Ximath
تسجيل الدخول
سلاسل هذا المستوى

الأولى باك علوم تجريبية

السلسلة 07

سلسلة تطبيقات وتمارين: التمثيل المبياني لدالة

تطبيقات وتمارين حول المقاربات، فرع القطع المكافئ، التقعر، عناصر التماثل، ودراسة منحنيات.

الدرس 07 — التمثيل المبياني لدالة

جزء التطبيقات

تطبيق ①

لتكن ff الدالة المعرّفة على R∖{2}\mathbb{R}\setminus\{2\} بـ f(x)=xx−2.f(x)=\frac{x}{x-2}.

  1. أ. احسب نهايتي ff بجوار −∞-\infty و +∞.+\infty. ب. ماذا يمكن القول عن (Cf)(C_{f}) بجوار −∞-\infty و +∞؟+\infty؟
  1. أ. احسب lim⁡x→2+f(x)\lim_{x\to 2^{+}}f(x) و lim⁡x→2−f(x).\lim_{x\to 2^{-}}f(x). ب. ماذا يمكن القول عن (Cf)(C_{f}) بجوار 2؟2؟

تطبيق ②

نعتبر ff و gg دالتين معرّفتين على التوالي بـ f(x)=5+xx2+3f(x)=5+\frac{x}{x^{2}+3} و g(x)=x+1(x−4)2.g(x)=\frac{x+1}{(x-4)^{2}}.

  1. احسب نهايتي ff بجوار −∞-\infty و +∞.+\infty. فسّر النتيجتين مبيانياً.
  1. بيّن أن المستقيم ذا المعادلة x=4x=4 مقارب عمودي لمنحنى g.g.

تطبيق ③

نعتبر ff دالة معرّفة بجدول تغيّراتها: lim⁡x→−∞f(x)=1\lim_{x\to-\infty}f(x)=1، lim⁡x→0−f(x)=+∞\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty، lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty، lim⁡x→2−f(x)=−∞\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty، lim⁡x→2+f(x)=+∞\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty، lim⁡x→+∞f(x)=1.\lim_{x\to+\infty}f(x)=1.

حدّد المقاربات المحتملة للمنحنى (Cf).(C_{f}).

تطبيق ④

لتكن ff الدالة المعرّفة على R∖{−32}\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{3}{2}\right\} بـ f(x)=x22x+3f(x)=\frac{x^{2}}{2x+3} و (D)(D) المستقيم ذو المعادلة y=12x−34.y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}.

  1. احسب نهايتي ff بجوار −∞-\infty و +∞.+\infty.
  1. احسب
lim⁡x→±∞(f(x)−(12x−34)).\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-\left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}\right)\right).
  1. ماذا يمكن القول عن (Cf)(C_{f}) والمستقيم (D)؟(D)؟

تطبيق ⑤

لتكن ff دالة معرّفة على R∖{3}\mathbb{R}\setminus\{3\} بـ f(x)=2x2−7x+8x−3.f(x)=\frac{2x^{2}-7x+8}{x-3}.

بيّن أن المستقيم ذا المعادلة y=2x−1y=2x-1 مقارب مائل لـ (Cf)(C_{f}) بجوار +∞+\infty و −∞.-\infty.

تطبيق ⑥

حدّد معادلة المقارب المائل بجوار +∞+\infty للمنحنى (Cf)(C_{f}) في كل حالة من الحالات التالية:

① f(x)=3x3+x2−1x2f(x)=\frac{3x^{3}+x^{2}-1}{x^{2}} ② f(x)=sin⁡xx+2xf(x)=\frac{\sin x}{x}+2x

تطبيق ⑦

حدّد فرع القطع المكافئ لـ (Cf)(C_{f}) بجوار +∞+\infty في كل حالة من الحالات التالية:

أ. f(x)=x3−4x2−1.f(x)=x^{3}-4x^{2}-1. ب. f(x)=x+1−2x.f(x)=\sqrt{x+1}-2x. ج. f(x)=2x−5x+3.f(x)=\frac{2x-5}{\sqrt{x}+3}.

تطبيق ⑧

ادرس تقعّر منحنى الدالة ff مع تحديد نقاط الانعطاف إن وُجدت في كل حالة من الحالات التالية:

أ. f(x)=112x4−2x2+3x+5.f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-2x^{2}+3x+5. ب. f(x)=x+1x−1.f(x)=x+\frac{1}{x-1}.

تطبيق ⑨

يمثّل الشكل جانبه المنحنى التمثيلي لدالة ff معرّفة على [−4;4].[-4{;}4].

ادرس تقعّر منحنى الدالة ff مع تحديد نقاط الانعطاف إن وُجدت.

