Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الأولى باك علوم تجريبية

الدرس 03

الحساب المثلثي

صيغ الجمع والفرق، صيغ الظلّ والمضاعفة، تحويل جداء/مجموع، الكتابة على الشكل r cos(x−α)، وحلّ معادلات ومتراجحات مثلثية.

سلسلة التمارين 03 — سلسلة تطبيقات: الحساب المثلثي

Ⅰ. صيغ الجمع والفرق

خاصية

ليكن aa و bb عددين حقيقيين، لدينا:

  • cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b ؛
  • cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b ؛
  • sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b ؛
  • sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b.\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.

تطبيق ①

  1. علماً أن
5π12=π4+π6\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}

و

π12=π3−π4\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}

، احسب cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} و sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12} و cos⁡5π12\cos\frac{5\pi}{12} و sin⁡5π12.\sin\frac{5\pi}{12}.

  1. ليكن xx عدداً حقيقياً. بيّن أن:
sin⁡x=sin⁡(x+π3)−sin⁡(π3−x)\sin x=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)

و

cos⁡x=cos⁡(x+π3)+cos⁡(π3−x).\cos x=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right).

تطبيق ②

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث 0<a<π20<a<\frac{\pi}{2} و 0<b<π20<b<\frac{\pi}{2} و sin⁡(a)=cos⁡(b)=13.\sin(a)=\cos(b)=\frac{1}{3}. حدّد a+b.a+b.

Ⅱ. صيغ ظلّ الجمع والفرق

خاصية

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث a≠π2+kπa\neq\frac{\pi}{2}+k\pi و b≠π2+kπb\neq\frac{\pi}{2}+k\pi لكل k∈Z.k\in\mathbb{Z}.

  • إذا كان a−b≠π2+kπa-b\neq\frac{\pi}{2}+k\pi لكل k∈Zk\in\mathbb{Z} فإن tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b.\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}.
  • إذا كان a+b≠π2+kπa+b\neq\frac{\pi}{2}+k\pi لكل k∈Zk\in\mathbb{Z} فإن tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b.\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.

تطبيق ③

ليكن xx عدداً حقيقياً بحيث x≠π2+kπx\neq\frac{\pi}{2}+k\pi و x≠π4+kπx\neq\frac{\pi}{4}+k\pi و x≠−π4+kπx\neq -\frac{\pi}{4}+k\pi لكل k∈Z.k\in\mathbb{Z}. بسّط التعبير

tan⁡(π4−x)×tan⁡(π4+x).\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\times\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right).

Ⅲ. صيغ المضاعفة

خاصية

ليكن aa عدداً حقيقياً، لدينا:

cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a=\cos^{2}a-\sin^{2}a=2\cos^{2}a-1=1-2\sin^{2}a

؛

  • sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a=2\sin a\cos a ؛
  • cos⁡2a=1+cos⁡2a2\cos^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2} ؛
  • sin⁡2a=1−cos⁡2a2.\sin^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}.

تطبيق ④

  1. علماً أن π4=2×π8\frac{\pi}{4}=2\times\frac{\pi}{8}، احسب cos⁡π8\cos\frac{\pi}{8} و sin⁡π8\sin\frac{\pi}{8} و tan⁡π8.\tan\frac{\pi}{8}.
  1. ليكن xx عدداً حقيقياً. بيّن أن 1+cos⁡x+2sin⁡2(x2)=2.1+\cos x+2\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=2.
  1. ليكن xx عدداً حقيقياً بحيث x≠kπx\neq k\pi لكل k∈Z.k\in\mathbb{Z}. بيّن أن
1−cos⁡(x)sin⁡(x)=tan⁡(x2).\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\tan\left(\frac{x}{2}\right).

Ⅳ. تحويل جداء إلى مجموع

خاصية

ليكن aa و bb عددين حقيقيين، لدينا:

sin⁡acos⁡b=12[sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)]\sin a\cos b=\frac{1}{2}\bigl[\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr]

؛

cos⁡asin⁡b=12[sin⁡(a+b)−sin⁡(a−b)]\cos a\sin b=\frac{1}{2}\bigl[\sin(a+b)-\sin(a-b)\bigr]

؛

cos⁡acos⁡b=12[cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)]\cos a\cos b=\frac{1}{2}\bigl[\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr]

؛

sin⁡asin⁡b=12[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)].\sin a\sin b=\frac{1}{2}\bigl[\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr].

تطبيق ⑤

  1. احسب cos⁡π12cos⁡5π12\cos\frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} و cos⁡π12sin⁡5π12.\cos\frac{\pi}{12}\sin\frac{5\pi}{12}.
  1. ليكن xx عدداً حقيقياً. بيّن أن
sin⁡(x+π6)sin⁡(x−π6)=−12cos⁡(2x)+14.\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{4}.

