدي، نعتبر النقط $A(-1+6i)$ و $B(1+9i)$ و $C(2+4i).$ بيّن أن المثلث $ABC$ متساوي الساقين.

تطبيق ⑩

حدّد في المستوى العقدي المجموعة $(E)$ للنقط $M(z)$ في الحالات التالية:

أ. $|z-2+i|=|z-4i|$ ؛ ب. $|z+i|=|z-1+i|$ ؛ ج. $|z-2+i|=4$ ؛ د. $|iz-2|=|z+1-i|$ ؛ هـ. $|iz|=|z+1-i|.$

Ⅴ. الشكل المثلثي لعدد عقدي

عمدة عدد عقدي

تعريف

نجهّز المستوى $(\mathcal{P})$ بمعلم متعامد منظم مباشر $(O{;}\vec{e}_{1}{;}\vec{e}_{2}).$ ليكن $M(z)$ نقطة من المستوى العقدي $(\mathcal{P})$ مختلفة عن $O.$ نسمي عمدة العدد العقدي $z$ قياس الزاوية الموجهة $(\widehat{\vec{e}_{1}{;}\overrightarrow{OM}})$ ونرمز لها بالرمز $\arg(z).$ ولدينا $\arg(z)\equiv\theta[2\pi]$ (أي $\arg(z)=\theta+2k\pi$ حيث $k\in\mathbb{Z}$ ).

خاصية

ليكن $z$ عدداً عقدياً.

z\in\mathbb{R}_{+}^{*}\Leftrightarrow\arg(z)\equiv 0[2\pi].

z\in\mathbb{R}_{-}^{*}\Leftrightarrow\arg(z)\equiv\pi[2\pi].

z\in i\mathbb{R}_{+}^{*}\Leftrightarrow\arg(z)\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi].

z\in i\mathbb{R}_{-}^{*}\Leftrightarrow\arg(z)\equiv-\frac{\pi}{2}[2\pi].

أمثلة

$\arg(2i)\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi]$ ؛ $\arg(\sqrt{5}-\sqrt{7})\equiv\pi[2\pi]$ ؛ $\arg(1+\sqrt{3})\equiv 0[2\pi]$ ؛ $\arg(-2i)\equiv-\frac{\pi}{2}[2\pi].$

خاصية

ليكن $z$ عدداً عقدياً غير معدوم.

$\arg(\overline{z})\equiv-\arg(z)[2\pi].$
$\arg(-z)\equiv\pi+\arg(z)[2\pi].$

الشكل المثلثي لعدد عقدي غير معدوم

تعريف

ليكن $z=x+iy$ عدداً عقدياً غير معدوم و $\theta$ عمدة له. نعلم أن $\cos\theta=\frac{x}{|z|}$ و $\sin\theta=\frac{y}{|z|}$ إذن $x=|z|\cos\theta$ و $y=|z|\sin\theta.$ أي $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta).$ هذه الكتابة تُسمى الشكل المثلثي للعدد العقدي $z$ ويُرمز له بـ $[|z|{;}\theta].$

مثال

لنحدّد الشكل المثلثي للعددين العقديين $z=2+2i$ و $z'=2-2i.$

تطبيق ⑪

اكتب على الشكل المثلثي الأعداد العقدية التالية:

$z_{1}=1+i\sqrt{3}$
$z_{2}=1-i\sqrt{3}$
$z_{3}=-1-i\sqrt{3}$
$z_{4}=-2\sqrt{3}+2i$
$z_{5}=4$
$z_{6}=-7.$

خاصية

ليكن $z$ و $z'$ عنصرين من $\mathbb{C}^{*}$ بحيث $z=[r{;}\theta]$ و $z'=[r'{;}\theta']$ و $n\in\mathbb{N}$ :

[r{;}\theta]=[r'{;}\theta']\Leftrightarrow\begin{cases}r=r' \\ \theta=\theta'+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})\end{cases}.

z\times z'=[r{;}\theta]\times[r'{;}\theta']=[rr'{;}\theta+\theta'].