تطبيق ⑩

بيّن أن المستقيم (D)(D) محور تماثل لـ (Cf)(C_{f}) في كل حالة من الحالات التالية:

أ. f(x)=−3x2−4x+7f(x)=\frac{-3}{x^{2}-4x+7} و (D):x=2.(D):x=2. ب. f(x)=x2−4x+5f(x)=\sqrt{x^{2}-4x+5} و (D):x=2.(D):x=2.

تطبيق ⑪

بيّن أن النقطة Ω\Omega مركز تماثل لـ (Cf)(C_{f}) في كل حالة من الحالات التالية:

أ. f(x)=−2x2+7x−52x−1f(x)=\frac{-2x^{2}+7x-5}{2x-1} و

Ω(12;52).\Omega\left(\frac{1}{2}{;}\frac{5}{2}\right).

ب. f(x)=2x3+6x2+3x+3f(x)=2x^{3}+6x^{2}+3x+3 و Ω(−1;4).\Omega(-1{;}4).

جزء التمارين

تمرين ①

نعتبر أسفله منحنى دالة f.f.

  1. أعط DfD_{f} ثم حدّد نهايات ff عند حدود Df.D_{f}.
  1. حدّد الفروع اللانهائية لـ (Cf).(C_{f}).
  1. حدّد f′(1).f'(1).
  1. هل الدالة ff قابلة للاشتقاق في −1؟-1؟
  1. أنشئ جدول تغيّرات ff مع تحديد إشارة f′.f'.

تمرين ②

لتكن ff الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=x3−3x2+1f(x)=x^{3}-3x^{2}+1 و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم متعامد منظم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

  1. أ. احسب lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x\to-\infty}f(x) و lim⁡x→+∞f(x).\lim_{x\to+\infty}f(x). ب. ادرس الفروع اللانهائية لـ (Cf).(C_{f}).
  1. أ. احسب f′(x)f'(x) لكل x∈R.x\in\mathbb{R}. ب. ادرس إشارة f′(x)f'(x) ثم أنشئ جدول تغيّرات f.f.
  1. بيّن أن المنحنى (Cf)(C_{f}) يقبل نقطة انعطاف وحيدة Ω\Omega يُطلب تحديدها.
  1. تحقّق من أن Ω\Omega مركز تماثل لـ (Cf).(C_{f}).
  1. أ. اكتب معادلة المماس (T)(T) للمنحنى (Cf)(C_{f}) في النقطة Ω.\Omega. ب. أنشئ (T)(T) و (Cf).(C_{f}).

تمرين ③

لتكن ff الدالة المعرّفة بـ f(x)=2x2−7x+8x−2f(x)=\frac{2x^{2}-7x+8}{x-2} و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم متعامد منظم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

  1. أ. حدّد مجموعة تعريف f.f. ب. احسب lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x\to-\infty}f(x) و lim⁡x→+∞f(x).\lim_{x\to+\infty}f(x). ج. احسب lim⁡x→2−f(x)\lim_{x\to 2^{-}}f(x) و lim⁡x→2+f(x).\lim_{x\to 2^{+}}f(x).
  1. أ. بيّن أن:
(∀x∈Df): f′(x)=2(x−1)(x−3)(x−2)2.(\forall x\in D_{f}):\ f'(x)=\frac{2(x-1)(x-3)}{(x-2)^{2}}.

ب. ادرس إشارة f′(x)f'(x) على DfD_{f} ثم أنشئ جدول تغيّرات ff على Df.D_{f}.

  1. أ. تحقّق من أن: (∀x∈Df): f(x)=2x−3+2x−2.(\forall x\in D_{f}):\ f(x)=2x-3+\frac{2}{x-2}. ب. استنتج أن المستقيم (D)(D) ذا المعادلة y=2x−3y=2x-3 مقارب مائل للمنحنى (Cf)(C_{f}) بجوار −∞-\infty و +∞.+\infty.
  1. ارسم المنحنى (Cf).(C_{f}).
  1. لتكن gg الدالة المعرّفة بـ
g(x)=2x2−7∣x∣+8∣x∣−2.g(x)=\frac{2x^{2}-7\lvert x\rvert+8}{\lvert x\rvert-2}.

أ. حدّد Dg.D_{g}. ب. ادرس زوجية g.g. ج. بيّن أن

∀x∈[0;2[∪]2;+∞[: g(x)=f(x).\forall x\in[0{;}2[\cup]2{;}+\infty[:\ g(x)=f(x).

د. استنتج إنشاء (Cg).(C_{g}).

