سلسلة تطبيقات: المتتاليات العددية

1. أكمل برقمين يتوافقان مع متتالية كل من اللوائح التالية: أ. $0,\ 3,\ 6,\ 9,\ \ldots$ ب. $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \ldots$ ج. $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

2. ما هي العلاقة المعتمدة في كل لائحة للانتقال من حدّ إلى الحدّ الذي يليه؟

لتكن المتتالية $(u_n)$ المعرفة بـ:

1. احسب الحدود الثلاثة الأولى لـ $(u_n).$

2. احسب $u_n+1$ و $u_{n+1}$ و $u_{2n}$ و $u_{2n+1}$ من أجل كل $n\in\mathbb{N}^{*}.$

3. أوجد الدليل $n$ بحيث $u_n=\frac{43}{21}.$

نعتبر المتتاليتين $(u_n)$ و $(v_n)$ المعرّفتين على التوالي بـ

و

1. احسب $u_1$ و $u_2$ و $v_3$ و $v_4.$

2. بيّن بالتراجع أن $(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_n=\frac{2}{2n+1}.$

لتكن المتتالية $(u_n)$ المعرفة بـ $u_n=\frac{n+4}{n+1}$ من أجل كل $n\in\mathbb{N}.$

1. بيّن أن $u_n\leq 4$ من أجل كل $n\in\mathbb{N}.$

2. بيّن أن $u_n\geq 1$ من أجل كل $n\in\mathbb{N}.$

3. استنتج أن $1\leq u_n\leq 4$ من أجل كل $n\in\mathbb{N}.$

نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة بـ

بيّن أن $(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_n\geq 3.$

نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة بـ

بيّن أن $(\forall n\in\mathbb{N}):\ 0\leq u_n\leq 1.$

ادرس رتابة المتتالية $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ في الحالات التالية: ① $u_n=\frac{3}{n+1}$ ؛ ② $u_n=n^{2}+2n$ ؛ ③ $u_n=\sqrt{n+1}$ ؛ ④ $u_n=(-1)^{n}.$

لتكن $(u_n)$ المعرفة بـ

1. احسب $u_1$ و $u_2.$

2. بيّن أن $(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_n>3.$

3. أ. بيّن أن

ب. ادرس رتابة $(u_n).$ ج. استنتج أن $(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_n\leq 6.$

لتكن $(v_n)$ المعرفة بـ

1. احسب $v_1$ و $v_2.$

2. بيّن أن $(v_n)$ محدودة من تحت بالعدد $2.$

3. ادرس رتابة $(v_n).$

4. استنتج أن $(v_n)$ محدودة من فوق بالعدد $3.$

لتكن المتتالية $(u_n)$ المعرفة بـ $u_n=3n+2$ من أجل كل $n\in\mathbb{N}.$

1. تحقّق من أن $u_1=u_0+3$ و $u_2=u_1+3$ و $u_3=u_2+3.$

2. بيّن أن $(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_{n+1}=u_n+3.$

لتكن $(u_n)$ المعرفة بـ

نضع $(\forall n\in\mathbb{N}):\ v_n=\frac{1}{u_n-1}.$ بيّن أن $(v_n)$ متتالية حسابية، وحدّد أساسها وحدّها الأول.

لتكن $(u_n)$ متتالية حسابية بحيث $u_1=5$ و $r=2.$

1. احسب $u_5$ و $u_{10}$ و $u_{100}.$

2. حدّد الحد العام للمتتالية $(u_n).$

3. هل $203$ حدّ من حدود المتتالية $(u_n)؟$

لتكن $(v_n)$ متتالية حسابية بحيث $v_3=2$ و $v_7=14.$

1. حدّد الأساس $r$ والحد الأول $v_0.$

2. عبّر عن $v_n$ بدلالة $n.$

3. احسب المجموع $S=v_4+v_5+v_6+\cdots+v_{25}.$

لتكن $(u_n)$ المعرفة بـ

نضع $(\forall n\in\mathbb{N}):\ v_n=\frac{1}{u_n-1}.$

1. بيّن أن $(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_n>1.$

2. ادرس رتابة $(u_n).$

3. بيّن أن $(v_n)$ حسابية، وحدّد أساسها وحدّها الأول.

4. عبّر عن $v_n$ ثم عن $u_n$ بدلالة $n.$

5. احسب المجموع $S=v_0+v_1+v_2+\cdots+v_n.$

نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة بـ $u_n=3\times 2^{n}$ من أجل كل $n\in\mathbb{N}.$

1. تحقّق من أن $u_1=2u_0$ و $u_2=2u_1$ و $u_3=2u_2.$

2. بيّن أن $(\forall n\in\mathbb{N}):\ u_{n+1}=2u_n.$

لتكن $(u_n)$ المعرفة بـ

نضع $(\forall n\in\mathbb{N}):\ v_n=u_n+3.$ بيّن أن $(v_n)$ هندسية، وحدّد أساسها وحدّها الأول.

لتكن $(v_n)$ متتالية هندسية أساسها $q=2$ وحدّها الأول $v_1=5.$

1. احسب $v_4.$

2. عبّر عن $v_n$ بدلالة $n.$

لتكن $(u_n)$ متتالية هندسية بحيث $q=3$ و $u_4=12.$ احسب المجموع $S=u_4+u_5+u_6+\cdots+u_{2006}.$

لتكن $(u_n)$ المعرفة بـ

نضع

1. بيّن أن $(\forall n\in\mathbb{N}):\ 0<u_n<1.$

2. استنتج رتابة المتتالية $(u_n).$

3. بيّن أن $(v_n)$ هندسية، وحدّد أساسها وحدّها الأول.

4. عبّر عن $v_n$ ثم عن $u_n$ بدلالة $n.$

5. احسب المجموع $S=v_0+v_1+v_2+\cdots+v_n.$