Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الأولى باك علوم تجريبية

الدرس 09

الدوران في المستوى

تعريف الدوران والدوران العكسي، والحفاظ على المسافات والزوايا الموجّهة والمرجح والمنتصف والاستقامية وصور الأشكال.

سلسلة التمارين 09 — سلسلة تطبيقات: الدوران في المستوى

Ⅰ. الدوران والدوران العكسي

  1. تعاريف

تعريف

لتكن Ω\Omega نقطة من المستوى الموجّه في المنحى المباشر و α\alpha عدداً حقيقياً. الدوران الذي مركزه Ω\Omega وزاويته α\alpha هو التحويل للمستوى الذي يربط بكل نقطة MM من المستوى النقطة M′M' المعرّفة بـ:

  • إذا كان M=ΩM=\Omega، فإن M′=Ω.M'=\Omega.
  • إذا كان M≠ΩM\neq\Omega، فإن
{ΩM=ΩM′(ΩM→;ΩM′→^)≡α[2π].\begin{cases}\Omega M=\Omega M'\\(\widehat{\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'}})\equiv\alpha[2\pi]\end{cases}.

نرمز إليه بـ r(Ω,α).r(\Omega,\alpha).

دوران مركزه $\Omega$ يحوّل $M$ إلى $M'$ بزاوية $\alpha$

مثال

ABCABC مثلث متساوي الأضلاع و II منتصف القطعة [BC].[BC].

  • لدينا r1(A)=Br_1(A)=B بحيث r1=r ⁣(C,π3).r_1=r\!\left(C,\frac{\pi}{3}\right).
  • لدينا r2(C)=Br_2(C)=B بحيث r2=r ⁣(A,−π3).r_2=r\!\left(A,-\frac{\pi}{3}\right).
  • لدينا r3(C)=Ar_3(C)=A بحيث r3=r ⁣(B,π3).r_3=r\!\left(B,\frac{\pi}{3}\right).
  • لدينا r4(B)=Cr_4(B)=C بحيث r4=r(I,π).r_4=r(I,\pi).
مثلث متساوي الأضلاع $ABC$ مع منتصف $I$ ودورانات حول الرؤوس

نتائج

ليكن rr الدوران الذي مركزه Ω\Omega وزاويته α\alpha، ولتكن MM و M′M' نقطتين من المستوى بحيث r(M)=M′.r(M)=M'.

  • إذا كان α≠2kπ\alpha\neq 2k\pi حيث k∈Zk\in\mathbb{Z}، فإن المثلث MΩM′M\Omega M' متساوي الساقين رأسه Ω\Omega والعمود المنصف للقطعة [MM′][MM'] يمر من Ω.\Omega.
  • إذا كان α≡π[2π]\alpha\equiv\pi[2\pi]، فإن الدوران هو التماثل المركزي الذي مركزه Ω.\Omega.
  • إذا كان α≡0[2π]\alpha\equiv 0[2\pi]، فإن (∀M∈(P)):r(M)=M.(\forall M\in(P)):r(M)=M. نقول إن جميع نقط المستوى صامدة بـ r.r.
  • إذا كان α≠2kπ\alpha\neq 2k\pi حيث k∈Zk\in\mathbb{Z}، فإن Ω\Omega مركز الدوران rr هو النقطة الصامدة الوحيدة بهذا الدوران.

  1. الدوران العكسي

مربع $ABCD$ مركزه $O$ ودورانان بزاويتي $\dfrac{\pi}{2}$ و $-\dfrac{\pi}{2}$

تعريف

الدوران r(Ω,−α)r(\Omega,-\alpha) الذي مركزه Ω\Omega وزاويته −α-\alpha يُسمّى الدوران العكسي للدوران r(Ω,α)r(\Omega,\alpha) الذي مركزه Ω\Omega وزاويته α\alpha، ونرمز إليه بـ r−1.r^{-1}.

ملاحظة

من أجل كل نقطة MM من المستوى لدينا: r(M)=M′  ⟺  r−1(M′)=M.r(M)=M'\iff r^{-1}(M')=M.

Ⅱ. الخصائص

  1. الدوران والمسافة

خاصية

إذا كانت AA و BB نقطتين من المستوى و A′A' و B′B' صورتيهما على التوالي بدوران rr، فإن AB=A′B′.AB=A'B'. نقول إن الدوران يحافظ على المسافة (فهو تقايس).

