Ximath
تسجيل الدخول
سلاسل هذا المستوى

الثانية باك علوم تجريبية - مسلكي PC/SVT

السلسلة 10

سلسلة تمارين: الأعداد العقدية

تطبيقات وتمارين حول الشكل الجبري، المرافق، المعيار، الشكل المثلثي والأسّي، والتحويلات في المستوى العقدي.

الدرس 10 — الأعداد العقدية

جزء التطبيقات

تطبيق ①

اكتب على الشكل الجبري العددين التاليين: z1=4i−(2+5i)z_{1}=4i-(2+5i) و z2=3(1+i)+i(i+1).z_{2}=3(1+i)+i(i+1).

تطبيق ②

حدّد قيمة العددين الحقيقيين aa و bb في الحالات التالية: ▪ (1+2i)a+b=5−4i(1+2i)a+b=5-4i ▪ (2+i)a+(3−2i)b=1+4i.(2+i)a+(3-2i)b=1+4i.

تطبيق ③

اكتب على الشكل الجبري:

  • z1=(2+3i)(−1+i)z_{1}=(2+3i)(-1+i)
  • z2=(1+3i)(1−3i)z_{2}=(1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)
  • z3=12+3i+(2+i)2z_{3}=\frac{1}{2+3i}+(2+i)^{2}
  • z4=−14iz_{4}=-\frac{1}{4i}
  • z5=1+i1−iz_{5}=\frac{1+i}{1-i}
  • z6=(1+i1−i)14.z_{6}=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{14}.

تمرين ①

  1. ليكن z=(x+i)[(x+5)−i(x−7)]z=(x+i)[(x+5)-i(x-7)] حيث xx حقيقي. حدّد xx إذا: أ. z∈R؛z\in\mathbb{R}؛ ب. z∈iR؛z\in i\mathbb{R}؛ ج. Im(z)=2Re(z).\mathrm{Im}(z)=2\mathrm{Re}(z).
  1. حل في C\mathbb{C}: (E1):iZ−1=Z+3i(E_{1}):iZ-1=Z+3i و (E2):Z+iZ−i=i.(E_{2}):\frac{Z+i}{Z-i}=i.

ليكن M(z=x+iy)M(z=x+iy) و M′(z′=z+1z−1).M'\left(z'=\frac{z+1}{z-1}\right). 1) اكتب z′z' جبرياً. 2) مجموعة MM بحيث z′∈R.z'\in\mathbb{R}. 3) مجموعة MM بحيث z′∈iR.z'\in i\mathbb{R}.

تمرين ②

أنشئ النقط A(−1+i)A(-1+i) ؛ B(2−2i)B(2-2i) ؛ C(12i)C\left(\frac{1}{2}i\right) و D(2+2i).D(2+2i).

النقط A(2i)A(2i) ؛ B(1−i)B(1-i) ؛ C(3).C(3). 1) لحوق AB→\overrightarrow{AB} و AC→\overrightarrow{AC} و 3AB→−BC→.3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}. 2) لحق DD بحيث ABCDABCD متوازي أضلاع. 3) لحق مركز I.I.

تطبيق ④

النقط A(4;−6)A(4{;}-6) و B(−2;3)B(-2{;}3) و C(−1;32).C\left(-1{;}\frac{3}{2}\right). بيّن أنها مستقيمية.

تطبيق ⑤

النقط A(1+i)A(1+i) و B(3+i)B(3+i) و C(2+2i)C(2+2i) و D(2).D(2). بيّن أنها متدايرة.

تطبيق ⑥

ليكن z≠−2i.z\neq -2i. بسّط izz+2i+i3+zz−2i.\frac{iz}{z+2i}+i\frac{3+z}{z-2i}.

تمرين ③

نضع z=x+iy.z=x+iy. 1) أ) الشكل الجبري لـ 3iz−z.3iz-z. ب) حل 3iz−z=8i.3iz-z=8i. ج) zz بحيث 3iz−z3iz-z تخيلي صرف. 2) حل 4z−2z+1=−3+i.\frac{4z-2}{z+1}=-3+i.

