سلسلة تطبيقات: الحساب المثلثي

المستوى $(P)$ منسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ و $(C)$ دائرة مثلثية مرتبطة به. ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين. $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متجهان غير منعدمين بحيث $\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=1$ و $(\vec{\imath};\vec{u})\equiv b[2\pi]$ و $(\vec{\imath};\vec{v})\equiv a[2\pi].$

1. حدّد قياس الزاوية الموجّهة $(\widehat{\vec{u};\vec{v}})$ بدلالة $a$ و $b.$

2. احسب بطريقتين الجداء السلمي $\vec{u}\cdot\vec{v}.$

3. استنتج أن $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$

4. بيّن أن $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$ بملاحظة أن $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$، بيّن صيغتي $\sin(a\pm b).$

1. علماً أن

و

، احسب $\cos\frac{\pi}{12}$ و $\sin\frac{\pi}{12}$ و $\cos\frac{5\pi}{12}$ و $\sin\frac{5\pi}{12}.$

2. ليكن $x$ عدداً حقيقياً. بيّن أن

و

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين بحيث $0<a<\frac{\pi}{2}$ و $0<b<\frac{\pi}{2}$ و $\sin(a)=\cos(b)=\frac{1}{3}.$ حدّد $a+b.$

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين بحيث $a\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ و $b\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ لكل $k\in\mathbb{Z}.$

1. بيّن أنه إذا كان $a-b\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ فإن $\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}.$

2. بيّن أنه إذا كان $a+b\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ فإن $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.$

ليكن $x$ عدداً حقيقياً بحيث $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ و $x\neq\frac{\pi}{4}+k\pi$ و $x\neq -\frac{\pi}{4}+k\pi$ لكل $k\in\mathbb{Z}.$ بسّط

1. علماً أن $\frac{\pi}{4}=2\times\frac{\pi}{8}$، احسب $\cos\frac{\pi}{8}$ و $\sin\frac{\pi}{8}$ و $\tan\frac{\pi}{8}.$

2. ليكن $x$ عدداً حقيقياً. بيّن أن $1+\cos x+2\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=2.$

3. ليكن $x$ عدداً حقيقياً بحيث $x\neq k\pi$ لكل $k\in\mathbb{Z}.$ بيّن أن

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين. بسّط: أ. $\sin(a+b)+\sin(a-b)$ ب. $\sin(a+b)-\sin(a-b)$ ج. $\cos(a+b)+\cos(a-b)$ د. $\cos(a+b)-\cos(a-b).$

1. احسب $\cos\frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}$ و $\cos\frac{\pi}{12}\sin\frac{5\pi}{12}.$

2. ليكن $x$ عدداً حقيقياً. بيّن أن

1. بيّن أن

2. ليكن $x$ عدداً حقيقياً. بيّن أن $\cos 6x-\cos 2x=-4\sin^{2}2x\cos 2x.$

اكتب على الشكل $r\cos(x-\alpha)$: $A(x)=\cos x+\sin x$ ؛ $B(x)=\sqrt{3}\cos x-\sin x$ ؛

نضع

1. بيّن أن

2. بيّن أن

3. استنتج قيمة $A.$ 4. حدّد قيمة $\tan\frac{\pi}{12}.$

1. حلّ في $I$: أ. $2\cos x-\sqrt{3}=0$ ؛ $I=[-\pi;2\pi].$ ب. $\sqrt{2}\sin x+1=0$ ؛ $I=[0;2\pi].$ ج. $\tan x=\sqrt{3}$ ؛ $I=[-\pi;\pi].$ د. $\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2}$ ؛ $I=[-\pi;\pi].$

2. حلّ في $\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]$ المتراجحة $\sqrt{3}\cos x-\sin x>\sqrt{2}.$

ليكن $x$ عدداً حقيقياً. نضع

1. احسب $A\left(\frac{\pi}{6}\right)$ و $A\left(\frac{\pi}{3}\right).$

2. بيّن أن

3. أ. حلّ في $\mathbb{R}$ المعادلة $A(x)=0.$ ب. استنتج الحلول على $]0;2\pi]$ ثم مثّلها على دائرة مثلثية.

4. حلّ في $]0;2\pi]$ المتراجحة $A(x)>0.$