\frac{1}{z}=\frac{1}{[r{;}\theta]}=\left[\frac{1}{r}{;}-\theta\right].

\frac{z}{z'}=\frac{[r{;}\theta]}{[r'{;}\theta']}=\left[\frac{r}{r'}{;}\theta-\theta'\right].

$z^{n}=[r{;}\theta]^{n}=[r^{n}{;}n\theta].$

تطبيق ⑫

نعتبر $z_{1}$ و $z_{2}$ و $z_{3}$ ثلاثة أعداد عقدية غير معدومة بحيث $\arg(z_{1})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi]$ و $\arg(z_{2})\equiv\frac{\pi}{4}[2\pi].$ حدّد عمدة العدد $z_{3}$ في الحالات التالية: أ. $\frac{z_{3}}{z_{2}}=z_{1}^{2}.$ ب. $z_{3}\times z_{2}=4z_{1}.$

تمرين ⑤

نضع $z_{1}=1+i\sqrt{3}$ و $z_{2}=1+i.$

اكتب $z_{1}$ و $z_{2}$ على الشكل المثلثي ثم استنتج الشكل المثلثي للعدد $Z=\frac{z_{2}}{z_{1}}.$

اكتب $Z$ على الشكل الجبري.

استنتج قيمة $\cos\!\left(\frac{5\pi}{12}\right)$ و $\sin\!\left(\frac{5\pi}{12}\right).$

بيّن أن $z_{1}^{12}\in\mathbb{R}.$

الزاوية بين متجهتين — عمدة عدد عقدي

خاصية

ليكن $A(z_{A})$ و $B(z_{B})$ و $C(z_{C})$ و $D(z_{D})$ نقطاً من المستوى العقدي. لدينا:

(\widehat{\vec{e}_{1}{;}\overrightarrow{AB}})\equiv\arg(z_{B}-z_{A})[2\pi].

(\widehat{\overrightarrow{AB}{;}\overrightarrow{AC}})\equiv\arg!\left(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right)[2\pi].

(\widehat{\overrightarrow{AB}{;}\overrightarrow{DC}})\equiv\arg!\left(\frac{z_{C}-z_{D}}{z_{B}-z_{A}}\right)[2\pi].

تطبيق ⑬

نعتبر في المستوى العقدي النقط $A(2{;}2)$ و $B(2{;}-1)$ و $C(4{;}2)$ و $D(6{;}2).$

احسب $(\widehat{\overrightarrow{AD}{;}\overrightarrow{AC}})$ ، ماذا يمكن استنتاجه؟

احسب $(\widehat{\overrightarrow{AC}{;}\overrightarrow{AB}}).$ ماذا يمكن القول عن وضع المستقيمين $(AB)$ و $(AC)؟$

تمرين ⑥

في المستوى العقدي نعتبر النقط $A$ و $B$ و $C$ لحقائقها على التوالي $z_{A}=\sqrt{3}-i$ و $z_{B}=-z_{A}$ و $z_{C}=\sqrt{3}+3i$ ولتكن $D$ مماثلة $C$ بالنسبة للمحور الحقيقي.

احسب $\frac{z_{A}-z_{D}}{z_{A}-z_{C}}$ ثم استنتج أن النقط $A$ و $D$ و $C$ مستقيمية.

تحقّق من أن

\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}.

بيّن أن المثلث $ABC$ متساوي الأضلاع.

تمرين ⑦

نعتبر النقط $A$ و $B$ و $C$ و $D$ لحقائقها على التوالي $a=\sqrt{3}$ ؛ $b=2+i\sqrt{3}$ ؛ $c=2-\sqrt{3}+2i$ و $d=(2-\sqrt{3})i.$ بيّن أن $ABCD$ مربع.

Ⅵ. التمثيل العقدي للتحويلات الاعتيادية

الإزاحة

تعريف

لتكن $t_{\vec{u}}$ إزاحةً متجهتها $\vec{u}(z_{\vec{u}})$ ولتكن $M'(z_{M'})$ صورة النقطة $M(z_{M})$ بالإزاحة $t_{\vec{u}}.$ لدينا:

t_{\vec{u}}(M)=M'\Leftrightarrow\overrightarrow{MM'}=\vec{u}\Leftrightarrow z_{M'}-z_{M}=z_{\vec{u}}\Leftrightarrow z_{M'}=z_{M}+z_{\vec{u}}.

