Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الأولى باك علوم تجريبية

الدرس 07

التمثيل المبياني لدالة

فروع لانهائية، مقاربات عمودية وأفقية ومائلة، فرع قطع مكافئ، التقعر ونقطة الانعطاف، وعناصر التماثل.

سلسلة التمارين 07 — سلسلة تطبيقات وتمارين: التمثيل المبياني لدالة

في كل هذا الفصل، المستوي مزوّد بمعلم متعامد (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

Ⅰ. فروع لانهائية — مستقيم مقارب عمودي وأفقي

تعريف

لتكن ff دالة عددية و (Cf)(C_{f}) منحناها التمثيلي. نقول إن (Cf)(C_{f}) يقبل فرعاً لانهائياً إذا آل أحد إحداثيّي نقطة من (Cf)(C_{f}) إلى اللانهاية.

  1. مستقيم مقارب عمودي — مستقيم مقارب أفقي

منحنى $f(x)=\dfrac{x}{x-2}$ مع مقارب عمودي $x=2$ ومقارب أفقي $y=1$

تعريف

لتكن ff دالة عددية و aa و bb عددين حقيقيين.

  • إذا كان lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\infty أو lim⁡x→a−f(x)=∞\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\infty، نقول إن المستقيم ذا المعادلة x=ax=a مقارب عمودي للمنحنى (Cf).(C_{f}).
  • إذا كان lim⁡x→∞f(x)=b\lim_{x\to\infty}f(x)=b، نقول إن المستقيم ذا المعادلة y=by=b مقارب أفقي للمنحنى (Cf)(C_{f}) بجوار ∞.\infty.

مثال

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ f(x)=3x2+x−2x2−4.f(x)=\frac{3x^{2}+x-2}{x^{2}-4}.

  • لدينا
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+3x2+x−2x2−4=+∞\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{3x^{2}+x-2}{x^{2}-4}=+\infty

إذن (Cf)(C_{f}) يقبل مقارباً عمودياً معادلته x=2.x=2.

  • ولدينا
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3x2+x−2x2−4=lim⁡x→+∞3x2x2=3.\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2}+x-2}{x^{2}-4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2}}{x^{2}}=3.

إذن (Cf)(C_{f}) يقبل مقارباً أفقياً معادلته y=3y=3 بجوار +∞.+\infty.

تطبيق ①

نعتبر ff و gg دالتين معرّفتين على التوالي بـ f(x)=5+xx2+3f(x)=5+\frac{x}{x^{2}+3} و g(x)=x+1(x−4)2.g(x)=\frac{x+1}{(x-4)^{2}}.

  1. احسب نهايتي ff بجوار −∞-\infty و +∞.+\infty. فسّر النتيجتين مبيانياً.
  1. بيّن أن المستقيم ذا المعادلة x=4x=4 مقارب عمودي لمنحنى g.g.

تطبيق ②

نعتبر ff دالة معرّفة بجدول تغيّراتها التالي:

  • lim⁡x→−∞f(x)=1\lim_{x\to-\infty}f(x)=1 و lim⁡x→0−f(x)=+∞\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty و lim⁡x→0+f(x)=+∞.\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty.
  • lim⁡x→2−f(x)=−∞\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty و lim⁡x→2+f(x)=+∞\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty و lim⁡x→+∞f(x)=1.\lim_{x\to+\infty}f(x)=1.

حدّد المقاربات المحتملة للمنحنى (Cf).(C_{f}).

Ⅱ. مستقيم مقارب مائل

في هذا الفقرة، ff دالة تقبل نهاية لانهائية بجوار ∞.\infty.

منحنى $f(x)=\dfrac{x^{2}}{2x+3}$ مع مقارب مائل $y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{4}$

تعريف

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث (a≠0).(a\neq 0). إذا كان lim⁡x→+∞(f(x)−(ax+b))=0\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(ax+b)\bigr)=0 (على التوالي lim⁡x→−∞(f(x)−(ax+b))=0\lim_{x\to-\infty}\bigl(f(x)-(ax+b)\bigr)=0)، نقول إن المستقيم ذا المعادلة y=ax+by=ax+b مقارب مائل لمنحنى ff بجوار +∞+\infty (على التوالي −∞-\infty).

