Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الأولى باك علوم تجريبية

الدرس 02

المتتاليات العددية

تعريف المتتالية، التراجع، الحدّان الأعلى والأدنى والمحدودية، الرتابة، المتتاليات الحسابية والهندسية والمجموع.

سلسلة التمارين 02 — سلسلة تطبيقات: المتتاليات العددية

Ⅰ. عموميات حول المتتاليات

تعريف

ليكن pp عدداً صحيحاً طبيعياً. نضع I={n∈N/n≥p}.I=\{n\in\mathbb{N}/n\geq p\}. كل دالة عددية uu معرّفة على II تُسمّى متتالية عددية.

  • صورة العدد الصحيح nn من II بواسطة uu تُرمَز بـ un.u_n.
  • unu_n يُسمّى الحد العام للمتتالية u.u.
  • متتالية عددية uu تُرمَز بـ (un)n∈I(u_n)_{n\in I} أو (un)n≥p.(u_n)_{n\geq p}.
  • إذا كان I=NI=\mathbb{N}، تُرمَز uu بـ (un)(u_n) أو (un)n≥0.(u_n)_{n\geq 0}.
  • إذا كان I=N∗I=\mathbb{N}^{*}، تُرمَز uu بـ (un)n≥1.(u_n)_{n\geq 1}.
  • العدد الحقيقي upu_p هو الحد الأول للمتتالية (un)n≥p.(u_n)_{n\geq p}.

أمثلة

  • المتتالية (un)n≥0(u_n)_{n\geq 0} المعرفة بمضاعفات 44: لدينا u0=0u_0=0 و u1=4u_1=4 و u3=12.u_3=12.
  • 11 و 1010 و 100100 و 10001000 حدود من المتتالية (vn)n≥0(v_n)_{n\geq 0} حيث (∀n∈N) vn=10n.(\forall n\in\mathbb{N})\ v_n=10^{n}.
  • المتتالية ذات الحد العام wn=n−3w_n=\sqrt{n-3} معرّفة من أجل n≥3؛n\geq 3؛ نرمز لها بـ (wn)n≥3(w_n)_{n\geq 3} وحدّها الأول w3=0.w_3=0.

تطبيق ①

نعتبر المتتالية (un)(u_n) المعرفة بـ:

(∀n∈N∗): un=2+3n.(\forall n\in\mathbb{N}^{*}):\ u_n=2+\frac{3}{n}.
  1. احسب الحدود الثلاثة الأولى لـ (un).(u_n).
  1. احسب un+1u_n+1 و un+1u_{n+1} و u2nu_{2n} و u2n+1u_{2n+1} من أجل كل n∈N∗.n\in\mathbb{N}^{*}.
  1. أوجد الدليل nn بحيث un=4321.u_n=\frac{43}{21}.

ملاحظة

نميّز نوعين من المتتاليات العددية:

  • متتالية معرّفة صراحةً بحدّها العام: الحد العام دالة معروفة في العدد الصحيح n.n.
  • متتالية تراجعية: معرّفة بحدّها الأول وبعلاقة تسمح بحساب حدّ انطلاقاً من حدّ أو حدود سابقة.

مثال

نعتبر المتتاليات (un)(u_n) و (vn)(v_n) و (wn)(w_n) المعرفة على التوالي بـ:

{u0=2un+1=3un−1 (n∈N)\begin{cases}u_0=2\\ u_{n+1}=3u_n-1\ (n\in\mathbb{N})\end{cases}

،

{v0=2, v1=−1vn+2=2vn+1+vn (n∈N)\begin{cases}v_0=2,\ v_1=-1\\ v_{n+2}=2v_{n+1}+v_n\ (n\in\mathbb{N})\end{cases}

و (∀n∈N): wn=2n−4n.(\forall n\in\mathbb{N}):\ w_n=2n-\frac{4}{n}. المتتاليتان (un)(u_n) و (vn)(v_n) تراجعيتان بينما (wn)(w_n) معرّفة صراحةً بحدّها العام.

تطبيق ②

نعتبر المتتاليتين (un)(u_n) و (vn)(v_n) المعرّفتين على التوالي بـ

{u0=2un+1=un1+un (n∈N)\begin{cases}u_0=2\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\ (n\in\mathbb{N})\end{cases}

و

{v0=2, v1=−1vn+2=2vn+1+vn (n∈N).\begin{cases}v_0=2,\ v_1=-1\\ v_{n+2}=2v_{n+1}+v_n\ (n\in\mathbb{N})\end{cases}.
  1. احسب u1u_1 و u2u_2 و v3v_3 و v4.v_4.
  1. بيّن بالتراجع أن (∀n∈N): un=22n+1.(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_n=\frac{2}{2n+1}.