هذه الكتابة تُسمى التمثيل العقدي للإزاحة $t_{\vec{u}}.$

تطبيق ⑭

نعتبر الإزاحة $t$ متجهتها $\vec{u}(-1+2i).$

حدّد التمثيل العقدي للإزاحة $t.$

حدّد لحق النقطة $A'$ صورة $A(2i)$ بالإزاحة $t.$

حدّد لحق $B$ بحيث $t(B)=B'$ و $B'(2-3i).$

التحاكي

تعريف

ليكن $\Omega(z_{\Omega})$ نقطة من المستوى العقدي و $k$ عنصراً من $\mathbb{R}^{*}.$ ليكن $h$ التحاكي مركزه $\Omega$ ونسبته $k.$ لتكن $M'(z_{M'})$ صورة $M(z_{M})$ بالتحاكي $h.$ لدينا:

h(M)=M'\Leftrightarrow\overrightarrow{\Omega M'}=k\overrightarrow{\Omega M}\Leftrightarrow z_{M'}-z_{\Omega}=k(z_{M}-z_{\Omega})\Leftrightarrow z_{M'}=kz_{M}+z_{\Omega}(1-k).

هذه الكتابة تُسمى التمثيل العقدي للتحاكي $h.$

تطبيق ⑮

نعتبر التحاكي مركزه $\Omega(2-i)$ ونسبته $4.$

حدّد التمثيل العقدي للتحاكي $h.$

حدّد لحق النقطة $A'$ صورة $A(1+i)$ بالتحاكي $h.$

حدّد لحق $B$ حيث $h(B)=B'$ و $B'(2i).$

تمرين ⑧

تعرّف على طبيعة التحويلات الاعتيادية التالية التي تمثيلها العقدي كما يلي:

أ. $z'=z-3i.$ ب. $z'+2i=-5(z+2i).$ ج. $z'=1-z.$ د. $z'=4z-3i.$

Ⅶ. الكتابة الأسّية — تطبيقات مثلثية

الكتابة الأسّية لعدد عقدي

تعريف

كل عدد عقدي $z$ معياره $r$ وعمدته $\theta$ يُكتب على الشكل $z=re^{i\theta}.$ هذه الكتابة تُسمى الشكل الأسّي للعدد $z.$

أمثلة

$e^{i\pi}=-1.$

2e^{i\frac{3\pi}{4}}=2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)=2\left(\cos\!\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\right)=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}.

تطبيق ⑯

اكتب على الشكل الجبري العددين العقديين: $z_{1}=4e^{-i\frac{\pi}{3}}$ و $z_{2}=e^{i\frac{5\pi}{4}}.$

اكتب على الشكل الأسّي العدد العقدي

z=-3\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right).

خاصية

ليكن $r$ و $r'$ و $\theta$ و $\theta'$ أعداداً حقيقية. لدينا:

$|e^{i\theta}|=1.$
$\arg(e^{i\theta})\equiv\theta[2\pi].$
$\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}.$

re^{i\theta}\times r'e^{i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}.

\frac{1}{re^{i\theta}}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}=\frac{1}{r}\overline{e^{i\theta}}.

\frac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}}=\frac{r}{r'}e^{i(\theta-\theta')}.

(\forall n\in\mathbb{Z}) (re^{i\theta})^{n}=r^{n}e^{in\theta}.

تطبيق ⑰

نضع: $z_{1}=1-i$ و $z_{2}=2i$ و $z_{3}=3+3i\sqrt{3}.$ اكتب على الشكل الأسّي الأعداد التالية: $a=\frac{z_{3}}{z_{1}}$ و $b=z_{1}^{8}$ و $c=\frac{z_{1}}{z_{2}z_{3}}.$

2.أ. صيغة موافر

خاصية — صيغة موافر

لدينا:

(\forall n\in\mathbb{Z})(\forall\theta\in\mathbb{R}):(e^{i\theta})^{n}=e^{in\theta}.