تطبيق ⑦

نضع u=2+3i3+2iu=\frac{2+3i}{3+2i} و v=2−3i3−2i.v=\frac{2-3i}{3-2i}. دون حساب u+vu+v و u−vu-v، بيّن أن u+vu+v حقيقي و u−vu-v تخيلي صرف.

تطبيق ⑧

نضع z1=1+iz_{1}=1+i و z2=1−i3.z_{2}=1-i\sqrt{3}. 1) احسب ∣z1∣|z_{1}| و ∣z2∣.|z_{2}|. 2) استنتج معايير z1z2z_{1}z_{2} و z16z_{1}^{6} و (z1z2)2.\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{2}.

تطبيق ⑨

النقط A(−1+6i)A(-1+6i) و B(1+9i)B(1+9i) و C(2+4i).C(2+4i). بيّن أن ABCABC متساوي الساقين.

تطبيق ⑩

حدّد المجموعة (E)(E) للنقط M(z)M(z): أ. ∣z−2+i∣=∣z−4i∣؛|z-2+i|=|z-4i|؛ ب. ∣z+i∣=∣z−1+i∣؛|z+i|=|z-1+i|؛ ج. ∣z−2+i∣=4؛|z-2+i|=4؛ د. ∣iz−2∣=∣z+1−i∣؛|iz-2|=|z+1-i|؛ هـ. ∣iz∣=∣z+1−i∣.|iz|=|z+1-i|.

تطبيق ⑪

اكتب على الشكل المثلثي: z1=1+i3z_{1}=1+i\sqrt{3} ؛ z2=1−i3z_{2}=1-i\sqrt{3} ؛ z3=−1−i3z_{3}=-1-i\sqrt{3} ؛ z4=−23+2iz_{4}=-2\sqrt{3}+2i ؛ z5=4z_{5}=4 ؛ z6=−7.z_{6}=-7.

تطبيق ⑫

arg⁡(z1)≡π2[2π]\arg(z_{1})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi] و arg⁡(z2)≡π4[2π].\arg(z_{2})\equiv\frac{\pi}{4}[2\pi]. حدّد arg⁡(z3)\arg(z_{3}) إذا: أ. z3z2=z12؛\frac{z_{3}}{z_{2}}=z_{1}^{2}؛ ب. z3z2=4z1.z_{3}z_{2}=4z_{1}.

تمرين ⑤

z1=1+i3z_{1}=1+i\sqrt{3} و z2=1+i.z_{2}=1+i. 1) الشكل المثلثي ثم Z=z2z1.Z=\frac{z_{2}}{z_{1}}. 2) ZZ جبرياً. 3) cos⁡5π12\cos\frac{5\pi}{12} و sin⁡5π12.\sin\frac{5\pi}{12}. 4) بيّن z112∈R.z_{1}^{12}\in\mathbb{R}.

تطبيق ⑬

النقط A(2;2)A(2{;}2) و B(2;−1)B(2{;}-1) و C(4;2)C(4{;}2) و D(6;2).D(6{;}2). 1) احسب (AD→;AC→^).(\widehat{\overrightarrow{AD}{;}\overrightarrow{AC}}). 2) احسب (AC→;AB→^).(\widehat{\overrightarrow{AC}{;}\overrightarrow{AB}}).

تمرين ⑥

zA=3−iz_{A}=\sqrt{3}-i و zB=−zAz_{B}=-z_{A} و zC=3+3iz_{C}=\sqrt{3}+3i و DD مماثلة CC بالنسبة للمحور الحقيقي. 1) zA−zDzA−zC\frac{z_{A}-z_{D}}{z_{A}-z_{C}} والاستقامية. 2) تحقّق

zC−zAzB−zA=1−i32.\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}.
  1. بيّن أن ABCABC متساوي الأضلاع.