خاصية

المستقيم ذو المعادلة y=ax+by=ax+b مقارب مائل للمنحنى (Cf)(C_{f}) بجوار +∞+\infty (على التوالي بجوار −∞-\infty) إذا وفقط إذا وُجدت دالة hh بحيث f(x)=ax+b+h(x)f(x)=ax+b+h(x) و lim⁡x→+∞h(x)=0\lim_{x\to+\infty}h(x)=0 (على التوالي lim⁡x→−∞h(x)=0\lim_{x\to-\infty}h(x)=0).

مثال

نعتبر ff الدالة المعرّفة بـ f(x)=2x−3+x2x2+1.f(x)=2x-3+\frac{x}{2x^{2}+1}.

لدينا

lim⁡x→+∞(f(x)−(2x−3))=lim⁡x→+∞x2x2+1=lim⁡x→+∞12x=0.\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(2x-3)\bigr)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2x^{2}+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x}=0.

إذن المستقيم ذو المعادلة y=2x−3y=2x-3 مقارب مائل لمنحنى ff بجوار +∞.+\infty.

تطبيق ③

لتكن ff دالة معرّفة على R∖{3}\mathbb{R}\setminus\{3\} بـ f(x)=2x2−7x+8x−3.f(x)=\frac{2x^{2}-7x+8}{x-3}.

بيّن أن المستقيم ذا المعادلة y=2x−1y=2x-1 مقارب مائل لـ (Cf)(C_{f}) بجوار +∞+\infty و −∞.-\infty.

خاصية

ليكن aa و bb عددين حقيقيين بحيث (a≠0).(a\neq 0). المستقيم ذو المعادلة y=ax+by=ax+b مقارب مائل للمنحنى (Cf)(C_{f}) بجوار +∞+\infty (على التوالي بجوار −∞-\infty) إذا وفقط إذا كان lim⁡x→+∞f(x)x=a\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a و lim⁡x→+∞(f(x)−ax)=b\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-ax\bigr)=b (على التوالي lim⁡x→−∞f(x)x=a\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=a و lim⁡x→−∞(f(x)−ax)=b\lim_{x\to-\infty}\bigl(f(x)-ax\bigr)=b).

تطبيق ④

حدّد معادلة المقارب المائل بجوار +∞+\infty للمنحنى (Cf)(C_{f}) في كل حالة من الحالات التالية:

① f(x)=3x3+x2−1x2f(x)=\frac{3x^{3}+x^{2}-1}{x^{2}} ② f(x)=sin⁡xx+2xf(x)=\frac{\sin x}{x}+2x

Ⅲ. فرع قطع مكافئ

تعريف

لتكن ff دالة بحيث lim⁡x→±∞f(x)=±∞\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty و (Cf)(C_{f}) منحناها التمثيلي في معلم متعامد منظم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

  • إذا كان lim⁡x→∞f(x)x=0\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=0، نقول إن (Cf)(C_{f}) يقبل فرع قطع مكافئ باتجاه محور الأفاصيل بجوار ∞.\infty.
  • إذا كان lim⁡x→∞f(x)x=∞\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\infty، نقول إن (Cf)(C_{f}) يقبل فرع قطع مكافئ باتجاه محور الأراتيب بجوار ∞.\infty.
  • إذا كان lim⁡x→∞f(x)x=a\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a و lim⁡x→∞(f(x)−ax)=∞\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-ax\bigr)=\infty، نقول إن (Cf)(C_{f}) يقبل فرع قطع مكافئ باتجاه المستقيم y=axy=ax بجوار ∞.\infty.

أمثلة

نعتبر ff و gg و hh الدوال المعرّفة على التوالي بـ f(x)=3x2−2x+1f(x)=3x^{2}-2x+1 و g(x)=3x−2g(x)=\sqrt{3x-2} و h(x)=2x+x.h(x)=2x+\sqrt{x}.

  • لدينا lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty و
lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞3x2−2x+1x=+∞.\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2}-2x+1}{x}=+\infty.

إذن (Cf)(C_{f}) يقبل فرع قطع مكافئ باتجاه محور الأراتيب بجوار +∞.+\infty.

  • لدينا lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty و
lim⁡x→+∞g(x)x=lim⁡x→+∞3x−2x=lim⁡x→+∞3x−2x2=0.\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{3x-2}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{3x-2}{x^{2}}}=0.

إذن (Cg)(C_{g}) يقبل فرع قطع مكافئ باتجاه محور الأفاصيل بجوار +∞.+\infty.