وبالتالي:

(\forall n\in\mathbb{Z})(\forall\theta\in\mathbb{R}):(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).

هذه المساواة تُسمى صيغة موافر.

تطبيق ⑱

اكتب بطريقتين مختلفتين $(\cos(x)+i\sin(x))^{2}$ على الشكل الجبري.

استنتج قيمة $\cos(2x)$ و $\sin(2x)$ بدلالة $\cos(x)$ و $\sin(x).$

2.ب. صيغتا أولر

خاصية — صيغتا أولر

نعلم أن:

(\forall\theta\in\mathbb{R})\begin{cases}e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) \\ e^{-i\theta}=\cos(\theta)-i\sin(\theta)\end{cases}.

مجموع المساواتين يعطي: $\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}.$ وبطرح $(2)$ من $(1)$ نحصل على:

\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.

هاتان الصيغتان تُسمّيان صيغتي أولر.

(\forall\theta\in\mathbb{R})\ \cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}

\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.

تطبيق ⑲

باستعمال صيغتي أولر، بيّن أن

(\forall x\in\mathbb{R}):(\cos(x))^{2}=\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{2}.

نقول في هذه الحالة إننا خطّينا كثير الحدود المثلثي $(\cos(x))^{2}.$

خطّ الخطّي التعبيرين التاليين $\sin^{2}(x)$ و $\cos^{3}(x).$

Ⅷ. معادلات الدرجة الثانية في $\mathbb{C}$

خاصية

نعتبر في $\mathbb{C}$ المعادلة $az^{2}+bz+c=0$ حيث $a$ و $b$ و $c$ حقيقية و $a\neq 0.$

العدد $\Delta=b^{2}-4ac$ يُسمى مميّز المعادلة.
إذا كان $\Delta>0$ ، فإن المعادلة تقبل حلين حقيقيين $z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ و $z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$
إذا كان $\Delta=0$ ، فإن المعادلة تقبل حلاً حقيقياً مضاعفاً $z_{0}=-\frac{b}{2a}.$
إذا كان $\Delta<0$ ، فإن المعادلة تقبل حلين عقديين مترافقين متميزين: $z_{1}=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ و

z_{2}=\overline{z_{1}}=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}.

تطبيق ⑳

حل في $\mathbb{C}$ المعادلات:

$(E_{1}):z^{2}=-4$
$(E_{2}):z^{2}+2\sqrt{3}z+4=0$
$(E_{3}):2z^{2}-3z+2=0.$

نضع $p(z)=z^{3}-6z^{2}+12z-16.$ أ. حدّد الحقيقيين $a$ و $b$ بحيث

(\forall z\in\mathbb{C})\ p(z)=(z-4)(z^{2}+az+b).

ب. حل في $\mathbb{C}$ : $p(z)=0.$

Ⅸ. التمثيل العقدي للدوران

تعريف

ليكن $R$ دوراناً مركزه $\Omega(z_{\Omega})$ وقياس زاويته $\theta$ ، ولتكن $M'(z_{M'})$ صورة $M(z_{M})$ بالدوران $R.$ لدينا:

R(M)=M'\Leftrightarrow\begin{cases}|\overrightarrow{\Omega M'}|=|\overrightarrow{\Omega M}| \\ (\widehat{\overrightarrow{\Omega M}{;}\overrightarrow{\Omega M'}})\equiv\theta[2\pi]\end{cases}\Leftrightarrow z_{M'}=(z_{M}-z_{\Omega})e^{i\theta}+z_{\Omega}.