تطبيق ①

نعتبر مثلثاً ABC.ABC. ننشئ خارج هذا المثلث مثلثين MABMAB و NACNAC متساويي الأضلاع. أثبت أن MC=NB.MC=NB.

  1. الدوران والزاوية الموجّهة

خاصية

ليكن rr دوراناً زاويته α.\alpha. إذا كانت A′A' و B′B' صورتي نقطتين متمايزتين AA و BB على التوالي بالدوران rr، فإن (AB→;A′B′→^)≡α[2π].(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{A'B'}})\equiv\alpha[2\pi].

ملاحظة

تسمح لنا هذه الخاصية بتحديد زاوية دوران انطلاقاً من نقطتين متمايزتين وصورتيهما.

تطبيق ②

OABOAB و OCDOCD مثلثان قائمان ومتساويا الساقين في الرأس المشترك OO بحيث

(OA→;OB→^)≡π2[2π](\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi]

و

(OC→;OD→^)≡π2[2π].(\widehat{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OD}})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi].

بيّن أن AC=BDAC=BD و (AC)⊥(BD).(AC)\perp(BD).

خاصية

لتكن AA و BB و CC و DD أربع نقط من المستوى بحيث A≠BA\neq B و C≠D.C\neq D. إذا كانت A′A' و B′B' و C′C' و D′D' صورها على التوالي بدوران rr، فإن

(AB→;CD→^)≡(A′B′→;C′D′→^)[2π].(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}})\equiv(\widehat{\overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{C'D'}})[2\pi].

نقول إن الدوران يحافظ على قياسات الزوايا الموجّهة.

تطبيق ③

ABCABC مثلث متساوي الأضلاع بحيث

(AB→;AC→^)≡π3[2π].(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv\frac{\pi}{3}[2\pi].

ننشئ خارج هذا المثلث متوازي أضلاع BCDE.BCDE. نعتبر الدوران rr الذي مركزه AA وزاويته π3.\frac{\pi}{3}.

  1. أنشئ النقطة FF صورة EE بالدوران rr، ثم بيّن أن CFDCFD مثلث متساوي الأضلاع.
  1. بيّن أن
(BE→;BA→^)≡(CF→;CA→^)[2π].(\widehat{\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BA}})\equiv(\widehat{\overrightarrow{CF};\overrightarrow{CA}})[2\pi].
  1. ماذا يمكن القول عن النقطة FF إذا انتمت EE إلى (AB)؟(AB)؟

  1. الدوران والمرجح

خاصية

ليكن GG مرجح النقطتين الموزونتين (A;α)(A;\alpha) و (B;β).(B;\beta). إذا كانت A′A' و B′B' و G′G' صور AA و BB و GG على التوالي بدوران rr، فإن G′G' هو مرجح النقطتين الموزونتين (A′;α)(A';\alpha) و (B′;β).(B';\beta). نقول إن الدوران يحافظ على مرجح نقطتين موزونتين.

ملاحظة

يمكن تعميم هذه الخاصية إلى مرجح ثلاث أو أربع نقط موزونة.

تطبيق ④

ليكن ABCABC مثلثاً و DD نقطة بحيث D=bar{(B;1),(C;2)}.D=\mathrm{bar}\{(B;1),(C;2)\}. ليكن rr الدوران الذي مركزه AA وزاويته π2.\frac{\pi}{2}.

  1. أنشئ النقط B′B' و C′C' و D′D' صور BB و CC و DD على التوالي.
  1. بيّن أن النقط B′B' و C′C' و D′D' مستقيمية.

نتيجة

ليكن II منتصف قطعة [AB].[AB]. إذا كانت A′A' و B′B' و I′I' صور AA و BB و II على التوالي بدوران rr، فإن I′I' منتصف القطعة [A′B′].[A'B']. نقول إن الدوران يحافظ على منتصف قطعة.

خاصية

لتكن AA و BB و CC نقطاً من المستوى و A′A' و B′B' و C′C' صورها على التوالي بدوران r.r. إذا كان AC→=kAB→\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB} حيث kk عدد حقيقي، فإن A′C′→=kA′B′→.\overrightarrow{A'C'}=k\overrightarrow{A'B'}. نقول إن الدوران يحافظ على معامل استقامية متجهين، أو إن الدوران يحافظ على استقامية النقط.

تطبيق ⑤

ABCABC مثلث و MM نقطة بحيث AM→=23AC→.\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. ليكن rr الدوران الذي مركزه BB وزاويته π2.\frac{\pi}{2}.