Ⅱ. الحدّان الأعلى والأدنى والمحدودية

تعريف

لتكن (un)n∈I(u_n)_{n\in I} متتالية عددية.

  • نقول إنها محدودة من فوق إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي MM بحيث (∀n∈I): un≤M.(\forall n\in I):\ u_n\leq M.
  • نقول إنها محدودة من تحت إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي mm بحيث (∀n∈I): un≥m.(\forall n\in I):\ u_n\geq m.
  • نقول إنها محدودة إذا كانت محدودة من فوق ومن تحت في آن واحد.
  • (un)n∈I(u_n)_{n\in I} محدودة إذا وفقط إذا وُجد M∈R+∗M\in\mathbb{R}_{+}^{*} بحيث (∀n∈I): ∣un∣≤M.(\forall n\in I):\ |u_n|\leq M.

تطبيق ③

نعتبر المتتالية (un)(u_n) المعرفة بـ

{u0=4un+1=4un−3un (∀n∈N).\begin{cases}u_0=4\\ u_{n+1}=\frac{4u_n-3}{u_n}\ (\forall n\in\mathbb{N})\end{cases}.

بيّن أن (∀n∈N): un≥3.(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_n\geq 3.

تطبيق ④

نعتبر المتتالية (un)(u_n) المعرفة بـ

{u0=0un+1=2un+1un+2 (∀n∈N).\begin{cases}u_0=0\\ u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+2}\ (\forall n\in\mathbb{N})\end{cases}.

بيّن أن (∀n∈N): 0≤un≤1.(\forall n\in\mathbb{N}):\ 0\leq u_n\leq 1.

مثال

نعتبر المتتالية (un)(u_n) المعرفة بـ un=2cos⁡(n2+2)+1u_n=2\cos(n^{2}+2)+1 من أجل كل n∈N.n\in\mathbb{N}. لدينا (∀n∈N): ∣un−1∣≤2(\forall n\in\mathbb{N}):\ |u_n-1|\leq 2 ومنه ∣un∣≤3؛|u_n|\leq 3؛ إذن (un)(u_n) محدودة.

Ⅲ. رتابة متتالية

تعريف

لتكن (un)n∈I(u_n)_{n\in I} متتالية عددية.

  • نقول إنها تزايدية إذا وفقط إذا كان (∀p,q∈I): p<q⇒up≤uq.(\forall p,q\in I):\ p<q\Rightarrow u_p\leq u_q.
  • نقول إنها تناقصية إذا وفقط إذا كان (∀p,q∈I): p<q⇒up≥uq.(\forall p,q\in I):\ p<q\Rightarrow u_p\geq u_q.
  • نقول إنها ثابتة إذا وفقط إذا كان (∀p,q∈I): up=uq.(\forall p,q\in I):\ u_p=u_q.

خاصية

لتكن (un)n∈I(u_n)_{n\in I} متتالية عددية.

  • (un)(u_n) تزايدية إذا وفقط إذا كان (∀n∈I): un+1≥un.(\forall n\in I):\ u_{n+1}\geq u_n.
  • (un)(u_n) تناقصية إذا وفقط إذا كان (∀n∈I): un+1≤un.(\forall n\in I):\ u_{n+1}\leq u_n.
  • (un)(u_n) ثابتة إذا وفقط إذا كان (∀n∈I): un+1=un.(\forall n\in I):\ u_{n+1}=u_n.

مثال

  • لتكن (xn)(x_n) المعرفة بـ (∀n∈N): xn=2n−3.(\forall n\in\mathbb{N}):\ x_n=2n-3. لدينا xn+1−xn=2>0؛x_{n+1}-x_n=2>0؛ إذن (xn)(x_n) تزايدية قطعاً.
  • لتكن (yn)(y_n) المعرفة بـ
(∀n∈N): yn=5(23)n.(\forall n\in\mathbb{N}):\ y_n=5\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.

لدينا yn+1−yn<0؛y_{n+1}-y_n<0؛ إذن (yn)(y_n) تناقصية قطعاً.