  • لدينا lim⁡x→+∞h(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty و
lim⁡x→+∞h(x)x=lim⁡x→+∞(2+1x)=2\lim_{x\to+\infty}\frac{h(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=2

و

lim⁡x→+∞(h(x)−2x)=lim⁡x→+∞x=+∞.\lim_{x\to+\infty}\bigl(h(x)-2x\bigr)=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty.

إذن (Ch)(C_{h}) يقبل فرع قطع مكافئ باتجاه المستقيم ذي المعادلة y=2xy=2x بجوار +∞.+\infty.

تطبيق ⑤

حدّد فرع القطع المكافئ لـ (Cf)(C_{f}) بجوار +∞+\infty في كل حالة من الحالات التالية:

① f(x)=x3−4x2−1f(x)=x^{3}-4x^{2}-1 ② f(x)=x+1−2xf(x)=\sqrt{x+1}-2x ③ f(x)=2x−5x+3f(x)=\frac{2x-5}{\sqrt{x}+3}

ملخص — دراسة الفروع اللانهائية

  • إذا كان lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x\to a}f(x)=\infty فإن (Cf)(C_{f}) يقبل مقارباً عمودياً معادلته x=a.x=a.
  • إذا كان lim⁡x→∞f(x)=ℓ\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell فإن (Cf)(C_{f}) يقبل مقارباً أفقياً معادلته y=ℓy=\ell بجوار ∞.\infty.
  • إذا كان lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty نحسب lim⁡x→∞f(x)x\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}: إن كانت 00 ففرع قطع مكافئ باتجاه محور الأفاصيل؛ إن كانت ∞\infty ففرع قطع مكافئ باتجاه محور الأراتيب؛ إن كانت aa نحسب lim⁡x→∞(f(x)−ax)\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-ax\bigr): إن كانت ∞\infty ففرع قطع مكافئ باتجاه y=ax؛y=ax؛ إن كانت bb فمقارب مائل y=ax+b.y=ax+b.

جدول قرار الفروع اللانهائية

الشرطالتأويل المبياني
lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x\to a}f(x)=\inftyمقارب عمودي x=ax=a
lim⁡x→∞f(x)=ℓ\lim_{x\to\infty}f(x)=\ellمقارب أفقي y=ℓy=\ell
lim⁡f=∞\lim f=\infty و lim⁡f(x)x=0\lim\frac{f(x)}{x}=0فرع قطع مكافئ باتجاه (Ox)(Ox)
lim⁡f=∞\lim f=\infty و lim⁡f(x)x=∞\lim\frac{f(x)}{x}=\inftyفرع قطع مكافئ باتجاه (Oy)(Oy)
lim⁡f(x)x=a\lim\frac{f(x)}{x}=a و lim⁡(f(x)−ax)=∞\lim(f(x)-ax)=\inftyفرع قطع مكافئ باتجاه y=axy=ax
lim⁡f(x)x=a\lim\frac{f(x)}{x}=a و lim⁡(f(x)−ax)=b\lim(f(x)-ax)=bمقارب مائل y=ax+by=ax+b

Ⅳ. التقعر ونقطة الانعطاف

تعريف

لتكن ff دالة قابلة للاشتقاق على مجال II و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم متعامد منظم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}). نقول إن (Cf)(C_{f}):

  • محدّب (أو تقعره موجّه نحو الأراتيب الموجبة) إذا كان (Cf)(C_{f}) يقع بأكمله فوق كل مماسّاته.
  • مقعر (أو تقعره موجّه نحو الأراتيب السالبة) إذا كان (Cf)(C_{f}) يقع بأكمله تحت كل مماسّاته.
  • النقطة A(a;f(a))A(a{;}f(a)) نقطة انعطاف لـ (Cf)(C_{f}) إذا قطع المنحنى مماسّه في هذه النقطة.

مثال

يمثّل الشكل أسفله منحنى دالة الجيب تمام على

[−π2;3π2].\left[-\frac{\pi}{2}{;}\frac{3\pi}{2}\right].
منحنى $\cos$ مع مناطق التقعر ونقطة الانعطاف $A$

دالة الجيب تمام مقعرة على

[−π2;π2]\left[-\frac{\pi}{2}{;}\frac{\pi}{2}\right]

ومحدّبة على

[π2;3π2]\left[\frac{\pi}{2}{;}\frac{3\pi}{2}\right]

و A(π2;0)A\left(\frac{\pi}{2}{;}0\right) نقطة انعطاف لـ (Ccos⁡).(C_{\cos}).