  1. أنشئ النقط A′A' و C′C' و M′M' صور AA و CC و MM على التوالي بالدوران r.r.
  1. بيّن أن النقط A′A' و C′C' و M′M' مستقيمية.

تمرين ①

ABCABC مثلث قائم ومتساوي الساقين في AA بحيث

(AB→;AC→^)≡π2[2π].(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi].

ليكن II منتصف القطعة [BC].[BC]. EE و FF نقطتان من المستوى بحيث AE→=23AC→\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} و BF→=23BA→.\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}. نعتبر الدوران الذي مركزه II وزاويته π2.\frac{\pi}{2}. بيّن أن المثلث EIFEIF قائم ومتساوي الساقين في I.I.

Ⅲ. صور بعض الأشكال بدوران

خاصية

ليكن rr دوراناً و AA و BB و OO و A′A' و B′B' و O′O' نقطاً من المستوى بحيث A≠BA\neq B و r(A)=A′r(A)=A' و r(B)=B′r(B)=B' و r(O)=O′.r(O)=O'.

  • صورة المستقيم (AB)(AB) هي المستقيم (A′B′).(A'B').
  • صورة القطعة [AB][AB] هي القطعة [A′B′].[A'B'].
  • صورة نصف المستقيم [AB)[AB) هي نصف المستقيم [A′B′).[A'B').
  • صورة الدائرة C(O;R)\mathcal{C}(O;R) التي مركزها OO ونصف قطرها RR هي الدائرة C′(O′;R)\mathcal{C}'(O';R) التي مركزها O′O' ونصف قطرها R.R.

نتائج

  • صورتا مستقيمين متعامدين هما مستقيمان متعامدان.
  • صورتا مستقيمين متوازيين هما مستقيمان متوازيان.
  • إذا كانت MM نقطة تقاطع مستقيمين (D)(D) و (Δ)(\Delta)، فإن صورة MM بالدوران rr هي نقطة تقاطع صورتي (D)(D) و (Δ)(\Delta) بالدوران r.r.

تطبيق ⑥

ABCDABCD مربع بحيث

(AB→;AD→^)≡π2[2π].(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi].

لتكن EE نقطة من القطعة [BC][BC] مغايرة لـ BB و C؛C؛ و FF نقطة تقاطع المستقيم (DC)(DC) والمستقيم العمودي على (AE)(AE) في A.A. ليكن rr الدوران الذي مركزه AA وزاويته π2.\frac{\pi}{2}.

  1. حدّد صورتي المستقيمين (BC)(BC) و (AE).(AE).
  1. استنتج صورة النقطة EE بالدوران r.r.

تطبيق ⑦

ليكن ABCABC مثلثاً قائماً ومتساوي الساقين في AA بحيث

(AB→;AC→^)≡π2[2π].(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi].

ليكن II منتصف القطعة [BC].[BC]. نعتبر الدوران rr الذي مركزه II وزاويته π2.\frac{\pi}{2}. لتكن (C)(\mathcal{C}) الدائرة التي مركزها CC وتمر من النقطة I.I.

  1. أنشئ (C′)(\mathcal{C}') صورة الدائرة (C)(\mathcal{C}) بالدوران r.r.
  1. تقطع الدائرة (C)(\mathcal{C}) القطعة [AC][AC] في نقطة EE وتقطع الدائرة (C′)(\mathcal{C}') القطعة [AB][AB] في نقطة F.F. بيّن أن r(E)=F.r(E)=F.

تمرين ②

ليكن ABCDABCD مربعاً مركزه OO بحيث

(AB→;AD→^)≡π2[2π].(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi].

لتكن II و JJ نقطتين بحيث AI→=32AB→\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} و BJ→=32BC→.\overrightarrow{BJ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}. يقطع المستقيمان (IC)(IC) و (JD)(JD) على التوالي (BD)(BD) و (AC)(AC) في MM و N.N. نعتبر الدوران rr الذي مركزه OO وزاويته π2.\frac{\pi}{2}.

  1. حدّد r(A)r(A) و r(B).r(B).
  1. أ. بيّن أن II مرجح النقطتين الموزونتين (A;1)(A;1) و (B;−3).(B;-3). ب. بيّن أن r(I)=J.r(I)=J.
  1. أ. حدّد صورة كل من المستقيمين (BD)(BD) و (IC).(IC). ب. استنتج أن r(M)=N.r(M)=N.
  1. أ. بيّن أن IM=JN.IM=JN. ب. بيّن أن (CM)⊥(DN).(CM)\perp(DN).

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