تمرين ⑦

a=3a=\sqrt{3} ؛ b=2+i3b=2+i\sqrt{3} ؛ c=2−3+2ic=2-\sqrt{3}+2i ؛ d=(2−3)i.d=(2-\sqrt{3})i. بيّن أن ABCDABCD مربع.

تطبيق ⑭

الإزاحة tt متجهتها u⃗(−1+2i).\vec{u}(-1+2i). 1) التمثيل العقدي. 2) صورة A(2i).A(2i). 3) BB بحيث t(B)=B′(2−3i).t(B)=B'(2-3i).

تطبيق ⑮

التحاكي مركزه Ω(2−i)\Omega(2-i) ونسبته 4.4. 1) التمثيل العقدي. 2) صورة A(1+i).A(1+i). 3) BB بحيث h(B)=B′(2i).h(B)=B'(2i).

تمرين ⑧

طبيعة التحويلات: أ. z′=z−3i؛z'=z-3i؛ ب. z′+2i=−5(z+2i)؛z'+2i=-5(z+2i)؛ ج. z′=1−z؛z'=1-z؛ د. z′=4z−3i.z'=4z-3i.

نشاط

  1. z=22+2i6.z=2\sqrt{2}+2i\sqrt{6}. بيّن z=[42;π3]z=\left[4\sqrt{2}{;}\frac{\pi}{3}\right] ثم z=42eiπ3.z=4\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}}. 2) الشكل الأسّي لـ z1=1−iz_{1}=1-i و z2=2iz_{2}=2i و z3=3+3i3z_{3}=3+3i\sqrt{3} و z4=−3.z_{4}=-3.

تطبيق ⑯

  1. الشكل الجبري لـ z1=4e−iπ3z_{1}=4e^{-i\frac{\pi}{3}} و z2=ei5π4.z_{2}=e^{i\frac{5\pi}{4}}. 2) الشكل الأسّي لـ
z=−3(cos⁡π12+isin⁡π12).z=-3\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right).

تطبيق ⑰

z1=1−iz_{1}=1-i و z2=2iz_{2}=2i و z3=3+3i3.z_{3}=3+3i\sqrt{3}. الشكل الأسّي لـ a=z3z1a=\frac{z_{3}}{z_{1}} و b=z18b=z_{1}^{8} و c=z1z2z3.c=\frac{z_{1}}{z_{2}z_{3}}.

تطبيق ⑱

  1. اكتب بطريقتين (cos⁡x+isin⁡x)2(\cos x+i\sin x)^{2} جبرياً. 2) استنتج cos⁡(2x)\cos(2x) و sin⁡(2x).\sin(2x).

تطبيق ⑲

  1. بيّن
(cos⁡x)2=12cos⁡(2x)+12.(\cos x)^{2}=\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{2}.
  1. خطّ sin⁡2x\sin^{2}x و cos⁡3x.\cos^{3}x.

تطبيق ⑳

  1. حل: (E1):z2=−4؛(E_{1}):z^{2}=-4؛ (E2):z2+23z+4=0؛(E_{2}):z^{2}+2\sqrt{3}z+4=0؛ (E3):2z2−3z+2=0.(E_{3}):2z^{2}-3z+2=0. 2) p(z)=z3−6z2+12z−16=(z−4)(z2+az+b)p(z)=z^{3}-6z^{2}+12z-16=(z-4)(z^{2}+az+b) ثم حل p(z)=0.p(z)=0.

تطبيق ㉑

  1. الدوران RR مركزه Ω(2+3i)\Omega(2+3i) وزاويته π2\frac{\pi}{2}: التمثيل العقدي؛ صورة A(2−i)؛A(2-i)؛ BB بحيث R(B)=B′(−2−4i).R(B)=B'(-2-4i). 2) صورة M(4i)M(4i) بدوران مركزه OO وزاويته 5π6.\frac{5\pi}{6}.

تمرين ⑨

F:z′=−iz+i−1.F:z'=-iz+i-1. 1) نقطة صامدة وحيدة Ω(ω).\Omega(\omega). 2) F(M)=M′⇔z′−ω=−i(z−ω).F(M)=M'\Leftrightarrow z'-\omega=-i(z-\omega). 3) طبيعة F.F.