تمرين ④

نعتبر الدالة ff المعرّفة بـ f(x)=x3−2x2−x+1x2f(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}-x+1}{x^{2}} و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم متعامد منظم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

  1. حدّد Df.D_{f}.
  1. احسب lim⁡x→0f(x)\lim_{x\to 0}f(x)، وأعط تأويلاً هندسياً للنتيجة المحصّلة.
  1. أ. احسب lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x\to-\infty}f(x) و lim⁡x→+∞f(x).\lim_{x\to+\infty}f(x). ب. بيّن أن المستقيم (D)(D) ذا المعادلة y=x−2y=x-2 مقارب مائل للمنحنى (Cf).(C_{f}). ج. ادرس الوضع النسبي للمنحنى (Cf)(C_{f}) بالنسبة للمستقيم (D)(D) على Df.D_{f}.
  1. أ. بيّن أن
(∀x∈Df): f′(x)=(x−1)(x2+x+2)x3.(\forall x\in D_{f}):\ f'(x)=\frac{(x-1)(x^{2}+x+2)}{x^{3}}.

ب. ادرس إشارة f′(x)f'(x) ثم أنشئ جدول تغيّرات الدالة f.f.

  1. أ. بيّن أن
(∀x∈Df): f′′(x)=6−2xx4.(\forall x\in D_{f}):\ f''(x)=\frac{6-2x}{x^{4}}.

ب. ادرس تقعّر (Cf)(C_{f}) وبيّن أن (Cf)(C_{f}) يقبل نقطة انعطاف يُطلب تحديد إحداثيّيها.

  1. أنشئ (D)(D) و (Cf).(C_{f}).

تمرين ⑤

لتكن ff الدالة المعرّفة بـ f(x)=x2−4x+3f(x)=\sqrt{x^{2}-4x+3} و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم متعامد منظم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

  1. أ. حدّد مجموعة تعريف f.f. ب. احسب lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x\to-\infty}f(x) و lim⁡x→+∞f(x).\lim_{x\to+\infty}f(x). ج. بيّن أن المستقيم (D):y=x−2(D):y=x-2 مقارب مائل بجوار +∞+\infty والمستقيم (D′):y=−x+2(D'):y=-x+2 مقارب مائل بجوار −∞-\infty للمنحنى (Cf).(C_{f}).
  1. تحقّق من أن المستقيم (Δ):x=2(\Delta):x=2 محور تماثل لـ (Cf).(C_{f}).
  1. ادرس قابلية اشتقاق ff على اليسار في 11 وعلى اليمين في 33، ثم فسّر النتيجتين هندسياً.
  1. أ. بيّن أن
(∀x∈Df∖{1;3}): f′(x)=x−2x2−4x+3.(\forall x\in D_{f}\setminus\{1{;}3\}):\ f'(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^{2}-4x+3}}.

ب. ادرس تغيّرات ff ثم أنشئ جدول تغيّراتها.

  1. أنشئ (Δ)(\Delta) و (D)(D) و (D′)(D') و (Cf).(C_{f}).

تمرين ⑥

لتكن ff الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x) و (Cf)(C_{f}) منحناها في معلم (O;ı⃗;ȷ⃗)(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}) بحيث ∥ı⃗∥=π4\lVert\vec{\imath}\rVert=\frac{\pi}{4} و ∥ȷ⃗∥=1.\lVert\vec{\jmath}\rVert=1.

  1. بيّن أن ff دورية دورها π.\pi.
  1. ادرس زوجية f.f.
  1. تحقّق من أن المستقيم (Δ):x=π4(\Delta):x=\frac{\pi}{4} محور تماثل لـ (Cf).(C_{f}).
  1. فسّر لماذا يكفي دراسة الدالة ff على المجال I=[0;π4].I=\left[0{;}\frac{\pi}{4}\right].
  1. أ. احسب f′(x)f'(x) لكل x∈I.x\in I. ب. ادرس إشارة f′(x)f'(x) ثم أنشئ جدول تغيّرات الدالة ff على I.I.
  1. أنشئ (Cf)(C_{f}) على
[−3π2;5π2].\left[-\frac{3\pi}{2}{;}\frac{5\pi}{2}\right].

تمرين ⑦

لتكن ff الدالة المعرّفة بـ

f(x)={x3−3x2−1si x≥0x+1x−1si x≤0.f(x)=\begin{cases}x^{3}-3x^{2}-1 & \text{si }x\geq 0\\x+\frac{1}{x-1} & \text{si }x\leq 0\end{cases}.
  1. حدّد DfD_{f} ثم احسب lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x\to-\infty}f(x) و lim⁡x→+∞f(x).\lim_{x\to+\infty}f(x).
  1. ادرس الفروع اللانهائية لـ (Cf).(C_{f}).
  1. ادرس قابلية اشتقاق ff في 00، ثم فسّر النتيجة هندسياً.
  1. أ. احسب f′(x)f'(x) لكل x∈Df.x\in D_{f}. ب. ادرس إشارة f′(x)f'(x) ثم أنشئ جدول تغيّرات الدالة f.f.
  1. أنشئ (Cf).(C_{f}).

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