تطبيق ⑤

ادرس رتابة المتتالية (un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}} في الحالات التالية: ① un=3n+1u_n=\frac{3}{n+1} ؛ ② un=n2+2nu_n=n^{2}+2n ؛ ③ un=n+1u_n=\sqrt{n+1} ؛ ④ un=(−1)n.u_n=(-1)^{n}.

خاصية

لتكن (un)n≥p(u_n)_{n\geq p} متتالية عددية.

  • إذا كانت تزايدية فإن (∀n≥p): un≥up.(\forall n\geq p):\ u_n\geq u_p.
  • إذا كانت تناقصية فإن (∀n≥p): un≤up.(\forall n\geq p):\ u_n\leq u_p.

تطبيق ⑥

لتكن (un)(u_n) المعرفة بـ

{u0=6un+1=4−3un (∀n∈N).\begin{cases}u_0=6\\ u_{n+1}=4-\frac{3}{u_n}\ (\forall n\in\mathbb{N})\end{cases}.
  1. احسب u1u_1 و u2.u_2.
  1. بيّن أن (∀n∈N): un>3.(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_n>3.
  1. أ. بيّن أن
(∀n∈N): un+1−un=(1−un)(un−3)un.(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_{n+1}-u_n=\frac{(1-u_n)(u_n-3)}{u_n}.

ب. ادرس رتابة (un).(u_n). ج. استنتج أن (∀n∈N): un≤6.(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_n\leq 6.

تطبيق ⑦

لتكن (vn)(v_n) المعرفة بـ

{v0=3vn+1=12(vn+4vn) (∀n∈N).\begin{cases}v_0=3\\ v_{n+1}=\frac{1}{2}\left(v_n+\frac{4}{v_n}\right)\ (\forall n\in\mathbb{N})\end{cases}.
  1. احسب v1v_1 و v2.v_2.
  1. بيّن أن (vn)(v_n) محدودة من تحت بالعدد 2.2.
  1. ادرس رتابة (vn).(v_n).
  1. استنتج أن (vn)(v_n) محدودة من فوق بالعدد 3.3.

Ⅳ. المتتاليات الحسابية

تعريف

لتكن (un)n∈I(u_n)_{n\in I} متتالية عددية. نقول إنها حسابية إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي rr بحيث (∀n∈I): un+1=un+r.(\forall n\in I):\ u_{n+1}=u_n+r. العدد rr يُسمّى أساس المتتالية. لمعرفة هل متتالية حسابية، نحسب الفرق un+1−un؛u_{n+1}-u_n؛ إذا كان ثابتاً مستقلاً عن nn فهي حسابية أساسه ذلك الثابت.

تطبيق ⑧

لتكن (un)(u_n) المعرفة بـ

{u0=5un+1=2un−1un (∀n∈N).\begin{cases}u_0=5\\ u_{n+1}=\frac{2u_n-1}{u_n}\ (\forall n\in\mathbb{N})\end{cases}.

نضع (∀n∈N): vn=1un−1.(\forall n\in\mathbb{N}):\ v_n=\frac{1}{u_n-1}. بيّن أن (vn)(v_n) متتالية حسابية، وحدّد أساسها وحدّها الأول.

خاصية — الحد العام

إذا كانت (un)n∈I(u_n)_{n\in I} حسابية أساسها rr وحدّها الأول upu_p، فإن un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)r من أجل كل n≥p.n\geq p. خصوصاً: إذا كان p=0p=0 فإن un=u0+nr؛u_n=u_0+nr؛ وإذا كان p=1p=1 فإن un=u1+(n−1)r.u_n=u_1+(n-1)r.

تطبيق ⑨

لتكن (un)(u_n) متتالية حسابية بحيث u1=5u_1=5 و r=2.r=2.

  1. احسب u5u_5 و u10u_{10} و u100.u_{100}.
  1. حدّد الحد العام للمتتالية (un).(u_n).
  1. هل 203203 حدّ من حدود المتتالية (un)؟(u_n)؟

خاصية — مجموع حدود متتابعة

إذا كانت (un)(u_n) حسابية، فإن من أجل كل n,p∈Nn,p\in\mathbb{N} مع p≤np\leq n:

Sn=up+up+1+⋯+un=(n−p+1)un+up2.S_n=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=(n-p+1)\frac{u_n+u_p}{2}.
  • upu_p: الحد الأول للمجموع.
  • (n−p+1)(n-p+1): عدد الحدود.

تطبيق ⑩

لتكن (vn)(v_n) متتالية حسابية بحيث v3=2v_3=2 و v7=14.v_7=14.