تمرين توليفي — العادية 2020

(E):z2−2(2+6)z+16=0.(E):z^{2}-2(\sqrt{2}+\sqrt{6})z+16=0. أ. Δ=−4(6−2)2.\Delta=-4(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}. ب. الحلول. ثم a=(6+2)+i(6−2)a=(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2}) و b=1+i3b=1+i\sqrt{3} و c=2+i2c=\sqrt{2}+i\sqrt{2}: bc‾=ab\overline{c}=a و ac=4b؛ac=4b؛ الشكل المثلثي؛

a=4(cos⁡π12+isin⁡π12).a=4\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right).

ثم الدوران بزاوية π12\frac{\pi}{12}: z′=14az؛z'=\frac{1}{4}az؛ طبيعة OBC؛OBC؛ a4=128ba^{4}=128b واستقامية O,B,D.O,B,D.

جزء التمارين

تمرين ① — الاستدراك 2018

  1. حل في C\mathbb{C} المعادلة z2−22z+4=0.z^{2}-2\sqrt{2}z+4=0.
  1. في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر (O;u⃗;v⃗)(O{;}\vec{u}{;}\vec{v})، نعتبر النقطة AA لحقها a=2(1−i)a=\sqrt{2}(1-i) والدوران RR مركزه OO وزاويته π3.\frac{\pi}{3}.

أ. اكتب aa على الشكل المثلثي. ب. تحقّق من أن لحق BB صورة AA بالدوران RR هو:

b=2(cos⁡π12+isin⁡π12).b=2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right).
  1. نعتبر النقطة CC لحقها c=1+i.c=1+i. أ. بيّن أن b2−c2=23.b^{2}-c^{2}=2\sqrt{3}. ب. لتكن tt الإزاحة متجهتها OD→\overrightarrow{OD} و DD صورة BB بالإزاحة t.t. بيّن أن OD=∣b+c∣.OD=|b+c|. ج. استنتج أن OD×BC=23.OD\times BC=2\sqrt{3}.

تمرين ②

  1. نعتبر في C\mathbb{C} كثير الحدود P(z)=z3−2(2+i)z2+8(2+i)z−32i.P(z)=z^{3}-2(2+i)z^{2}+8(2+i)z-32i. أ. بيّن أن P(z)=0P(z)=0 تقبل حلاً تخيلياً صرفاً z0=λiz_{0}=\lambda i حيث λ∈R\lambda\in\mathbb{R} يُطلب تحديده. ب. أوجد α\alpha و β\beta بحيث P(z)=(z−z0)(z2+αz+β).P(z)=(z-z_{0})(z^{2}+\alpha z+\beta).
  1. حل في C\mathbb{C}: z2−4z+16=0.z^{2}-4z+16=0.
  1. النقطتان AA و BB لحقاهما a=2−23ia=2-2\sqrt{3}i و b=23+2i.b=2\sqrt{3}+2i. أ. اكتب aa و bb مثلثياً وتحقّق من أن a21a^{21} حقيقي. ب. بيّن أن OABOAB مثلث قائم ومتساوي الساقين في O.O.
  1. أ. لحق EE صورة AA بالإزاحة متجهتها OB→.\overrightarrow{OB}. ب. بيّن أن OAEBOAEB مربع.
  1. الدوران RR مركزه BB وزاويته −π2-\frac{\pi}{2} يحوّل M(z)M(z) إلى M′(z′).M'(z'). أ. بيّن أن z′=−iz+23−2+(2+23)i.z'=-iz+2\sqrt{3}-2+(2+2\sqrt{3})i. ب. استنتج أن لحق CC صورة AA هو c=−2+23i.c=-2+2\sqrt{3}i.
  1. النقطة DD لحقها d=6+23i.d=6+2\sqrt{3}i. أ. بيّن استقامية OO و BB و D.D. ب. الكتابة الأسّية لـ d−ca−c\frac{d-c}{a-c} ثم طبيعة المثلث ADC.ADC.