ملاحظة

نقطة الانعطاف نقطة من (Cf)(C_{f}) يغيّر عندها المنحنى (Cf)(C_{f}) تقعّره.

خاصية

لتكن ff دالة قابلة للاشتقاق مرتين على مجال II و (Cf)(C_{f}) منحناها التمثيلي و a∈I.a\in I.

  • إذا كانت f′′f'' موجبة على II فإن (Cf)(C_{f}) محدّب.
  • إذا كانت f′′f'' سالبة على II فإن (Cf)(C_{f}) مقعر.
  • إذا انعدمت f′′f'' في aa مغيّرة الإشارة فإن النقطة A(a;f(a))A(a{;}f(a)) نقطة انعطاف لـ (Cf).(C_{f}).

مثال

لتكن ff الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=x3−2x2+x−1.f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1. ادرس تقعّر (Cf)(C_{f}) مع تحديد نقاط الانعطاف.

تطبيق ⑥

ادرس تقعّر منحنى الدالة ff مع تحديد نقاط الانعطاف إن وُجدت في كل حالة من الحالات التالية:

① f(x)=112x4−2x2+3x+5f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-2x^{2}+3x+5 ② f(x)=x+1x−1f(x)=x+\frac{1}{x-1}

تطبيق ⑦

يمثّل الشكل جانبه المنحنى التمثيلي لدالة ff معرّفة على [−4;4].[-4{;}4].

ادرس تقعّر منحنى الدالة ff مع تحديد نقاط الانعطاف إن وُجدت.

Ⅴ. عناصر التماثل

  1. محور التماثل

خاصية

لتكن ff دالة معرّفة على مجموعة DD و (Cf)(C_{f}) منحناها التمثيلي في معلم متعامد منظم. المستقيم (Δ)(\Delta) ذو المعادلة x=ax=a (a∈Ra\in\mathbb{R}) محور تماثل للمنحنى (Cf)(C_{f}) إذا وفقط إذا كان:

{(∀x∈D); (2a−x)∈D(∀x∈D); f(2a−x)=f(x).\begin{cases}(\forall x\in D);\,(2a-x)\in D\\(\forall x\in D);\,f(2a-x)=f(x)\end{cases}.

مثال

لنبيّن أن المستقيم ذا المعادلة (Δ):x=−12(\Delta):x=-\frac{1}{2} محور تماثل لمنحنى الدالة ff المعرّفة بـ f(x)=x2+x+1.f(x)=x^{2}+x+1.

تطبيق ⑧

بيّن أن المستقيم (D)(D) محور تماثل لـ (Cf)(C_{f}) في كل حالة من الحالات التالية:

  • f(x)=−3x2−4x+7f(x)=\frac{-3}{x^{2}-4x+7} و (D):x=2.(D):x=2.
  • f(x)=x2−4x+5f(x)=\sqrt{x^{2}-4x+5} و (D):x=52.(D):x=\frac{5}{2}.

  1. مركز التماثل

خاصية

لتكن ff دالة معرّفة على مجموعة DD و (Cf)(C_{f}) منحناها التمثيلي في معلم متعامد منظم. النقطة Ω(a;b)\Omega(a{;}b) حيث (a;b)∈R2(a{;}b)\in\mathbb{R}^{2} مركز تماثل للمنحنى (Cf)(C_{f}) إذا وفقط إذا كان:

{(∀x∈D); (2a−x)∈D(∀x∈D); f(2a−x)+f(x)=2b.\begin{cases}(\forall x\in D);\,(2a-x)\in D\\(\forall x\in D);\,f(2a-x)+f(x)=2b\end{cases}.

مثال

لنبيّن أن النقطة Ω(1;1)\Omega(1{;}1) مركز تماثل لمنحنى الدالة ff المعرّفة بـ f(x)=xx−1.f(x)=\frac{x}{x-1}.

تطبيق ⑨

بيّن أن النقطة Ω\Omega مركز تماثل لـ (Cf)(C_{f}) في كل حالة من الحالات التالية:

  • f(x)=−2x2+7x−52x−1f(x)=\frac{-2x^{2}+7x-5}{2x-1} و
Ω(12;52).\Omega\left(\frac{1}{2}{;}\frac{5}{2}\right).
  • f(x)=2x3+6x2+3x+3f(x)=2x^{3}+6x^{2}+3x+3 و Ω(−1;4).\Omega(-1{;}4).

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