سلسلة تطبيقات: الدوران في المستوى

لتكن $\Omega$ و $A$ نقطتين من المستوى الموجّه المباشر، و $\alpha$ عدداً حقيقياً بحيث $\alpha\equiv\frac{\pi}{4}[2\pi].$

أنشئ النقطة $A'$ بحيث

نعتبر $ABCD$ مربعاً مركزه $O$ بحيث

نعتبر $r_1$ و $r_2$ الدورانين اللذين مركزهما $O$ وزاويتاهما على التوالي $\frac{\pi}{2}$ و $-\frac{\pi}{2}.$

1. أنشئ شكلاً مناسباً.

2. انسخ واملأ الجدول التالي:

• $r_1(A)=\ldots$
• $r_1(B)=\ldots$
• $r_1(C)=\ldots$
• $r_1(D)=\ldots$
• $r_2(D)=\ldots$
• $r_2(C)=\ldots$
• $r_2(B)=\ldots$
• $r_2(A)=\ldots$

$ABC$ مثلث. ننشئ خارج هذا المثلث مثلثين $MAB$ و $NAC$ متساويي الأضلاع. أثبت أن $MC=NB.$

$OAB$ و $OCD$ مثلثان قائمان ومتساويا الساقين في الرأس المشترك $O$ بحيث

و

بيّن أن $AC=BD$ و $(AC)\perp(BD).$

$ABC$ مثلث متساوي الأضلاع بحيث

ننشئ خارج هذا المثلث متوازي أضلاع $BCDE.$ نعتبر الدوران $r$ الذي مركزه $A$ وزاويته $\frac{\pi}{3}.$

1. أنشئ النقطة $F$ صورة $E$ بالدوران $r$، ثم بيّن أن $CFD$ مثلث متساوي الأضلاع.

2. بيّن أن

3. ماذا يمكن القول عن النقطة $F$ إذا انتمت $E$ إلى $(AB)؟$

ليكن $ABC$ مثلثاً و $D$ نقطة بحيث $D=\mathrm{bar}\{(B;1),(C;2)\}.$ ليكن $r$ الدوران الذي مركزه $A$ وزاويته $\frac{\pi}{2}.$

1. أنشئ النقط $B'$ و $C'$ و $D'$ صور $B$ و $C$ و $D$ على التوالي.

2. بيّن أن النقط $B'$ و $C'$ و $D'$ مستقيمية.

$ABC$ مثلث و $M$ نقطة بحيث $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$ ليكن $r$ الدوران الذي مركزه $B$ وزاويته $\frac{\pi}{2}.$

1. أنشئ النقط $A'$ و $C'$ و $M'$ صور $A$ و $C$ و $M$ على التوالي بالدوران $r.$

2. بيّن أن النقط $A'$ و $C'$ و $M'$ مستقيمية.

$ABC$ مثلث قائم ومتساوي الساقين في $A$ بحيث

ليكن $I$ منتصف القطعة $[BC].$ $E$ و $F$ نقطتان من المستوى بحيث $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ و $\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}.$ نعتبر الدوران الذي مركزه $I$ وزاويته $\frac{\pi}{2}.$ بيّن أن المثلث $EIF$ قائم ومتساوي الساقين في $I.$

$ABCD$ مربع بحيث

لتكن $E$ نقطة من القطعة $[BC]$ مغايرة لـ $B$ و $C؛$ و $F$ نقطة تقاطع المستقيم $(DC)$ والمستقيم العمودي على $(AE)$ في $A.$ ليكن $r$ الدوران الذي مركزه $A$ وزاويته $\frac{\pi}{2}.$

1. حدّد صورتي المستقيمين $(BC)$ و $(AE).$

2. استنتج صورة النقطة $E$ بالدوران $r.$

ليكن $ABC$ مثلثاً قائماً ومتساوي الساقين في $A$ بحيث

ليكن $I$ منتصف القطعة $[BC].$ نعتبر الدوران $r$ الذي مركزه $I$ وزاويته $\frac{\pi}{2}.$ لتكن $(\mathcal{C})$ الدائرة التي مركزها $C$ وتمر من النقطة $I.$

1. أنشئ $(\mathcal{C}')$ صورة الدائرة $(\mathcal{C})$ بالدوران $r.$

2. تقطع الدائرة $(\mathcal{C})$ القطعة $[AC]$ في نقطة $E$ وتقطع الدائرة $(\mathcal{C}')$ القطعة $[AB]$ في نقطة $F.$ بيّن أن $r(E)=F.$

ليكن $ABCD$ مربعاً مركزه $O$ بحيث

لتكن $I$ و $J$ نقطتين بحيث $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{BJ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}.$ يقطع المستقيمان $(IC)$ و $(JD)$ على التوالي $(BD)$ و $(AC)$ في $M$ و $N.$ نعتبر الدوران $r$ الذي مركزه $O$ وزاويته $\frac{\pi}{2}.$

1. حدّد $r(A)$ و $r(B).$

2. أ. بيّن أن $I$ مرجح النقطتين الموزونتين $(A;1)$ و $(B;-3).$ ب. بيّن أن $r(I)=J.$

3. أ. حدّد صورة كل من المستقيمين $(BD)$ و $(IC).$ ب. استنتج أن $r(M)=N.$

4. أ. بيّن أن $IM=JN.$ ب. بيّن أن $(CM)\perp(DN).$