هذه الكتابة تُسمى التمثيل العقدي للدوران $R.$

خاصية

ليكن $R$ دوراناً مركزه $\Omega(z_{\Omega})$ وقياس زاويته $\theta$ ، ولتكن $M'(z_{M'})$ صورة $M(z_{M})$ بالدوران $R.$ لدينا: $z_{M'}=(z_{M}-z_{\Omega})e^{i\theta}+z_{\Omega}.$

تطبيق ㉑

نعتبر الدوران $R$ مركزه $\Omega(2+3i)$ وقياس زاويته $\frac{\pi}{2}.$

أ. حدّد التمثيل العقدي للدوران $R.$ ب. حدّد لحق النقطة $A'$ صورة $A(2-i)$ بالدوران $R.$ ج. حدّد لحق النقطة $B$ بحيث $R(B)=B'$ و $B'(-2-4i).$

حدّد صورة النقطة $M(4i)$ بالدوران مركزه $O$ وقياس زاويته $\frac{5\pi}{6}.$

تمرين ⑨

نعتبر التحويل $F$ الممثّل بـ: $z'=-iz+i-1.$

بيّن أنه توجد نقطة وحيدة $M$ من المستوى العقدي $(\mathcal{P})$ صامدة بالتحويل $F.$ نرمز لهذه النقطة بـ $\Omega$ ولحقها بـ $\omega.$

تحقّق، لكل $M(z)$ و $M'(z')$ من المستوى $(\mathcal{P})$ ، من أن: $F(M)=M'\Leftrightarrow z'-\omega=-i(z-\omega).$

استنتج طبيعة التحويل $F.$

تمرين توليفي — الدورة العادية 2020

نعتبر في مجموعة الأعداد العقدية $\mathbb{C}$ المعادلة $(E):z^{2}-2(\sqrt{2}+\sqrt{6})z+16=0.$

أ. تحقّق من أن $\Delta=-4(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}.$ ب. استنتج حلول المعادلة $(E).$

نعتبر الأعداد العقدية $a=(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ ؛ $b=1+i\sqrt{3}$ و $c=\sqrt{2}+i\sqrt{2}.$

أ. تحقّق من أن $b\overline{c}=a$ ثم استنتج أن $ac=4b.$ ب. اكتب العددين العقديين $a$ و $b$ على الشكل المثلثي. ج. استنتج أن

a=4\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right).

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر $(O{;}\vec{u}{;}\vec{v})$ ، نعتبر النقط $B$ و $C$ و $D$ لحقائقها على التوالي $b$ و $c$ و $d$ بحيث $d=a^{4}.$

ليكن $z$ لحق النقطة $M$ من المستوى و $z'$ لحق النقطة $M'$ صورة $M$ بالدوران $R$ مركزه $O$ وزاويته $\frac{\pi}{12}.$

أ. تحقّق من أن $z'=\frac{1}{4}az.$ ب. حدّد صورة النقطة $C$ بالدوران $R.$ ج. حدّد طبيعة المثلث $OBC.$ د. بيّن أن $a^{4}=128b$ واستنتج أن النقط $O$ و $B$ و $D$ مستقيمية.

الأعداد العقدية

Ⅰ. مجموعة الأعداد العقدية

المجموعة C\mathbb{C}C — الكتابة الجبرية

العمليات في C\mathbb{C}C

Ⅱ. التمثيل الهندسي لعدد عقدي

تعاريف

استقامية نقطتين — ثلاث نقط

نقط متدايرة

Ⅲ. مرافق عدد عقدي

؛

Ⅳ. معيار عدد عقدي

Ⅴ. الشكل المثلثي لعدد عقدي

عمدة عدد عقدي

الشكل المثلثي لعدد عقدي غير معدوم

الزاوية بين متجهتين — عمدة عدد عقدي

Ⅵ. التمثيل العقدي للتحويلات الاعتيادية

الإزاحة

التحاكي

Ⅶ. الكتابة الأسّية — تطبيقات مثلثية

الكتابة الأسّية لعدد عقدي

2.أ. صيغة موافر

2.ب. صيغتا أولر

Ⅷ. معادلات الدرجة الثانية في C\mathbb{C}C

Ⅸ. التمثيل العقدي للدوران

المجموعة $\mathbb{C}$ — الكتابة الجبرية

العمليات في $\mathbb{C}$

Ⅷ. معادلات الدرجة الثانية في $\mathbb{C}$