  1. حدّد الأساس rr والحد الأول v0.v_0.
  1. عبّر عن vnv_n بدلالة n.n.
  1. احسب المجموع S=v4+v5+v6+⋯+v25.S=v_4+v_5+v_6+\cdots+v_{25}.

تطبيق ⑪

لتكن (un)(u_n) المعرفة بـ

{u0=2un+1=5un−1un+3 (∀n∈N).\begin{cases}u_0=2\\ u_{n+1}=\frac{5u_n-1}{u_n+3}\ (\forall n\in\mathbb{N})\end{cases}.

نضع (∀n∈N): vn=1un−1.(\forall n\in\mathbb{N}):\ v_n=\frac{1}{u_n-1}.

  1. بيّن أن (∀n∈N): un>1.(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_n>1.
  1. ادرس رتابة (un).(u_n).
  1. بيّن أن (vn)(v_n) حسابية، وحدّد أساسها وحدّها الأول.
  1. عبّر عن vnv_n ثم عن unu_n بدلالة n.n.
  1. احسب المجموع S=v0+v1+v2+⋯+vn.S=v_0+v_1+v_2+\cdots+v_n.

Ⅴ. المتتاليات الهندسية

تعريف

لتكن (un)n∈I(u_n)_{n\in I} متتالية عددية. نقول إنها هندسية إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي qq بحيث (∀n∈I): un+1=qun.(\forall n\in I):\ u_{n+1}=qu_n. العدد qq يُسمّى أساس المتتالية.

تطبيق ⑫

لتكن (un)(u_n) المعرفة بـ

{u0=−2un+1=23un−1 (∀n∈N).\begin{cases}u_0=-2\\ u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n-1\ (\forall n\in\mathbb{N})\end{cases}.

نضع (∀n∈N): vn=un+3.(\forall n\in\mathbb{N}):\ v_n=u_n+3. بيّن أن (vn)(v_n) هندسية، وحدّد أساسها وحدّها الأول.

خاصية — الحد العام

إذا كانت (un)n∈I(u_n)_{n\in I} هندسية أساسها qq وحدّها الأول upu_p، فإن un=up×qn−pu_n=u_p\times q^{n-p} من أجل كل n≥p.n\geq p. خصوصاً: إذا كان p=0p=0 فإن un=u0×qn؛u_n=u_0\times q^{n}؛ وإذا كان p=1p=1 فإن un=u1×qn−1.u_n=u_1\times q^{n-1}.

تطبيق ⑬

لتكن (vn)(v_n) متتالية هندسية أساسها q=2q=2 وحدّها الأول v1=5.v_1=5.

  1. احسب v4.v_4.
  1. عبّر عن vnv_n بدلالة n.n.

خاصية — مجموع حدود متتابعة

إذا كانت (un)(u_n) هندسية أساسها qq، فإن من أجل p≤np\leq n: Sn=up+up+1+⋯+un.S_n=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n.

  • إذا كان q≠1q\neq 1 فإن Sn=up1−qn−p+11−q.S_n=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}.
  • إذا كان q=1q=1 فإن Sn=(n−p+1)up.S_n=(n-p+1)u_p. ولكل q∈R∗∖{1}q\in\mathbb{R}^{*}\setminus\{1\}: 1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q.1+q+q^{2}+\cdots+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.

تطبيق ⑭

لتكن (un)(u_n) متتالية هندسية بحيث q=3q=3 و u4=12.u_4=12. احسب المجموع S=u4+u5+u6+⋯+u2006.S=u_4+u_5+u_6+\cdots+u_{2006}.

تطبيق ⑮

لتكن (un)(u_n) المعرفة بـ

{u0=0un+1=2un+3un+4 (∀n∈N).\begin{cases}u_0=0\\ u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}\ (\forall n\in\mathbb{N})\end{cases}.

نضع

(∀n∈N): vn=un−1un+3.(\forall n\in\mathbb{N}):\ v_n=\frac{u_n-1}{u_n+3}.
  1. بيّن أن (∀n∈N): 0<un<1.(\forall n\in\mathbb{N}):\ 0<u_n<1.
  1. استنتج رتابة المتتالية (un).(u_n).
  1. بيّن أن (vn)(v_n) هندسية، وحدّد أساسها وحدّها الأول.
  1. عبّر عن vnv_n ثم عن unu_n بدلالة n.n.
  1. احسب المجموع S=v0+v1+v2+⋯+vn.S=v_0+v_1+v_2+\cdots+v_n.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