تمرين ③ — الاستدراك 2022

النقط AA و BB و CC لحقائقها zA=1+5iz_{A}=1+5i و zB=1−5iz_{B}=1-5i و zC=5−3i.z_{C}=5-3i.

  1. حدّد zDz_{D} لحق منتصف [AC].[AC].
  1. التحاكي hh مركزه AA ونسبته 12.\frac{1}{2}. حدّد zEz_{E} لحق صورة B.B.
  1. الدوران RR مركزه CC وزاويته −π2.-\frac{\pi}{2}. حدّد صورة B.B.
  1. النقطة FF لحقها zF=−1+i.z_{F}=-1+i. أ. تحقّق من أن
zD−zAzF−zA×zF−zEzD−zE=−1.\frac{z_{D}-z_{A}}{z_{F}-z_{A}}\times\frac{z_{F}-z_{E}}{z_{D}-z_{E}}=-1.

ب. استنتج

(AF→;AD→^)+(ED→;EF→^)≡π[2π].(\widehat{\overrightarrow{AF}{;}\overrightarrow{AD}})+(\widehat{\overrightarrow{ED}{;}\overrightarrow{EF}})\equiv\pi[2\pi].

ج. الشكل المثلثي لـ zE−zFzA−zF\frac{z_{E}-z_{F}}{z_{A}-z_{F}} وطبيعة المثلث AEF.AEF. د. استنتج أن A,D,E,FA,D,E,F متدايرة محدّداً قطراً.

تمرين ④ — العادية 2015

Ⅰ. نعتبر a=2+2+i2.a=2+\sqrt{2}+i\sqrt{2}. 1. بيّن أن ∣a∣=22+2.|a|=2\sqrt{2+\sqrt{2}}. 2. تحقّق من أن

a=2(1+cos⁡π4)+2isin⁡π4.a=2\left(1+\cos\frac{\pi}{4}\right)+2i\sin\frac{\pi}{4}.
  1. أ. بخطّ cos⁡2θ\cos^{2}\theta، بيّن أن 1+cos⁡2θ=2cos⁡2θ.1+\cos 2\theta=2\cos^{2}\theta. ب. بيّن أن
a=4cos⁡2π8+4icos⁡π8sin⁡π8.a=4\cos^{2}\frac{\pi}{8}+4i\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}.

ج. بيّن أن

4cos⁡π8(cos⁡π8+isin⁡π8)4\cos\frac{\pi}{8}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)

شكل مثلثي لـ a.a.

Ⅱ. النقطتان Ω\Omega و AA لحقاهما ω=2\omega=\sqrt{2} و a=2+2+i2a=2+\sqrt{2}+i\sqrt{2} والدوران RR مركزه Ω\Omega وزاويته π2.\frac{\pi}{2}. 1. بيّن أن لحق BB صورة AA هو 2i.2i. 2. حدّد مجموعة النقط M(z)M(z) بحيث ∣z−2i∣=2.|z-2i|=2.

تمرين ⑤

  1. حل في C\mathbb{C}: z2−2z+1=0.z^{2}-\sqrt{2}z+1=0.
  1. نضع
a=22+22i.a=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i.

اكتب aa مثلثياً واستنتج أن a8a^{8} حقيقي.

  1. النقط A,B,CA,B,C لحقائقها aa و b=2+1+ib=\sqrt{2}+1+i و c=b‾.c=\overline{b}. الدوران RR مركزه OO وزاويته π4.\frac{\pi}{4}. أ. بيّن z′=az.z'=az. ب. تحقّق أن BB صورة CC واستنتج طبيعة OBC.OBC. ج. استنتج arg⁡(b)≡12arg⁡(a)[2π]\arg(b)\equiv\frac{1}{2}\arg(a)[2\pi] وحدّد عمدة لـ b.b.
  1. نضع h=cos⁡π8+isin⁡π8.h=\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}. بيّن أن h4+a8+2=b.h^{4}+a^{8}+\sqrt{2}=b.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