Ⅴ. تحويل مجموع إلى جداء

ليكن aa و bb عددين حقيقيين، نضع x=a+bx=a+b و y=a−b.y=a-b. لدينا a=x+y2a=\frac{x+y}{2} و b=x−y2.b=\frac{x-y}{2}. بالتعويض في الخاصية السابقة نحصل على الخاصية التالية:

خاصية

ليكن xx و yy عددين حقيقيين، لدينا:

sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\sin x+\sin y=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)

؛

sin⁡x−sin⁡y=2cos⁡(x+y2)sin⁡(x−y2)\sin x-\sin y=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)

؛

cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\cos x+\cos y=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)

؛

cos⁡x−cos⁡y=−2sin⁡(x+y2)sin⁡(x−y2).\cos x-\cos y=-2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right).

تطبيق ⑥

  1. بيّن أن
sin⁡π12+sin⁡5π12=62.\sin\frac{\pi}{12}+\sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
  1. ليكن xx عدداً حقيقياً. بيّن أن cos⁡6x−cos⁡2x=−4sin⁡22xcos⁡2x.\cos 6x-\cos 2x=-4\sin^{2}2x\cos 2x.

Ⅵ. الكتابة على الشكل rcos⁡(x−α)r\cos(x-\alpha)

تمهيد: ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث (a;b)≠(0;0).(a;b)\neq(0;0). لدينا

acos⁡x+bsin⁡x=a2+b2(aa2+b2cos⁡x+ba2+b2sin⁡x).a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin x\right).

وبما أن

(aa2+b2)2+(ba2+b2)2=1\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}=1

، يوجد α∈R\alpha\in\mathbb{R} بحيث cos⁡α=aa2+b2\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} و sin⁡α=ba2+b2.\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}. ومنه

acos⁡x+bsin⁡x=a2+b2cos⁡(x−α).a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos(x-\alpha).

خاصية

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث (a;b)≠(0;0)(a;b)\neq(0;0)، لدينا:

acos⁡x+bsin⁡x=a2+b2cos⁡(x−α)a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos(x-\alpha)

مع cos⁡α=aa2+b2\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} و sin⁡α=ba2+b2.\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

تطبيق ⑦

اكتب على الشكل rcos⁡(x−α)r\cos(x-\alpha) التعبيرات التالية: A(x)=cos⁡x+sin⁡xA(x)=\cos x+\sin x ؛ B(x)=3cos⁡x−sin⁡xB(x)=\sqrt{3}\cos x-\sin x ؛

C(x)=3cos⁡(2x−π3)−sin⁡(2x−π3).C(x)=\sqrt{3}\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right).

تطبيق ⑧

نضع

A=cos⁡π12+sin⁡π12cos⁡π12−sin⁡π12.A=\frac{\cos\frac{\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}}{\cos\frac{\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}}.
  1. بيّن أن
cos⁡π12+sin⁡π12=2sin⁡π3.\cos\frac{\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{3}.
  1. بيّن أن
cos⁡π12−sin⁡π12=2sin⁡π6.\cos\frac{\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{6}.
  1. استنتج قيمة العدد A.A.
  1. حدّد قيمة العدد tan⁡π12.\tan\frac{\pi}{12}.

Ⅶ. معادلات ومتراجحات مثلثية

خاصيات

  • cos⁡x=cos⁡α⇔x=α+2kπ\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+2k\pi أو x=−α+2kπx=-\alpha+2k\pi (k∈Zk\in\mathbb{Z}).
  • sin⁡x=sin⁡α⇔x=α+2kπ\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+2k\pi أو x=π−α+2kπx=\pi-\alpha+2k\pi (k∈Zk\in\mathbb{Z}).
  • tan⁡x=tan⁡α⇔x=α+kπ\tan x=\tan\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi (k∈Zk\in\mathbb{Z}).

تطبيق ⑨

  1. حلّ في المجال II المعادلات التالية:

أ. 2cos⁡x−3=02\cos x-\sqrt{3}=0 ؛ I=[−π;2π].I=[-\pi;2\pi].

ب. 2sin⁡x+1=0\sqrt{2}\sin x+1=0 ؛ I=[0;2π].I=[0;2\pi].

ج. tan⁡x=3\tan x=\sqrt{3} ؛ I=[−π;π].I=[-\pi;\pi].

د. 3cos⁡x−sin⁡x=2\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2} ؛ I=[−π;π].I=[-\pi;\pi].

  1. حلّ في [−π;π2]\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right] المتراجحة 3cos⁡x−sin⁡x>2.\sqrt{3}\cos x-\sin x>\sqrt{2}.

تطبيق ⑩

ليكن xx عدداً حقيقياً. نضع

A(x)=23sin⁡2x−sin⁡2x−3sin⁡x+cos⁡x.A(x)=2\sqrt{3}\sin^{2}x-\sin 2x-\sqrt{3}\sin x+\cos x.
  1. احسب A(π6)A\left(\frac{\pi}{6}\right) و A(π3).A\left(\frac{\pi}{3}\right).
  1. بيّن أن
(∀x∈R): A(x)=2cos⁡(x+π3)(1−2sin⁡x).(\forall x\in\mathbb{R}):\ A(x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)(1-2\sin x).
  1. أ. حلّ في R\mathbb{R} المعادلة A(x)=0.A(x)=0. ب. استنتج حلول A(x)=0A(x)=0 على ]0;2π]]0;2\pi] ثم مثّلها على دائرة مثلثية.
  1. حلّ في ]0;2π]]0;2\pi] المتراجحة A(x)>0.A(x)>0.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